“Logische Grundlagen der Mathematik”, WS 2014/15

Thomas Timmermann 26. November 2014

Was kommt nach den natürlichen Zahlen?

Mehr als die natürlichen Zahlen braucht man nicht, um einige der schwierigsten Probleme der Zahlentheorie zu formulieren, wie z.B.:

”Die Gleichung xⁿ+yⁿ =zⁿ hat für n ≥3 keine Lösung mit natürlichen Zahlen x , y , z >0.”

Pierre de Fermat (1607–1665)

Andrew Wiles (geb. 1953)

Leopold Kronecker (1823–1891)

“Die ganzen Zahlen hat der liebe Gott gemacht, alles andere ist Menschenwerk.”

Kronecker kämpfte (vergeblich) gegen Inhalte unserer nächsten Vorlesungen:

• die Irrationalzahlen und

• das Unendliche in der Mathematik

4 Die ganzen, rationalen und reellen Zahlen als Übung zu Äquivalenzklassen

In natürlicher Weise entstehen

(i) die ganzen Zahlen als Differenzen natürlicher Zahlen, (ii) die rationalen Zahlen als Brüche ganzer Zahlen,

(iii) die reellen Zahlen als Grenzwerte von Folgen rationaler Zahlen,

(iv) die komplexen Zahlen beim Wurzel-Ziehen aus negativen reellen Zahlen, und genau so stellen wir diese neuen Zahlen jeweils dar. Dabei ist die Darstellung jeweils nicht eindeutig und wir müssen verschiedene Differenzen/Brüche/Folgen miteinander identifizieren. Dazu verwenden wir Äquivalenzrelationen und -Klassen.

Äquivalenzrelationen und Äquivalenzklassen

Zunächst zur Wiederholung:

Definition. SeiM eine Menge undR eine Relation aufM (alsoR⊆M×M). Wir schreiben x ∼y genau dann, wenn (x , y) ∈R.

Die Relation R heißt Äquivalenzrelation auf M, falls sie

• reflexiv ist: ∀x :x ∼x

• symmetrisch ist: ∀x , y : x ∼y →y ∼x

• transitiv ist: ∀x , y , z : (x ∼y ∧y ∼z)→x ∼z

Sei M eine Menge mit einer Äquivalenzrelation R bzw. ∼. Wir wollen nun alle Elemente x , y ∈M, die äquivalent sind, also x ∼y erfüllen, identifizieren. Genauer konstruieren wir

(i) eine neue Menge M/_∼ ⊆ P(M), die Menge der Äquivalenzklassen bzgl. ∼, und

(ii) eine Abbildung M →M/_∼, x 7→[x], mit folgenden Eigenschaften:

• jedes Element von M/_∼ ist von der Form [x] für ein x ∈M,

• [x] = [y] genau dann, wennx ∼y.

Definition. SeiM eine Menge mit einer Äquivalenzrelation Rbzw. ∼. Die Äquiva- lenzklasse eines Elements x ∈M ist die Teilmenge

[x] := {y ∈M : x ∼y}. (ex. nach Aussonderungsaxiom) Jedes Element y ∈[x] heißt Repräsentantvon [x].

Die Menge der Äquivalenzklassen von M ist

M/_∼ :={[x] :x ∈M}. (ex. nach Ersetzungsaxiom)

Eine Teilmenge X ⊆M heißt Repräsentantensystem für ∼, wenn für jedes x ∈M die Menge X genau einen Repräsentanten von [x] enthält, also X ∩[x] genau ein Element enthält bzw. die Abb. X →M/_∼, x 7→[x], bijektiv ist.

Lemma. Sei ∼ eine Äquivalenzrelation auf einer Menge M. Dann gilt (i) S

M/_∼ =S

{[x] :x ∈M}=M

(ii) für alle x , y ∈ M entweder [x] = [y] (falls x ∼ y) oder [x]∩[y] = ∅ (falls x 6∼y).

Beweis. (i) Klar, weil x ∈[x] für alle x ∈M.

(ii) Seien x , y ∈ M. Existiert ein z ∈ [x]∩[y], so folgt x ∼ z und y ∼ z, also x ∼y. Falls x ∼y, so gilt wegen der Transitivität für alle z ∈M:

z ∈[x]⇔x ∼z ⇔y ∼z ⇔z ∈[y].

Die Äquivalenzklassen zerlegen alsoM in folgendem Sinn:

Definition. Eine Zerlegung einer Menge M ist eine Teilmenge P ⊆ P(M) mit folgenden Eigenschaften:

(i) die Vereinigung der Elemente von P ist ganz M: S

P =M; (ii) je zwei Elemente von P sind entweder gleich oder disjunkt.

Umgekehrt definiert jede Zerlegung eine Äquivalenzrelation:

Lemma. Sei M eine Menge. Ist P eine Zerlegung von M, so wird durch x ∼y :⇔ ∃A∈P :x , y ∈A

eine Äquivalenzrelation aufM definiert.

Proof. Reflexivität: Istx ∈M, so folgt aus (i) die Existenz einesA∈P mit x ∈A, also x ∼x.

Symmetrie: Klar.

Transitivität: Seien x ∼ y und y ∼ z. Dann existieren A, B ∈ P mit x , y ∈ A und y , z ∈ B. Insbesondere ist y ∈ A∩B 6= ∅, also wegen (ii) A = B und somit x , z ∈A=B und x ∼z.

Plan zur Konstruktion der ganzen, rationalen und reellen Zahlen

Schritt 1 Konstruktion der ganzen/rationalen/reellen Zahlen:

(i) eine Menge M von “Darstellungen” der neuen Zahlen definieren (ii) definieren, wann zwei Darstellungen x , y ∈M äquivalent sind (iii) zeigen, dass (ii) eine Äquivalenzrelation auf M liefert

Die neuen Zahlen sind dann die Äquivalenzklassen in M/_∼.

Schritt 2 Konstruktion der Rechenoperationen auf neuen Zahlen:

(iv) die Rechenoperationen wie +,·, . . . auf der Menge M definieren

(v) zeigen, dass die Rechenoperationen mit der Äquivalenzrelation verträglich sind, z.B. aus x ∼x⁰ undy ∼y⁰ folgt: x+y ∼x⁰+y⁰

(vi) die Rechenoperationen auf den neuen ZahlenM/_∼definierendurch[x]+[y] = [x +y] etc.

(vii) Gültigkeit der Rechenregeln (Assoziativität etc.) beweisen Wir behandeln nicht alle Teilschritte im Detail.

Die ganzen Zahlen

Wir wollen ganze Zahlen als Differenzen natürlicher Zahlen darstellen und setzen

“a−b⁰⁰ := (a, b)∈N⁰×N⁰.

Wann sind zwei Differenzen gleich?

Lemma. Durch

(a, b)∼(c , d) ⇔ a+d =b+c . wird eine Äquivalenzrelation ∼ auf N⁰×N⁰ definiert.

Proof. Reflexivität und Symmetrie sind offensichtlich. Wir beweisen Transitivität.

Gelte

(a) (a, b) ∼(c , d), also a+d =b+c, (b) (c , d)∼(e, f), also c+f =d +e.

Wir müssen (a, b)∼(e, d) zeigen, also a+d =b+e. Aus (a)+(b) folgt a+d +c +f

| {z }

=(a+f)+(d+c)

=b+c +d +e

| {z }

=(b+e)+(c+d)

.

Mit dem unteren Lemma folgt a+f =b+e.

Wir benötigen also eine Kürzungsregel für die Addition (und später für die Multi- plikation):

Lemma. Für alle a, b, c ∈N⁰ gilt:

(i) a+c =b+c ⇒a=b, (ii) ac =bc ⇒a=b.

Proof. Induktion über c, weggelassen.

Definition. Die ganzen Zahlen sind die Äquivalenzklassen Z= (N⁰×N⁰)/_∼. Nun definieren wir die Rechenoperationen auf N⁰×N⁰:

(a, b) + (c , d) = (a+b, c+d), (a, b)·(c , d) = (ac +bd , ad +bc).

Lemma. Die Operationen sind mit der Äquivalenzrelation ∼ verträglich.

Beweis. Sei

(i) (a, b)∼(a⁰, b⁰), also a+b⁰ =b+a⁰, (ii) (c , d)∼(c⁰, d⁰), alsoc +d⁰ =d +c⁰. Wir müssen zeigen:

• (a, b) + (c , d) ∼(a⁰, b⁰) + (c⁰, d⁰), also(a+c , b+d)∼(a⁰+c⁰, b⁰+d⁰), also a+c +b⁰+d⁰ =b+d +a⁰+c⁰,

das folgt aber mit (i)+(ii);

• (a, b)·(c , d)∼(a⁰, b⁰)·(c⁰, d⁰), das folgt nicht direkt mit (i) · (ii).

Wir behaupten (a, b)·(c , d)∼(a⁰, b⁰)·(c , d), also

(ac +bd , ad +bc)∼(a⁰c +b⁰d , a⁰d +b⁰c),

das heißt

(ac +bd) + (a⁰d +b⁰c) = (ad +bc) + (a⁰c +b⁰d).

Wir klammern auf beiden Seitenc und d aus und erhalten (a+b⁰)c + (b+a⁰)d = (b+a⁰)c + (a+b⁰)d ,

was nach (i) gilt.

Ein ähnliches Argument liefert dann (a⁰, b⁰)·(c , d)∼(a⁰, b⁰)·(c⁰, d⁰).

Nun können wir die Addition und Multiplikation als Abbildungen Z×Z→ Z defi- nieren durch

[(a, b)] + [(c , d)] := [(a, b) + (c , d)], [(a, b)]·[(c , d)] := [(a, b)·(c , d)].

Lemma. Es gelten die üblichen Kommutativ-, Assoziativ- und Distributivgesetze.

Beweis. Es reicht, diese Gesetze auf Repräsentanten zu überprüfen. Für die Kom- mutativität ist das einfach, für die Assoziativität der Addition auch. Für die Asso- ziativität der Multiplikation rechnen wir:

((a, b)·(c , d))·(e, f)

= (ac +bd , ad +bc)·(e, f)

= (ac e +bd e+adf +bc f , ac f +bdf +ad e +bc e) und

(a, b)·((c , d)·(e, f))

= (a, b)·(c e+df , c f +d e)

= (ac e +bd e+adf +bc f , ac f +bdf +ad e +bc e), also ((a, b)·(c , d))·(e, f) = (a, b)·((c , d)·(e, f)). Ähnliche Rechnungen zeigen die Distributivität.

Satz. Z bildet bezüglich der Addition eine abelsche (=kommutative) Gruppe:

(i) die Addition ist additiv und kommutativ;

(ii) es gibt ein neutrales Element für die Addition, nämlich[(0,0)];

(iii) zu jedem Element[(a, b)]∈Zgibt es ein bzgl. der Addition inverses Element, nämlich [(b, a)].

Beweis. (i): Bereits gesehen. (ii), (iii): Für jedes Element [(a, b)]∈Z gilt [(0,0)] + [(a, b)] = [(0 +a,0 +b)] = [(a, b)]

und

[(a, b)] + [(b, a)] = [(a+b, b+a)] = [(0,0)], weil (a+b, b+a) ∼(0,0).

Lemma. Ein Repräsentantensystem von Z= (N⁰×N⁰)/_∼ ist gegeben durch {(a,0) :a ∈N⁰} ∪ {(0, b) :b∈N⁰, b ≥1}.

Beweis. Übungsaufgabe.

Insbesondere ist die Abbildung N⁰ → Z, a 7→ [(a,0)] injektiv. Wir identifizieren nunN⁰ mit dem Bild inZ. Dann ist jede ganze Zahl entweder eine natürliche Zahl oder das negative einer natürlichen Zahl, die größer ist als 0. Die Addition und Multiplikation auf Z wurden so definiert, dass sie die Addition und Multiplikation auf N⁰ fortsetzen.