Januar 2014 bis 11:15 IWR, Universit¨at Heidelberg U¨BUNG1 KREISRING Zu l ¨osen sei die Laplace-Gleichung ∆u= 0 inΩ ={(x, y)T|r1<p x2+y2 &lt

Numerik, Wintersemester 2013 Aufgabenblatt 10

Prof. Dr. Peter Bastian Abgabe 22. Januar 2014 bis 11:15

IWR, Universit¨at Heidelberg

U¨BUNG1 KREISRING

Zu l ¨osen sei die Laplace-Gleichung

∆u= 0 inΩ ={(x, y)^T|r₁<p

x²+y² < r2}mit0< r1< r2und

u(x, y) =u₁ wenn(x, y)^T ∈Γ₁ :={(x, y)^T|r₁ =p

x²+y²}, u(x, y) =u2 wenn(x, y)^T ∈Γ2 :={(x, y)^T|r₂ =p

x²+y²}.

In Polarkoordinaten h¨angtu(r, φ) =˜ u(x, y)nicht vom Winkel ab. Damit reduziert sich das Pro- blem auf

∂_r²u˜+1

r∂ru˜= 0, u(r˜ 1) =u1, u(r˜ 2) =u2.

1. Verifizieren Sie, dassu(r) =˜ aln(r) +beine allgemeine L ¨osung der Differentialgleichung dar- stellt.

2. Bestimmen Sie die Konstanten aundb aus den Randbedingungen und zeigen Sie hierdurch, dass die spezielle L ¨osung durch

˜

u(r) = u₁−u₂ lnr1−lnr2

(lnr−lnr₁) +u₁ gegeben ist.

4 Punkte

U¨BUNG2 TYPENEINTEILUNG

Bestimmen Sie den Typ (elliptisch, parabolisch oder hyperbolisch) der folgenden partiellen DG 2.

Ordnung in Abh¨angigkeit vonxundy:

1. x∂_xxu+ 2y∂_xyu+y²∂_yyu+∂_xu−u= 0

2. ∂_ttu+ (1−x²)∂_xxu+ (1−y²)∂_yyu−xy∂_xu= sin (xπ) sin (yπ)

4 Punkte

U¨BUNG3 RADIALSYMMETRISCHE HARMONISCHEFUNKTIONEN

Seiu∈C²(Ω)∩C⁰( ¯Ω)mitΩ⊂R^d(d= 2,3)eine harmonische und radialsymmetrische Funktion mitu(x) =v(r(x)). Hierbei istr: Ω→Rder Abstand vom Ursprungr(x) =

q Pd

i=1x²_i undΓ =r(Ω).

Zeigen Sie, dass gilt

v⁰⁰(r)

v⁰(r) = 1−n

r ∀r∈Γ,

fallsv⁰(r(x))6= 0∀x∈Ω. 4 Punkte

U¨BUNG4 ELLIPTISCHEPROBLEME(PROGRAMMIERAUFGABE- 2 WOCHENZEIT) Die partielle Differentialgleichung

−∇(k(x)∇u(x)) =q(x) ∀x∈Ω

mit k ∈ C¹( ¯Ω) beschreibt ein elliptisches Problem auf einem beschr¨ankten, offenen Gebiet Ω ∈ R². In einem einfachen Diskretisierungs-Ansatz, werden die Ableitungen unter Anwendung eines Differenzen-Verfahrens diskretisiert. Hierzu definiert man f ¨ur gegebenesh∈R²die Punktmenge

T ={x:=

2

X

j=1

ejhjαj

α1, α2 ∈Z∧x∈Ω}.

Da die Anzahl der GitterpunkteN :=|T |endlich ist, existiert eine Folge(xi)1≤i≤N mit T ={x_i |i= 1. . . N}und man l ¨ost die Gleichungen

Γi:=−

d

X

j=1

1 h²_j

k_i,j⁺ (˜u(xi+hj)−u(x˜ i))−k_i,j⁻ (˜u(xi)−u(x˜ i−hj))

−q(xi) = 0, ∀i∈1, . . . , N.

(1) wobei

k⁺_i,j := 1

2(k(xi+hj) +k(xi)), k⁻_i,j := 1

2(k(xi) +k(xi−hj)),

undu˜ eine Gitterfunktion bezeichnet, welche nur in den Punkten vonT definiert ist. MitU ∈ R^N und(U)_i := ˜u(x_i)k ¨onnen wir durch(F(U))_i := Γ_i die lineare AbbildungF : R^N → Rdefinieren und das diskrete Problem aus Gleichung (1) kann als

F(U) = 0 (2)

geschrieben werden. Dieses lineare Gleichungssystem kann dann mit einem direkten L ¨osungsverfahren gel ¨ost werden. In der Implementierung wird die LR-Zerlegung verwendet.

Die Datei hdnum/src/pde.hh enth¨alt die Implementierung einer station¨aren L ¨oserklasse, welche dazu gedacht ist, Gleichungen vom Typ 2 zu l ¨osen. Eine Beispiel-Implementierung des zur Laplace Gleichung∆u = 0geh ¨orenden Modellproblem findet man inhdnum/examples/laplace.hh. Eine kom- mentierte Beispielanwendung (das aus der Vorlesung bekannte Problem mit der einschneidenden Ecke) findet Sie inhdnum/examples/ecke.cc. Die dort geschriebenen Gnuplot Dateien, k ¨onnen Sie ein- fach durch den Befehl gnuplot laplace.gp betrachten. Zum genauen Verst¨andnis des Codes kann auch ein Blick in die Dateihdnum/src/sgrid.hh hilfreich sein, in welcher eine Helfer-Klasse f ¨ur das GitterT implementiert ist.

1. Machen Sie sich mit dem Beispiel in hdnum/examples/ecke.cc und der Implementierung in hd- num/examples/laplace.hh vertraut. Letztere erlaubt die Anwendung von Neumann sowie von Dirichlet R¨andern. Gleichung 1 (mitk(x) = 1, q(x) = 0) wird dabei nur f ¨ur Punkte innerhalb des Gitters verwendet und f ¨ur Punkte auf dem Gitterrand modifiziert. Geben Sie analog die Gleichungen an, welche von der Implementierung (jeweils f ¨ur Dirichlet bzw. Neumann Kno- ten) in diesen Punkten gel ¨ost werden.

2. Implementieren Sie das Beispiel-Problem aus Aufgabe 1. Hierzu k ¨onnen Sie noch die Laplace- Modellklasse verwenden und m ¨ussen nur alternative Implementierungen derDomainFunction und derBoundaryFunctionbereit stellen. Bestimmen Sie anhand der analytischen L ¨osungen die Konvergenzordnung des Verfahrens.

3. Implementieren Sie eine eigene Modellklasse, welche der Gleichung 1 bzw. 2 entspricht. Die Laplace-Modellklasse kann hier als Ausgangspunkt verwendet werden. L ¨osen Sie mit Hilfe dieser Implementierung das folgende Beispielproblem:

Ω ={(x, y)∈R²|0≤x≤2∧0≤y≤2}, k(x, y) =

(1 wennx≤1 100 sonst, q(x, y) =

(100 wenn

(x, y)^T −(1,1)^T

2 ≤0.15 0 sonst,

u(x, y) = 0, (x, y)^T ∈∂Ω ∧ x >1, Dirichlet Rand

k(x, y)∇u(x, y) = (3,0)^T, (x, y)^T ∈∂Ω ∧ x≤1, Neumann Rand

Uberlegen Sie sich ein physikalisches System welches von diesem Beispiel beschrieben wird.¨ Erkl¨aren Sie anhand dieses Problems, das Verhalten der L ¨osung qualitativ.

10 Punkte