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f¨u r M at h em at ik D r. U .S tr ei t
1.Juni2016 HereMathematikII(MB)¨oh¨ U 2 3 . b u n g : K u r v e n in te g r a le
23.1WiegroßistdieMassemdesimerstenQuadrantenliegendenBogensKder Ellipsex(t)=2cost,y(t)=sint,wenndieDichte̺injedemPunktderKurve gleichderOrdinatedesPunktesist? 23.2BerechnenSieR Kvdxmitv=(x2+y2,xy)⊤l¨angs (a)derStreckevonA(0,0)nachB(2,2), (b)desParabelbogensy=x2 2vonA(0,0)nachB(2,2). 23.3BerechnenSieu Kvdxmitv=(x+y+z+1,3x+2y−z−2,5x−y+z+7)⊤ l¨angsdesgeschlossenenStreckenzugesABCAmitA(0,0,0),B(2,3,0),C(2,3,4). 23.4ZeigenSie,dassv=(cos2y,−2xsin2y)⊤einPotentialfeldist.BestimmenSiedas PotentialvonvundhierausR Kvdxf¨ureineKurveKvonA1,π 6 nachB2,π 4 . 23.5BerechnenSiedieRotationvon v(x,y,z)=(x2+yz+z,y+xz,xyz)⊤, w(x,y,z)=(1+y+yz,x+xz,xy)⊤. 23.6F¨urwelcheParameterα,β∈RistdasKurvenintegral Z K(αx2y+z2)dx+(x3+2yz)dy+(y2+βxz)dz wegunabh¨angig?ErmittelnSieindiesemFalldaszugeh¨origePotential. 23.7BerechnenSieu Kvdxmitv=(P,Q)⊤undP=−y x2+y2,Q=x x2+y2 l¨angsdesEinheitskreises. WiesoverschwindetdasIntegralnicht,obwohlPy=Qxgilt? 23.8Zusatz. ImErdgravitationsfeldwirktaufdieMassem0=1kginx=(x,y,z)⊤dieKraft g(x)=−GMm0 |x|3x,|x|≥R(MaßeinheitN) mitGravitationskonstanteG=6.672·10−11Nm2kg−2,ErdmasseM=5.976·1024kg undErdradiusR=6376km. WelcheEnergieistnotwendig,umdieMassem0vonderErdoberfl¨acheunendlich weitzuentfernen?(DerEinflussandererHimmelsk¨orperistunber¨ucksichtigt.) AufgabenundL¨osungenimWeb:www.tu-chemnitz.de/∼ustreit
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18.Mai2016 HereMathematikII(MB)¨oh¨ U 2 4 . b u n g : B e r e ic h si n te g r a le
24.1DieAuswertungeinesBereichsintegralsRR Bfdbmitf(x,y)=√ xyf¨uhrtaufdas Doppelintegral
aR 0
xR 0fdy
dx,a>0. (a)BerechnenSiedasDoppelintegral. (b)BeschreibenSieBalsNormalbereich. (c)BeschreibenSieBalsNormalbereichmitvertauschtenKoordinaten,und berechnenSiedaszugeh¨origeDoppelintegral. 24.2VertauschenSiedieIntegrationsreihenfolgein
0R −2
! 0R y2−4y3dx
# dy,und berechnenSiedasentstandeneDoppelintegral. 24.3BerechnenSiedasIntegral
RR Bfdb. DerNormalbereichBwirdvondenangegebenenKurvenbegrenzt. (a)f(x,y)=y,y=x,xy=4,x=4, (b)f(x,y)=y2,y=lnx,x−y=1,y=−1. 24.4FindenSiedengeometrischenSchwerpunktS(xS,yS)desebenenBereiches B={(x,y)∈R2:y2≤8x,y≥0,0≤x≤2}.
¨ Uberpr¨ufenSief¨ury(bzw.x)dieGltigkeitderGuldinschenRegel:¨uSS DasVolumeneinesRotationsk¨orpersistgleichdemProduktausdemInhaltder erzeugendenFl¨acheunddemUmfangdesvomFl¨achenschwerpunkterzeugten Kreises. 24.5ErmittelnSiedasvondengegebenenFl¨achenbegrenzteVolumen. WechselnSiegegebenenfallszuPolarkoordinaten. 22(a)z=x+y,x+y=4,x=0,y=0,z=0. 2222(b)x+y=1,x+y=4,z=0,z=x+2. 24.6BerechnenSief¨urdenr¨aumlichenNormalbereich B={(x,y,z):0≤x≤1,0≤y≤x,0≤z≤x+3y+1} RRR (a)dasVolumenalsBereichsintegralV=1db, B (b)dengeometrischenSchwerpunktS(x,y,z).SSS AufgabenundLungenimWeb:www.tu-chemnitz.de/∼ustreit¨os