Dr. P. Thurnheer Grundlagen der Mathematik I ETH Z¨urich
D-CHAB, D-BIOL (Analysis B) Fr¨uhjahr 2008
Serie 3
1. a) Uberlegen Sie sich, wie die Begriffe¨ partielle Ableitung,Gradient und Rich- tungsableitung in sinnvoller Weise auf Funktionen von 3 und mehr Variablen zu verallgemeinern sind.
b) Bestimmen Sie von der Funktion f :R3 →R
f(u, v, w) = u v
psin(w),
den Definitionsbereich, den Gradienten und die Richtungsableitung im Punkt A(1,1, π/2) in Richtung (2,2,1)T.
Bestimmen Sie zudem den maximalen Wert der Richtungsableitung von f im Punkt A.
c) In welche Richtung zeigt der Gradient der Funktion f(x, y, z) = √ 1
x2+y2+z2, i) im Punkt (2,1,2)?
ii) allgemein?
2. Die Funktionx:R2 →R3, gegeben durchx(u, v) = (x1(u, v), x2(u, v), x3(u, v))T,
x1(u, v) = cos(u)(3 + cos(v)), x2(u, v) = sin(u)(3 + cos(v)), x3(u, v) = sin(v),
f¨ur 0≤u≤2π,−π ≤v ≤π, beschreibt eine Fl¨ache im Raum.
a) Versuchen Sie sich ein Bild von dieser Fl¨ache zu machen, indem Sie die Kurven beschreiben, die sich ergeben wennubzw.v bei festemv bzw.udas Intervall [0,2π) bzw. [−π, π) durchl¨auft.
b) Finden Sie die Funktiong(x, y, z), deren Niveaufl¨ache zum Niveau 1 die obi- ge Fl¨ache ist.
Hinweis: cos(u)2 + sin(u)2 = 1.
Bitte wenden!
Inhaltsverzeichnis Mathematik B
Funktionen R
m→ R
n; Arbeit, Fluss
IX. Funktionen von 2 Variablen.
Das Bild, Niveaulinien ; partielle Ableitungen; Linearisierung; Gradient; Richtungs- ableitung.
X. Abbildungen.
Kurven, Fl¨achen, Vektorfelder analytisch beschreiben.
XI. Mehrdimensionale Differentialrechnung.
Jacobimatrix; Kettenregel.
XII. Anwendung auf Funktionen Rm →R Richtungsableitung; Hessematrix; Taylorentwicklung.
XIII. Anwendungen allgemein.
Tangentialvektoren an Kurven; Tangentialebenen an Fl¨achen; Extrema.
XIV. Vektorfelder; die Arbeit.
Linienintegrale; Arbeit; Potentialfelder, wirbelfreie Felder.
XV. Mehrdimensionale Integrale.
XVI. Der Fluss.
Divergenz, Rotation; Satz von Gauss; Satz von Stokes.
Differentialgleichungssysteme
XVII. Lineare Differentialgleichungssysteme mit konstanten Koeffizienten.
Homogene Systeme; Zusammenhang mit dem Eigenwertproblem (Euleransatz);
Superpositionsprinzip; Anfangswertprobleme; Phasenraum; inhomogene Systeme.
