§2.6 Minimale und reduzierte Gröbnerbasen
Generalvoraussetzung
In diesem Abschnitt sei stets K ein Körper.
Ferner sei eine Monomordnung ≤auf [X] fixiert.
Lemma. SeiM ⊆[X]undI := (M).
Dann ist die Menge M0:={v ∈M |@u ∈M : (u 6=v &u|v)}
der bezüglich der Teilerrelation minimalen Elemente vonM das kleinste aus Monomen bestehende Erzeugendensystem von I, das heißt
I = (M0) und für alle M00 ⊆[X]mitI = (M00) giltM0 ⊆M00. Insbesondere istM0 endlich.
Beweis. Zu zeigen:
(a) M ⊆(M0)
(b) ∀M00⊆[X] : (I = (M00) =⇒ M0⊆M00)
Zu (a). Sei w ∈M. Wähle v ∈M0 mitv|w. Dannw ∈(M0). Zu (b). SeiM00⊆[X] mitI = (M00). Sei v∈M0.Zu zeigen ist v ∈M00.Wegenv ∈M ⊆I = (M00) gibt esw ∈M00 mitw|v. Wegen M00⊆I = (M) gibt esu ∈M mitu|w. Alsou|w|v, woraus wegen v ∈M0 undu ∈M folgtu =w =v, insbesondere v =w ∈M00.
Lemma. SeiM ⊆[X]undI := (M). Dann ist die Menge M0:={v ∈M |@u ∈M : (u 6=v &u|v)}
der bezüglich der Teilerrelation minimalen Elemente vonM das kleinste aus Monomen bestehende Erzeugendensystem von I, das heißt
I = (M0) und für alle M00 ⊆[X]mitI = (M00) giltM0 ⊆M00. Insbesondere istM0 endlich.
Beweis. Zu zeigen:
(a) M ⊆(M0)
(b) ∀M00⊆[X] : (I = (M00) =⇒ M0⊆M00)
Zu (a). Sei w ∈M. Wähle v ∈M0 mitv|w. Dannw ∈(M0). Zu (b). SeiM00⊆[X] mitI = (M00). Sei v∈M0.Zu zeigen ist v ∈M00.Wegenv ∈M ⊆I = (M00) gibt esw ∈M00 mitw|v. Wegen M00⊆I = (M) gibt esu ∈M mitu|w. Alsou|w|v, woraus wegen v ∈M0 undu ∈M folgtu =w =v, insbesondere v =w ∈M00.
Lemma. SeiM ⊆[X]undI := (M). Dann ist die Menge M0:={v ∈M |@u ∈M : (u 6=v &u|v)}
der bezüglich der Teilerrelation minimalen Elemente vonM
das kleinste aus Monomen bestehende Erzeugendensystem von I, das heißt
I = (M0) und für alle M00 ⊆[X]mitI = (M00) giltM0 ⊆M00. Insbesondere istM0 endlich.
Beweis. Zu zeigen:
(a) M ⊆(M0)
(b) ∀M00⊆[X] : (I = (M00) =⇒ M0⊆M00)
Zu (a). Sei w ∈M. Wähle v ∈M0 mitv|w. Dannw ∈(M0). Zu (b). SeiM00⊆[X] mitI = (M00). Sei v∈M0.Zu zeigen ist v ∈M00.Wegenv ∈M ⊆I = (M00) gibt esw ∈M00 mitw|v. Wegen M00⊆I = (M) gibt esu ∈M mitu|w. Alsou|w|v, woraus wegen v ∈M0 undu ∈M folgtu =w =v, insbesondere v =w ∈M00.
Lemma. SeiM ⊆[X]undI := (M). Dann ist die Menge M0:={v ∈M |@u ∈M : (u 6=v &u|v)}
der bezüglich der Teilerrelation minimalen Elemente vonM das kleinste aus Monomen bestehende Erzeugendensystem von I,
das heißt I = (M0) und für alle M00 ⊆[X]mitI = (M00) giltM0 ⊆M00. Insbesondere istM0 endlich.
Beweis. Zu zeigen:
(a) M ⊆(M0)
(b) ∀M00⊆[X] : (I = (M00) =⇒ M0⊆M00)
Zu (a). Sei w ∈M. Wähle v ∈M0 mitv|w. Dannw ∈(M0). Zu (b). SeiM00⊆[X] mitI = (M00). Sei v∈M0.Zu zeigen ist v ∈M00.Wegenv ∈M ⊆I = (M00) gibt esw ∈M00 mitw|v. Wegen M00⊆I = (M) gibt esu ∈M mitu|w. Alsou|w|v, woraus wegen v ∈M0 undu ∈M folgtu =w =v, insbesondere v =w ∈M00.
Lemma. SeiM ⊆[X]undI := (M). Dann ist die Menge M0:={v ∈M |@u ∈M : (u 6=v &u|v)}
der bezüglich der Teilerrelation minimalen Elemente vonM das kleinste aus Monomen bestehende Erzeugendensystem von I, das heißt
I = (M0) und für alle M00⊆[X]mitI = (M00) giltM0 ⊆M00.
Insbesondere istM0 endlich. Beweis.
Zu zeigen: (a) M ⊆(M0)
(b) ∀M00⊆[X] : (I = (M00) =⇒ M0⊆M00)
Zu (a). Sei w ∈M. Wähle v ∈M0 mitv|w. Dannw ∈(M0). Zu (b). SeiM00⊆[X] mitI = (M00). Sei v∈M0.Zu zeigen ist v ∈M00.Wegenv ∈M ⊆I = (M00) gibt esw ∈M00 mitw|v. Wegen M00⊆I = (M) gibt esu ∈M mitu|w. Alsou|w|v, woraus wegen v ∈M0 undu ∈M folgtu =w =v, insbesondere v =w ∈M00.
Lemma. SeiM ⊆[X]undI := (M). Dann ist die Menge M0:={v ∈M |@u ∈M : (u 6=v &u|v)}
der bezüglich der Teilerrelation minimalen Elemente vonM das kleinste aus Monomen bestehende Erzeugendensystem von I, das heißt
I = (M0) und für alle M00⊆[X]mitI = (M00) giltM0 ⊆M00. Insbesondere istM0 endlich.
Beweis. Zu zeigen:
(a) M ⊆(M0)
(b) ∀M00⊆[X] : (I = (M00) =⇒ M0⊆M00)
Zu (a). Sei w ∈M. Wähle v ∈M0 mitv|w. Dannw ∈(M0). Zu (b). SeiM00⊆[X] mitI = (M00). Sei v∈M0.Zu zeigen ist v ∈M00.Wegenv ∈M ⊆I = (M00) gibt esw ∈M00 mitw|v. Wegen M00⊆I = (M) gibt esu ∈M mitu|w. Alsou|w|v, woraus wegen v ∈M0 undu ∈M folgtu =w =v, insbesondere v =w ∈M00.
Lemma. SeiM ⊆[X]undI := (M). Dann ist die Menge M0:={v ∈M |@u ∈M : (u 6=v &u|v)}
der bezüglich der Teilerrelation minimalen Elemente vonM das kleinste aus Monomen bestehende Erzeugendensystem von I, das heißt
I = (M0) und für alle M00⊆[X]mitI = (M00) giltM0 ⊆M00. Insbesondere istM0 endlich.
Beweis.
Zu zeigen:
(a) M ⊆(M0)
(b) ∀M00⊆[X] : (I = (M00) =⇒ M0 ⊆M00)
Zu (a). Sei w ∈M. Wähle v ∈M0 mitv|w. Dannw ∈(M0). Zu (b). SeiM00⊆[X] mitI = (M00). Sei v∈M0.Zu zeigen ist v ∈M00.Wegenv ∈M ⊆I = (M00) gibt esw ∈M00 mitw|v. Wegen M00⊆I = (M) gibt esu ∈M mitu|w. Alsou|w|v, woraus wegen v ∈M0 undu ∈M folgtu =w =v, insbesondere v =w ∈M00.
Lemma. SeiM ⊆[X]undI := (M). Dann ist die Menge M0:={v ∈M |@u ∈M : (u 6=v &u|v)}
der bezüglich der Teilerrelation minimalen Elemente vonM das kleinste aus Monomen bestehende Erzeugendensystem von I, das heißt
I = (M0) und für alle M00⊆[X]mitI = (M00) giltM0 ⊆M00. Insbesondere istM0 endlich.
Beweis.
Zu zeigen:
(a) M ⊆(M0)
(b) ∀M00⊆[X] : (I = (M00) =⇒ M0 ⊆M00) Zu (a). Sei w ∈M. Wähle v ∈M0 mitv|w.
Dannw ∈(M0). Zu (b). SeiM00⊆[X] mitI = (M00). Sei v∈M0.Zu zeigen ist v ∈M00.Wegenv ∈M ⊆I = (M00) gibt esw ∈M00 mitw|v. Wegen M00⊆I = (M) gibt esu ∈M mitu|w. Alsou|w|v, woraus wegen v ∈M0 undu ∈M folgtu =w =v, insbesondere v =w ∈M00.
Lemma. SeiM ⊆[X]undI := (M). Dann ist die Menge M0:={v ∈M |@u ∈M : (u 6=v &u|v)}
der bezüglich der Teilerrelation minimalen Elemente vonM das kleinste aus Monomen bestehende Erzeugendensystem von I, das heißt
I = (M0) und für alle M00⊆[X]mitI = (M00) giltM0 ⊆M00. Insbesondere istM0 endlich.
Beweis.
Zu zeigen:
(a) M ⊆(M0)
(b) ∀M00⊆[X] : (I = (M00) =⇒ M0 ⊆M00)
Zu (a). Sei w ∈M. Wähle v ∈M0 mitv|w. Dannw ∈(M0).
Zu (b). SeiM00⊆[X] mitI = (M00). Sei v∈M0.Zu zeigen ist v ∈M00.Wegenv ∈M ⊆I = (M00) gibt esw ∈M00 mitw|v. Wegen M00⊆I = (M) gibt esu ∈M mitu|w. Alsou|w|v, woraus wegen v ∈M0 undu ∈M folgtu =w =v, insbesondere v =w ∈M00.
Lemma. SeiM ⊆[X]undI := (M). Dann ist die Menge M0:={v ∈M |@u ∈M : (u 6=v &u|v)}
der bezüglich der Teilerrelation minimalen Elemente vonM das kleinste aus Monomen bestehende Erzeugendensystem von I, das heißt
I = (M0) und für alle M00⊆[X]mitI = (M00) giltM0 ⊆M00. Insbesondere istM0 endlich.
Beweis.
Zu zeigen:
(a) M ⊆(M0)
(b) ∀M00⊆[X] : (I = (M00) =⇒ M0 ⊆M00)
Zu (a). Sei w ∈M. Wähle v ∈M0 mitv|w. Dannw ∈(M0).
Zu (b). SeiM00⊆[X]mitI = (M00). Sei v∈M0.Zu zeigen ist v ∈M00.
Wegenv ∈M ⊆I = (M00) gibt esw ∈M00 mitw|v. Wegen M00⊆I = (M) gibt esu ∈M mitu|w. Alsou|w|v, woraus wegen v ∈M0 undu ∈M folgtu =w =v, insbesondere v =w ∈M00.
Lemma. SeiM ⊆[X]undI := (M). Dann ist die Menge M0:={v ∈M |@u ∈M : (u 6=v &u|v)}
der bezüglich der Teilerrelation minimalen Elemente vonM das kleinste aus Monomen bestehende Erzeugendensystem von I, das heißt
I = (M0) und für alle M00⊆[X]mitI = (M00) giltM0 ⊆M00. Insbesondere istM0 endlich.
Beweis.
Zu zeigen:
(a) M ⊆(M0)
(b) ∀M00⊆[X] : (I = (M00) =⇒ M0 ⊆M00)
Zu (a). Sei w ∈M. Wähle v ∈M0 mitv|w. Dannw ∈(M0).
Zu (b). SeiM00⊆[X]mitI = (M00). Sei v∈M0.Zu zeigen ist v ∈M00.Wegenv ∈M ⊆I = (M00) gibt esw ∈M00 mitw|v.
Wegen M00⊆I = (M) gibt esu ∈M mitu|w. Alsou|w|v, woraus wegen v ∈M0 undu ∈M folgtu =w =v, insbesondere v =w ∈M00.
Lemma. SeiM ⊆[X]undI := (M). Dann ist die Menge M0:={v ∈M |@u ∈M : (u 6=v &u|v)}
der bezüglich der Teilerrelation minimalen Elemente vonM das kleinste aus Monomen bestehende Erzeugendensystem von I, das heißt
I = (M0) und für alle M00⊆[X]mitI = (M00) giltM0 ⊆M00. Insbesondere istM0 endlich.
Beweis.
Zu zeigen:
(a) M ⊆(M0)
(b) ∀M00⊆[X] : (I = (M00) =⇒ M0 ⊆M00)
Zu (a). Sei w ∈M. Wähle v ∈M0 mitv|w. Dannw ∈(M0).
Zu (b). SeiM00⊆[X]mitI = (M00). Sei v∈M0.Zu zeigen ist v ∈M00.Wegenv ∈M ⊆I = (M00) gibt esw ∈M00 mitw|v. Wegen M00⊆I = (M) gibt esu ∈M mitu|w.
Alsou|w|v, woraus wegen v ∈M0 undu ∈M folgtu =w =v, insbesondere v =w ∈M00.
Lemma. SeiM ⊆[X]undI := (M). Dann ist die Menge M0:={v ∈M |@u ∈M : (u 6=v &u|v)}
der bezüglich der Teilerrelation minimalen Elemente vonM das kleinste aus Monomen bestehende Erzeugendensystem von I, das heißt
I = (M0) und für alle M00⊆[X]mitI = (M00) giltM0 ⊆M00. Insbesondere istM0 endlich.
Beweis.
Zu zeigen:
(a) M ⊆(M0)
(b) ∀M00⊆[X] : (I = (M00) =⇒ M0 ⊆M00)
Zu (a). Sei w ∈M. Wähle v ∈M0 mitv|w. Dannw ∈(M0).
Zu (b). SeiM00⊆[X]mitI = (M00). Sei v∈M0.Zu zeigen ist v ∈M00.Wegenv ∈M ⊆I = (M00) gibt esw ∈M00 mitw|v. Wegen M00⊆I = (M) gibt esu ∈M mitu|w. Alsou|w|v, woraus wegen v ∈M0 undu ∈M folgtu =w =v, insbesondere v =w ∈M00.
Lemma. SeiI ⊆K[X]ein monomiales Ideal.
Dann besitztI genau ein aus Monomen bestehendes Erzeugendensystem M derart, dass kein Element von M ein anderes Element von M teilt. Es istM endlich und das kleinste aus Monomen bestehende Erzeugendensystem von I. Man erhältM aus jedem anderen aus Monomen bestehenden
Erzeugendensystem M0 von I, indem man die bezüglich der Teilerrelation aufM0 nicht minimalen Elemente aus M0 entfernt. Beweis.
Um die Eindeutigkeitzu zeigen, seiM ⊆[X]mitI = (M) und
∀u,v ∈M : (u6=v =⇒ u6 |v).Mit der Notation des letzten Lemmas gilt dann offenbar M =M0 und M0 ist nach dem letzten Lemma durch I eindeutig bestimmt. Die Existenzund die restlichen Aussagen folgen ebenfalls aus dem letzten Lemma.
Lemma. SeiI ⊆K[X]ein monomiales Ideal.Dann besitztI genau ein aus Monomen bestehendes Erzeugendensystem M derart, dass kein Element von M ein anderes Element von M teilt.
Es istM endlich und das kleinste aus Monomen bestehende Erzeugendensystem von I. Man erhältM aus jedem anderen aus Monomen bestehenden
Erzeugendensystem M0 von I, indem man die bezüglich der Teilerrelation aufM0 nicht minimalen Elemente aus M0 entfernt. Beweis.
Um die Eindeutigkeitzu zeigen, seiM ⊆[X]mitI = (M) und
∀u,v ∈M : (u6=v =⇒ u6 |v).Mit der Notation des letzten Lemmas gilt dann offenbar M =M0 und M0 ist nach dem letzten Lemma durch I eindeutig bestimmt. Die Existenzund die restlichen Aussagen folgen ebenfalls aus dem letzten Lemma.
Lemma. SeiI ⊆K[X]ein monomiales Ideal.Dann besitztI genau ein aus Monomen bestehendes Erzeugendensystem M derart, dass kein Element von M ein anderes Element von M teilt. Es istM endlich und das kleinste aus Monomen bestehende Erzeugendensystem von I.
Man erhältM aus jedem anderen aus Monomen bestehenden
Erzeugendensystem M0 von I, indem man die bezüglich der Teilerrelation aufM0 nicht minimalen Elemente aus M0 entfernt. Beweis.
Um die Eindeutigkeitzu zeigen, seiM ⊆[X]mitI = (M) und
∀u,v ∈M : (u6=v =⇒ u6 |v).Mit der Notation des letzten Lemmas gilt dann offenbar M =M0 und M0 ist nach dem letzten Lemma durch I eindeutig bestimmt. Die Existenzund die restlichen Aussagen folgen ebenfalls aus dem letzten Lemma.
Lemma. SeiI ⊆K[X]ein monomiales Ideal.Dann besitztI genau ein aus Monomen bestehendes Erzeugendensystem M derart, dass kein Element von M ein anderes Element von M teilt. Es istM endlich und das kleinste aus Monomen bestehende Erzeugendensystem von I. Man erhältM aus jedem anderen aus Monomen bestehenden
Erzeugendensystem M0 von I, indem man die bezüglich der Teilerrelation aufM0 nicht minimalen Elemente ausM0 entfernt.
Beweis.
Um die Eindeutigkeitzu zeigen, seiM ⊆[X]mitI = (M) und
∀u,v ∈M : (u6=v =⇒ u6 |v).Mit der Notation des letzten Lemmas gilt dann offenbar M =M0 und M0 ist nach dem letzten Lemma durch I eindeutig bestimmt. Die Existenzund die restlichen Aussagen folgen ebenfalls aus dem letzten Lemma.
Lemma. SeiI ⊆K[X]ein monomiales Ideal.Dann besitztI genau ein aus Monomen bestehendes Erzeugendensystem M derart, dass kein Element von M ein anderes Element von M teilt. Es istM endlich und das kleinste aus Monomen bestehende Erzeugendensystem von I. Man erhältM aus jedem anderen aus Monomen bestehenden
Erzeugendensystem M0 von I, indem man die bezüglich der Teilerrelation aufM0 nicht minimalen Elemente ausM0 entfernt.
Beweis.
Um dieEindeutigkeit zu zeigen, seiM ⊆[X]mitI = (M) und
∀u,v ∈M : (u6=v =⇒ u6 |v).
Mit der Notation des letzten Lemmas gilt dann offenbar M =M0 und M0 ist nach dem letzten Lemma durch I eindeutig bestimmt. Die Existenzund die restlichen Aussagen folgen ebenfalls aus dem letzten Lemma.
Lemma. SeiI ⊆K[X]ein monomiales Ideal.Dann besitztI genau ein aus Monomen bestehendes Erzeugendensystem M derart, dass kein Element von M ein anderes Element von M teilt. Es istM endlich und das kleinste aus Monomen bestehende Erzeugendensystem von I. Man erhältM aus jedem anderen aus Monomen bestehenden
Erzeugendensystem M0 von I, indem man die bezüglich der Teilerrelation aufM0 nicht minimalen Elemente ausM0 entfernt.
Beweis.
Um dieEindeutigkeit zu zeigen, seiM ⊆[X]mitI = (M) und
∀u,v ∈M : (u6=v =⇒ u6 |v).Mit der Notation des letzten Lemmas gilt dann offenbarM =M0 und M0 ist nach dem letzten Lemma durch I eindeutig bestimmt.
DieExistenzund die restlichen Aussagen folgen ebenfalls aus dem letzten Lemma.
Lemma. SeiI ⊆K[X]ein monomiales Ideal.Dann besitztI genau ein aus Monomen bestehendes Erzeugendensystem M derart, dass kein Element von M ein anderes Element von M teilt. Es istM endlich und das kleinste aus Monomen bestehende Erzeugendensystem von I. Man erhältM aus jedem anderen aus Monomen bestehenden
Erzeugendensystem M0 von I, indem man die bezüglich der Teilerrelation aufM0 nicht minimalen Elemente ausM0 entfernt.
Beweis.
Um dieEindeutigkeit zu zeigen, seiM ⊆[X]mitI = (M) und
∀u,v ∈M : (u6=v =⇒ u6 |v).Mit der Notation des letzten Lemmas gilt dann offenbarM =M0 und M0 ist nach dem letzten Lemma durch I eindeutig bestimmt. Die Existenzund die restlichen Aussagen folgen ebenfalls aus dem letzten Lemma.
Minimale Gröbnerbasen
Definition.Eine Gröbnerbasis G ⊆K[X] heißtminimal, wenn sie minimal unter allen Gröbnerbasen des vonG erzeugten Idealsist.
Proposition.Sei G ⊆K[X]\ {0} endlich undI := (G). Dann sind äquivalent:
(a) G ist eine minimale Gröbnerbasis.
(b) G ist eine Gröbnerbasis derart, dass kein Leitmonom eines Elements vonG das Leitmonom eines anderen Elements vonG teilt.
(c) Je zwei verschiedene Elemente vonG haben verschiedene Leitmonome und
{LM(g)|g ∈G}
ist daskleinste aus Monomen bestehende Erzeugendensystem von L(I).
Minimale Gröbnerbasen
Definition.Eine Gröbnerbasis G ⊆K[X] heißtminimal, wenn sie minimal unter allen Gröbnerbasen des vonG erzeugten Idealsist.
Proposition.Sei G ⊆K[X]\ {0} endlich undI := (G).
Dann sind äquivalent:
(a) G ist eine minimale Gröbnerbasis.
(b) G ist eine Gröbnerbasis derart, dass kein Leitmonom eines Elements vonG das Leitmonom eines anderen Elements vonG teilt.
(c) Je zwei verschiedene Elemente vonG haben verschiedene Leitmonome und
{LM(g)|g ∈G}
ist daskleinste aus Monomen bestehende Erzeugendensystem von L(I).
Minimale Gröbnerbasen
Definition.Eine Gröbnerbasis G ⊆K[X] heißtminimal, wenn sie minimal unter allen Gröbnerbasen des vonG erzeugten Idealsist.
Proposition.Sei G ⊆K[X]\ {0} endlich undI := (G).
Dann sind äquivalent:
(a) G ist eine minimale Gröbnerbasis.
(b) G ist eine Gröbnerbasis derart, dass kein Leitmonom eines Elements vonG das Leitmonom eines anderen Elements vonG teilt.
(c) Je zwei verschiedene Elemente vonG haben verschiedene Leitmonome und
{LM(g)|g ∈G}
ist daskleinste aus Monomen bestehende Erzeugendensystem von L(I).
Minimale Gröbnerbasen
Definition.Eine Gröbnerbasis G ⊆K[X] heißtminimal, wenn sie minimal unter allen Gröbnerbasen des vonG erzeugten Idealsist.
Proposition.Sei G ⊆K[X]\ {0} endlich undI := (G).
Dann sind äquivalent:
(a) G ist eine minimale Gröbnerbasis.
(b) G ist eine Gröbnerbasis derart, dass kein Leitmonom eines Elements vonG das Leitmonom eines anderen Elements vonG teilt.
(c) Je zwei verschiedene Elemente vonG haben verschiedene Leitmonome und
{LM(g)|g ∈G}
ist daskleinste aus Monomen bestehende Erzeugendensystem von L(I).
Minimale Gröbnerbasen
Definition.Eine Gröbnerbasis G ⊆K[X] heißtminimal, wenn sie minimal unter allen Gröbnerbasen des vonG erzeugten Idealsist.
Proposition.Sei G ⊆K[X]\ {0} endlich undI := (G).
Dann sind äquivalent:
(a) G ist eine minimale Gröbnerbasis.
(b) G ist eine Gröbnerbasis derart, dass kein Leitmonom eines Elements vonG das Leitmonom eines anderen Elements vonG teilt.
(c) Je zwei verschiedene Elemente vonG haben verschiedene Leitmonome und
{LM(g)|g ∈G}
ist daskleinste aus Monomen bestehende Erzeugendensystem von L(I).
Satz. SeiI ⊆K[X]ein Ideal. Dann besitztI eine minimale Gröbnerbasis.
SindG undH zwei minimale Gröbnerbasen von I, so gilt
#G = #H = #{LM(g)|g ∈G}und {LM(g)|g ∈G}={LM(h)|h∈H}. Beweis.
Die zweite Aussage ist klar mit (c) aus der letzten Proposition. Um die Existenzeiner minimalen Gröbnerbasis von I zu zeigen, wähle man zunächst eine beliebige Gröbnerbasis G ⊆K[X]\ {0} vonI. Offensichtlich gibt es H ⊆G mit
({LM(g)|g ∈G}) = ({LM(h)|h∈H})
derart, dass kein Leitmonom eines Elements vonH das Leitmonom eines anderen Elements von H teilt. Wegen
({LM(h)|h∈H}) = ({LM(g)|g ∈G}) =L(I) ist auchH eine Gröbnerbasis vonI. Nach der Proposition ist H eine minimale Gröbnerbasis.
Bemerkung. Es ist jetzt klar, wie man zu einer gegebenen endlichen Menge F ⊆K[X]eine minimale GröbnerbasisH von(F) berechnet.
Satz. SeiI ⊆K[X]ein Ideal. Dann besitztI eine minimale
Gröbnerbasis. SindG undH zwei minimale Gröbnerbasen von I, so gilt
#G = #H = #{LM(g)|g ∈G}
und {LM(g)|g ∈G}={LM(h)|h∈H}. Beweis.
Die zweite Aussage ist klar mit (c) aus der letzten Proposition. Um die Existenzeiner minimalen Gröbnerbasis von I zu zeigen, wähle man zunächst eine beliebige Gröbnerbasis G ⊆K[X]\ {0} vonI. Offensichtlich gibt es H ⊆G mit
({LM(g)|g ∈G}) = ({LM(h)|h∈H})
derart, dass kein Leitmonom eines Elements vonH das Leitmonom eines anderen Elements von H teilt. Wegen
({LM(h)|h∈H}) = ({LM(g)|g ∈G}) =L(I) ist auchH eine Gröbnerbasis vonI. Nach der Proposition ist H eine minimale Gröbnerbasis.
Bemerkung. Es ist jetzt klar, wie man zu einer gegebenen endlichen Menge F ⊆K[X]eine minimale GröbnerbasisH von(F) berechnet.
Satz. SeiI ⊆K[X]ein Ideal. Dann besitztI eine minimale
Gröbnerbasis. SindG undH zwei minimale Gröbnerbasen von I, so gilt
#G = #H = #{LM(g)|g ∈G}und {LM(g)|g ∈G}={LM(h)|h∈H}.
Beweis.
Die zweite Aussage ist klar mit (c) aus der letzten Proposition. Um die Existenzeiner minimalen Gröbnerbasis von I zu zeigen, wähle man zunächst eine beliebige Gröbnerbasis G ⊆K[X]\ {0} vonI. Offensichtlich gibt es H ⊆G mit
({LM(g)|g ∈G}) = ({LM(h)|h∈H})
derart, dass kein Leitmonom eines Elements vonH das Leitmonom eines anderen Elements von H teilt. Wegen
({LM(h)|h∈H}) = ({LM(g)|g ∈G}) =L(I) ist auchH eine Gröbnerbasis vonI. Nach der Proposition ist H eine minimale Gröbnerbasis.
Bemerkung. Es ist jetzt klar, wie man zu einer gegebenen endlichen Menge F ⊆K[X]eine minimale GröbnerbasisH von(F) berechnet.
Satz. SeiI ⊆K[X]ein Ideal. Dann besitztI eine minimale
Gröbnerbasis. SindG undH zwei minimale Gröbnerbasen von I, so gilt
#G = #H = #{LM(g)|g ∈G}und {LM(g)|g ∈G}={LM(h)|h∈H}.
Beweis.
Die zweite Aussage ist klar mit (c) aus der letzten Proposition.
Um die Existenzeiner minimalen Gröbnerbasis von I zu zeigen, wähle man zunächst eine beliebige Gröbnerbasis G ⊆K[X]\ {0} vonI. Offensichtlich gibt es H ⊆G mit
({LM(g)|g ∈G}) = ({LM(h)|h∈H})
derart, dass kein Leitmonom eines Elements vonH das Leitmonom eines anderen Elements von H teilt. Wegen
({LM(h)|h∈H}) = ({LM(g)|g ∈G}) =L(I) ist auchH eine Gröbnerbasis vonI. Nach der Proposition ist H eine minimale Gröbnerbasis.
Bemerkung. Es ist jetzt klar, wie man zu einer gegebenen endlichen Menge F ⊆K[X]eine minimale GröbnerbasisH von(F) berechnet.
Satz. SeiI ⊆K[X]ein Ideal. Dann besitztI eine minimale
Gröbnerbasis. SindG undH zwei minimale Gröbnerbasen von I, so gilt
#G = #H = #{LM(g)|g ∈G}und {LM(g)|g ∈G}={LM(h)|h∈H}.
Beweis.
Die zweite Aussage ist klar mit (c) aus der letzten Proposition. Um die Existenzeiner minimalen Gröbnerbasis von I zu zeigen, wähle man zunächst eine beliebige Gröbnerbasis G ⊆K[X]\ {0} vonI.
Offensichtlich gibt es H ⊆G mit
({LM(g)|g ∈G}) = ({LM(h)|h∈H})
derart, dass kein Leitmonom eines Elements vonH das Leitmonom eines anderen Elements von H teilt. Wegen
({LM(h)|h∈H}) = ({LM(g)|g ∈G}) =L(I) ist auchH eine Gröbnerbasis vonI. Nach der Proposition ist H eine minimale Gröbnerbasis.
Bemerkung. Es ist jetzt klar, wie man zu einer gegebenen endlichen Menge F ⊆K[X]eine minimale GröbnerbasisH von(F) berechnet.
Satz. SeiI ⊆K[X]ein Ideal. Dann besitztI eine minimale
Gröbnerbasis. SindG undH zwei minimale Gröbnerbasen von I, so gilt
#G = #H = #{LM(g)|g ∈G}und {LM(g)|g ∈G}={LM(h)|h∈H}.
Beweis.
Die zweite Aussage ist klar mit (c) aus der letzten Proposition. Um die Existenzeiner minimalen Gröbnerbasis von I zu zeigen, wähle man zunächst eine beliebige Gröbnerbasis G ⊆K[X]\ {0} vonI. Offensichtlich gibt es H⊆G mit
({LM(g)|g ∈G}) = ({LM(h)|h∈H})
derart, dass kein Leitmonom eines Elements vonH das Leitmonom eines anderen Elements von H teilt.
Wegen
({LM(h)|h∈H}) = ({LM(g)|g ∈G}) =L(I) ist auchH eine Gröbnerbasis vonI. Nach der Proposition ist H eine minimale Gröbnerbasis.
Bemerkung. Es ist jetzt klar, wie man zu einer gegebenen endlichen Menge F ⊆K[X]eine minimale GröbnerbasisH von(F) berechnet.
Satz. SeiI ⊆K[X]ein Ideal. Dann besitztI eine minimale
Gröbnerbasis. SindG undH zwei minimale Gröbnerbasen von I, so gilt
#G = #H = #{LM(g)|g ∈G}und {LM(g)|g ∈G}={LM(h)|h∈H}.
Beweis.
Die zweite Aussage ist klar mit (c) aus der letzten Proposition. Um die Existenzeiner minimalen Gröbnerbasis von I zu zeigen, wähle man zunächst eine beliebige Gröbnerbasis G ⊆K[X]\ {0} vonI. Offensichtlich gibt es H⊆G mit
({LM(g)|g ∈G}) = ({LM(h)|h∈H})
derart, dass kein Leitmonom eines Elements vonH das Leitmonom eines anderen Elements von H teilt. Wegen
({LM(h)|h∈H}) = ({LM(g)|g ∈G}) =L(I) ist auchH eine Gröbnerbasis vonI.
Nach der Proposition ist H eine minimale Gröbnerbasis.
Bemerkung. Es ist jetzt klar, wie man zu einer gegebenen endlichen Menge F ⊆K[X]eine minimale GröbnerbasisH von(F) berechnet.
Satz. SeiI ⊆K[X]ein Ideal. Dann besitztI eine minimale
Gröbnerbasis. SindG undH zwei minimale Gröbnerbasen von I, so gilt
#G = #H = #{LM(g)|g ∈G}und {LM(g)|g ∈G}={LM(h)|h∈H}.
Beweis.
Die zweite Aussage ist klar mit (c) aus der letzten Proposition. Um die Existenzeiner minimalen Gröbnerbasis von I zu zeigen, wähle man zunächst eine beliebige Gröbnerbasis G ⊆K[X]\ {0} vonI. Offensichtlich gibt es H⊆G mit
({LM(g)|g ∈G}) = ({LM(h)|h∈H})
derart, dass kein Leitmonom eines Elements vonH das Leitmonom eines anderen Elements von H teilt. Wegen
({LM(h)|h∈H}) = ({LM(g)|g ∈G}) =L(I) ist auchH eine Gröbnerbasis vonI. Nach der Proposition ist H eine minimale Gröbnerbasis.
Bemerkung. Es ist jetzt klar, wie man zu einer gegebenen endlichen Menge F ⊆K[X]eine minimale GröbnerbasisH von(F) berechnet.
Satz. SeiI ⊆K[X]ein Ideal. Dann besitztI eine minimale
Gröbnerbasis. SindG undH zwei minimale Gröbnerbasen von I, so gilt
#G = #H = #{LM(g)|g ∈G}und {LM(g)|g ∈G}={LM(h)|h∈H}.
Beweis.
Die zweite Aussage ist klar mit (c) aus der letzten Proposition. Um die Existenzeiner minimalen Gröbnerbasis von I zu zeigen, wähle man zunächst eine beliebige Gröbnerbasis G ⊆K[X]\ {0} vonI. Offensichtlich gibt es H⊆G mit
({LM(g)|g ∈G}) = ({LM(h)|h∈H})
derart, dass kein Leitmonom eines Elements vonH das Leitmonom eines anderen Elements von H teilt. Wegen
({LM(h)|h∈H}) = ({LM(g)|g ∈G}) =L(I) ist auchH eine Gröbnerbasis vonI. Nach der Proposition ist H eine minimale Gröbnerbasis.
Bemerkung. Es ist jetzt klar, wie man zu einer gegebenen endlichen Menge F ⊆K[X]eine minimale GröbnerbasisH von(F) berechnet.
Reduzierte Gröbnerbasen
Definition.
(a) Ein Polynomf ∈K[X]heißt normiert(bezüglich ≤), wennf 6=0 undLC(f) =1.
(b) Eine MengeF ⊆K[X]heißtnormiert (bezüglich≤), wenn jedes ihrer Elemente normiert ist.
(c) Eine MengeF ⊆K[X]heißtreduziert (bezüglich≤),
wennF normiert ist undjedes f ∈F reduziert moduloF \ {f}ist. Proposition.Jede reduzierte Gröbnerbasis ist minimal.
Reduzierte Gröbnerbasen
Definition.
(a) Ein Polynomf ∈K[X]heißt normiert(bezüglich ≤), wennf 6=0 undLC(f) =1.
(b) Eine MengeF ⊆K[X]heißtnormiert(bezüglich ≤), wenn jedes ihrer Elemente normiert ist.
(c) Eine MengeF ⊆K[X]heißtreduziert (bezüglich≤),
wennF normiert ist undjedes f ∈F reduziert moduloF \ {f}ist. Proposition.Jede reduzierte Gröbnerbasis ist minimal.
Reduzierte Gröbnerbasen
Definition.
(a) Ein Polynomf ∈K[X]heißt normiert(bezüglich ≤), wennf 6=0 undLC(f) =1.
(b) Eine MengeF ⊆K[X]heißtnormiert(bezüglich ≤), wenn jedes ihrer Elemente normiert ist.
(c) Eine MengeF ⊆K[X]heißtreduziert (bezüglich≤),
wennF normiert ist undjedes f ∈F reduziert moduloF \ {f}ist.
Proposition.Jede reduzierte Gröbnerbasis ist minimal.
Reduzierte Gröbnerbasen
Definition.
(a) Ein Polynomf ∈K[X]heißt normiert(bezüglich ≤), wennf 6=0 undLC(f) =1.
(b) Eine MengeF ⊆K[X]heißtnormiert(bezüglich ≤), wenn jedes ihrer Elemente normiert ist.
(c) Eine MengeF ⊆K[X]heißtreduziert (bezüglich≤),
wennF normiert ist undjedes f ∈F reduziert moduloF \ {f}ist.
Proposition.Jede reduzierte Gröbnerbasis ist minimal.
Satz. Jedes Ideal vonK[X]besitzt eine eindeutig bestimmtereduzierte Gröbnerbasis.
Beweis.
Sei I ⊆K[X] ein Ideal.
Satz. Jedes Ideal vonK[X]besitzt eine eindeutig bestimmtereduzierte Gröbnerbasis.
Beweis.
Sei I ⊆K[X] ein Ideal.
Eindeutigkeit SeienG und H reduzierte Gröbnerbasen von I.DaG und H nach der letzten Proposition minimal sind,
gilt nach dem letzten Satz
#G = #H = #{LM(g)|g ∈G}und
(∗) {LM(g)|g ∈G}={LM(h)|h∈H}.
Seig ∈G.Es reichtg ∈H zu zeigen.Wähleh ∈H mitu :=LM(g) = LM(h).Wir behaupteng =h.Wegen(∗)gilt offenbarred(G) =red(H). Wegeng ∈red(G\ {g})giltM(g)\ {u} ⊆red(G).
Analog M(h)\ {u} ⊆ red(H). Da g und h normiert sind, haben wir M(g −h) ⊆ (M(g) ∪M(h))\ {u} ⊆ red(G) = red(H) und daher g −h ∈red(G). Andererseitsg −h ∈I und daherg −h −→∗
G 0.
Es folgtg −h =0, alsog =h ∈H.
Satz. Jedes Ideal vonK[X]besitzt eine eindeutig bestimmtereduzierte Gröbnerbasis.
Beweis.
Sei I ⊆K[X] ein Ideal.
Eindeutigkeit SeienG und H reduzierte Gröbnerbasen von I.DaG und H nach der letzten Proposition minimal sind, gilt nach dem letzten Satz
#G = #H = #{LM(g)|g ∈G}und
(∗) {LM(g)|g ∈G}={LM(h)|h∈H}.
Seig ∈G.Es reichtg ∈H zu zeigen.Wähleh ∈H mitu :=LM(g) = LM(h).Wir behaupteng =h.Wegen(∗)gilt offenbarred(G) =red(H). Wegeng ∈red(G\ {g})giltM(g)\ {u} ⊆red(G).
Analog M(h)\ {u} ⊆ red(H). Da g und h normiert sind, haben wir M(g −h) ⊆ (M(g) ∪M(h))\ {u} ⊆ red(G) = red(H) und daher g −h ∈red(G). Andererseitsg −h ∈I und daherg −h −→∗
G 0.
Es folgtg −h =0, alsog =h ∈H.
Satz. Jedes Ideal vonK[X]besitzt eine eindeutig bestimmtereduzierte Gröbnerbasis.
Beweis.
Sei I ⊆K[X] ein Ideal.
Eindeutigkeit SeienG und H reduzierte Gröbnerbasen von I.DaG und H nach der letzten Proposition minimal sind, gilt nach dem letzten Satz
#G = #H = #{LM(g)|g ∈G}und
(∗) {LM(g)|g ∈G}={LM(h)|h∈H}.
Seig ∈G.Es reichtg ∈H zu zeigen.Wähleh ∈H mitu :=LM(g) = LM(h).Wir behaupteng =h.
Wegen(∗)gilt offenbarred(G) =red(H). Wegeng ∈red(G\ {g})giltM(g)\ {u} ⊆red(G).
Analog M(h)\ {u} ⊆ red(H). Da g und h normiert sind, haben wir M(g −h) ⊆ (M(g) ∪M(h))\ {u} ⊆ red(G) = red(H) und daher g −h ∈red(G). Andererseitsg −h ∈I und daherg −h −→∗
G 0.
Es folgtg −h =0, alsog =h ∈H.
Satz. Jedes Ideal vonK[X]besitzt eine eindeutig bestimmtereduzierte Gröbnerbasis.
Beweis.
Sei I ⊆K[X] ein Ideal.
Eindeutigkeit SeienG und H reduzierte Gröbnerbasen von I.DaG und H nach der letzten Proposition minimal sind, gilt nach dem letzten Satz
#G = #H = #{LM(g)|g ∈G}und
(∗) {LM(g)|g ∈G}={LM(h)|h∈H}.
Seig ∈G.Es reichtg ∈H zu zeigen.Wähleh ∈H mitu :=LM(g) = LM(h).Wir behaupteng =h.Wegen(∗)gilt offenbarred(G) =red(H).
Wegeng ∈red(G\ {g})giltM(g)\ {u} ⊆red(G).
Analog M(h)\ {u} ⊆ red(H). Da g und h normiert sind, haben wir M(g −h) ⊆ (M(g) ∪M(h))\ {u} ⊆ red(G) = red(H) und daher g −h ∈red(G). Andererseitsg −h ∈I und daherg −h −→∗
G 0.
Es folgtg −h =0, alsog =h ∈H.
Satz. Jedes Ideal vonK[X]besitzt eine eindeutig bestimmtereduzierte Gröbnerbasis.
Beweis.
Sei I ⊆K[X] ein Ideal.
Eindeutigkeit SeienG und H reduzierte Gröbnerbasen von I.DaG und H nach der letzten Proposition minimal sind, gilt nach dem letzten Satz
#G = #H = #{LM(g)|g ∈G}und
(∗) {LM(g)|g ∈G}={LM(h)|h∈H}.
Seig ∈G.Es reichtg ∈H zu zeigen.Wähleh ∈H mitu :=LM(g) = LM(h).Wir behaupteng =h.Wegen(∗)gilt offenbarred(G) =red(H).
Wegeng ∈red(G\ {g})giltM(g)\ {u} ⊆red(G).
Analog M(h)\ {u} ⊆ red(H). Da g und h normiert sind, haben wir M(g −h) ⊆ (M(g) ∪M(h))\ {u} ⊆ red(G) = red(H) und daher g −h ∈red(G). Andererseitsg −h ∈I und daherg −h −→∗
G 0.
Es folgtg −h =0, alsog =h ∈H.
Satz. Jedes Ideal vonK[X]besitzt eine eindeutig bestimmtereduzierte Gröbnerbasis.
Beweis.
Sei I ⊆K[X] ein Ideal.
Eindeutigkeit SeienG und H reduzierte Gröbnerbasen von I.DaG und H nach der letzten Proposition minimal sind, gilt nach dem letzten Satz
#G = #H = #{LM(g)|g ∈G}und
(∗) {LM(g)|g ∈G}={LM(h)|h∈H}.
Seig ∈G.Es reichtg ∈H zu zeigen.Wähleh ∈H mitu :=LM(g) = LM(h).Wir behaupteng =h.Wegen(∗)gilt offenbarred(G) =red(H).
Wegeng ∈red(G\ {g})giltM(g)\ {u} ⊆red(G).
Analog M(h)\ {u} ⊆ red(H).
Da g und h normiert sind, haben wir M(g −h) ⊆ (M(g) ∪M(h))\ {u} ⊆ red(G) = red(H) und daher g −h ∈red(G). Andererseitsg −h ∈I und daherg −h −→∗
G 0.
Es folgtg −h =0, alsog =h ∈H.
Satz. Jedes Ideal vonK[X]besitzt eine eindeutig bestimmtereduzierte Gröbnerbasis.
Beweis.
Sei I ⊆K[X] ein Ideal.
Eindeutigkeit SeienG und H reduzierte Gröbnerbasen von I.DaG und H nach der letzten Proposition minimal sind, gilt nach dem letzten Satz
#G = #H = #{LM(g)|g ∈G}und
(∗) {LM(g)|g ∈G}={LM(h)|h∈H}.
Seig ∈G.Es reichtg ∈H zu zeigen.Wähleh ∈H mitu :=LM(g) = LM(h).Wir behaupteng =h.Wegen(∗)gilt offenbarred(G) =red(H).
Wegeng ∈red(G\ {g})giltM(g)\ {u} ⊆red(G).
Analog M(h)\ {u} ⊆ red(H). Da g und h normiert sind, haben wir M(g −h) ⊆ (M(g)∪ M(h))\ {u} ⊆ red(G) = red(H) und daher g −h ∈red(G).
Andererseitsg −h ∈I und daherg −h −→∗
G 0.
Es folgtg −h =0, alsog =h ∈H.
Satz. Jedes Ideal vonK[X]besitzt eine eindeutig bestimmtereduzierte Gröbnerbasis.
Beweis.
Sei I ⊆K[X] ein Ideal.
Eindeutigkeit SeienG und H reduzierte Gröbnerbasen von I.DaG und H nach der letzten Proposition minimal sind, gilt nach dem letzten Satz
#G = #H = #{LM(g)|g ∈G}und
(∗) {LM(g)|g ∈G}={LM(h)|h∈H}.
Seig ∈G.Es reichtg ∈H zu zeigen.Wähleh ∈H mitu :=LM(g) = LM(h).Wir behaupteng =h.Wegen(∗)gilt offenbarred(G) =red(H).
Wegeng ∈red(G\ {g})giltM(g)\ {u} ⊆red(G).
Analog M(h)\ {u} ⊆ red(H). Da g und h normiert sind, haben wir M(g −h) ⊆ (M(g)∪ M(h))\ {u} ⊆ red(G) = red(H) und daher g −h ∈red(G). Andererseitsg −h ∈I und daherg −h −→∗
G 0.
Es folgtg −h =0, alsog =h ∈H.
Satz. Jedes Ideal vonK[X]besitzt eine eindeutig bestimmtereduzierte Gröbnerbasis.
Beweis.
Sei I ⊆K[X] ein Ideal.
Eindeutigkeit SeienG und H reduzierte Gröbnerbasen von I.DaG und H nach der letzten Proposition minimal sind, gilt nach dem letzten Satz
#G = #H = #{LM(g)|g ∈G}und
(∗) {LM(g)|g ∈G}={LM(h)|h∈H}.
Seig ∈G.Es reichtg ∈H zu zeigen.Wähleh ∈H mitu :=LM(g) = LM(h).Wir behaupteng =h.Wegen(∗)gilt offenbarred(G) =red(H).
Wegeng ∈red(G\ {g})giltM(g)\ {u} ⊆red(G).
Analog M(h)\ {u} ⊆ red(H). Da g und h normiert sind, haben wir M(g −h) ⊆ (M(g)∪ M(h))\ {u} ⊆ red(G) = red(H) und daher g −h ∈red(G). Andererseitsg −h ∈I und daherg −h −→∗
G 0.
Es folgtg −h =0, alsog =h∈H.
Satz. Jedes Ideal vonK[X]besitzt eine eindeutig bestimmtereduzierte Gröbnerbasis.
Beweis.
Sei I ⊆K[X] ein Ideal.
ExistenzWähle mit dem letzten Satz eine minimale GröbnerbasisG von I. Wähle zu jedem g ∈ G ein g0 ∈ red(G \ {g}) mit g −→∗
G\{g} g0.
Wegen der Minimalität von G gilt LM(g0) = LM(g) für alle g ∈ G. Mit G ist auchH := {g0 |g ∈G} eine Gröbnerbasis von I.Man sieht red(G\ {g}) =red(H\ {g0}) für alleg ∈G. Somitg0 ∈red(H\ {g0}) für alle g ∈G, das heißtH ist reduziert.
Satz. Jedes Ideal vonK[X]besitzt eine eindeutig bestimmtereduzierte Gröbnerbasis.
Beweis.
Sei I ⊆K[X] ein Ideal.
ExistenzWähle mit dem letzten Satz eine minimale GröbnerbasisG von I. Wähle zu jedem g ∈ G ein g0 ∈ red(G \ {g}) mit g −→∗
G\{g} g0. Wegen der Minimalität von G gilt LM(g0) = LM(g) für alle g ∈ G.
Mit G ist auchH := {g0 |g ∈G} eine Gröbnerbasis von I.Man sieht red(G\ {g}) =red(H\ {g0}) für alleg ∈G. Somitg0 ∈red(H\ {g0}) für alle g ∈G, das heißtH ist reduziert.
Satz. Jedes Ideal vonK[X]besitzt eine eindeutig bestimmtereduzierte Gröbnerbasis.
Beweis.
Sei I ⊆K[X] ein Ideal.
ExistenzWähle mit dem letzten Satz eine minimale GröbnerbasisG von I. Wähle zu jedem g ∈ G ein g0 ∈ red(G \ {g}) mit g −→∗
G\{g} g0. Wegen der Minimalität von G gilt LM(g0) = LM(g) für alle g ∈ G. Mit G ist auchH :={g0 |g ∈G} eine Gröbnerbasis von I.
Man sieht red(G\ {g}) =red(H\ {g0}) für alleg ∈G. Somitg0 ∈red(H\ {g0}) für alle g ∈G, das heißtH ist reduziert.
Satz. Jedes Ideal vonK[X]besitzt eine eindeutig bestimmtereduzierte Gröbnerbasis.
Beweis.
Sei I ⊆K[X] ein Ideal.
ExistenzWähle mit dem letzten Satz eine minimale GröbnerbasisG von I. Wähle zu jedem g ∈ G ein g0 ∈ red(G \ {g}) mit g −→∗
G\{g} g0. Wegen der Minimalität von G gilt LM(g0) = LM(g) für alle g ∈ G. Mit G ist auchH :={g0 |g ∈G} eine Gröbnerbasis von I.Man sieht red(G\ {g}) =red(H\ {g0}) für alleg ∈G.
Somitg0 ∈red(H\ {g0}) für alle g ∈G, das heißtH ist reduziert.
Satz. Jedes Ideal vonK[X]besitzt eine eindeutig bestimmtereduzierte Gröbnerbasis.
Beweis.
Sei I ⊆K[X] ein Ideal.
ExistenzWähle mit dem letzten Satz eine minimale GröbnerbasisG von I. Wähle zu jedem g ∈ G ein g0 ∈ red(G \ {g}) mit g −→∗
G\{g} g0. Wegen der Minimalität von G gilt LM(g0) = LM(g) für alle g ∈ G. Mit G ist auchH :={g0 |g ∈G} eine Gröbnerbasis von I.Man sieht red(G\ {g}) =red(H\ {g0}) für alleg ∈G. Somitg0 ∈red(H\ {g0}) für alle g ∈G, das heißt H ist reduziert.
Interreduktionsalgorithmus
Eingabe: F ⊆K[X]endlich
Ausgabe: G ⊆K[X]endlich und reduziert mit (G) = (F) derart, dass G eine Gröbnerbasis ist, falls F eine ist.
G ←F;
solange esg ∈G gibt mitg ∈/ red(G\ {g}) wähleg ∈G mitg ∈/red(G\ {g}); wähleh ∈K[X]mitg −→
G\{g}h;G ←(G \ {g})∪ {h}
; G ← {LC(g)g |g ∈G\ {0}}
Interreduktionsalgorithmus
Eingabe: F ⊆K[X]endlich
Ausgabe: G ⊆K[X]endlich und reduziert mit (G) = (F) derart, dass G eine Gröbnerbasis ist, falls F eine ist.
G ←F;
solange esg ∈G gibt mitg ∈/ red(G\ {g}) wähleg ∈G mitg ∈/red(G\ {g});
wähleh ∈K[X]mitg −→
G\{g}h;G ←(G \ {g})∪ {h}
; G ← {LC(g)g |g ∈G\ {0}}
Interreduktionsalgorithmus
Eingabe: F ⊆K[X]endlich
Ausgabe: G ⊆K[X]endlich und reduziert mit (G) = (F) derart, dass G eine Gröbnerbasis ist, falls F eine ist.
G ←F;
solange esg ∈G gibt mitg ∈/ red(G\ {g}) wähleg ∈G mitg ∈/red(G\ {g});
wähleh ∈K[X]mitg −→
G\{g}h;G ←(G \ {g})∪ {h}
; G ← {LC(g)g |g ∈G\ {0}}
Beweis. Terminierung Angenommen der Algorithmus terminiert nicht.
Wähle danns ∈Nund g1(0), . . . ,gs(0) ∈K[X]mitF ={g1(0), . . . ,gs(0)}.
Dann gilt zu Beginn des ersten SchleifendurchlaufsG ={g1(0), . . . ,gs(0)}.
Wir nehmen an zu Beginn des i-ten Durchlaufs (i ∈ N) gelte G = {g1(i−1), . . . ,gs(i−1))für schon definierteg1(i−1), . . . ,gs(i−1)∈K[X].[. . . ]
Interreduktionsalgorithmus
Eingabe: F ⊆K[X]endlich
Ausgabe: G ⊆K[X]endlich und reduziert mit (G) = (F) derart, dass G eine Gröbnerbasis ist, falls F eine ist.
G ←F;
solange esg ∈G gibt mitg ∈/ red(G\ {g}) wähleg ∈G mitg ∈/red(G\ {g});
wähleh ∈K[X]mitg −→
G\{g}h;G ←(G \ {g})∪ {h}
; G ← {LC(g)g |g ∈G\ {0}}
Beweis. Korrektheit Schleifeninvarianten:
(a) G ⊆K[X]ist endlich mit(G) = (F).
(b) G ist eine Gröbnerbasis, falls F eine war.
Für (a) ist das schnell zu sehen. Für (b) reicht es zu zeigen, dassL(I) = ({LM(f)|f ∈G \ {0}}) mitI := (F) eine Invariante ist.[. . . ]
Bemerkung. Wie versprochen sehen wir jetzt, dass Gröbnerbasen gleichzeitigden euklidischen Algorithmus für Polynome in einer Variablenals auch den Gauß-Algorithmus für lineare Polynome verallgemeinern:
Seien nämlichf1, . . . ,fs ∈K[X]undI := (f1, . . . ,fs).
Bemerkung. Wie versprochen sehen wir jetzt, dass Gröbnerbasen gleichzeitigden euklidischen Algorithmus für Polynome in einer Variablenals auch den Gauß-Algorithmus für lineare Polynome
verallgemeinern: Seien nämlichf1, . . . ,fs ∈K[X]undI := (f1, . . . ,fs).
Bemerkung. Wie versprochen sehen wir jetzt, dass Gröbnerbasen gleichzeitigden euklidischen Algorithmus für Polynome in einer Variablenals auch den Gauß-Algorithmus für lineare Polynome
verallgemeinern: Seien nämlichf1, . . . ,fs ∈K[X]undI := (f1, . . . ,fs).
(a) Gelte n = 1, also X = X. Dann gibt es genau ein g ∈ K[X] mit I = (g)undg normiert oderg =0. Dann ist{g}\{0}die eindeutig bestimmte reduzierte Gröbnerbasis vonI.
Bemerkung. Wie versprochen sehen wir jetzt, dass Gröbnerbasen gleichzeitigden euklidischen Algorithmus für Polynome in einer Variablenals auch den Gauß-Algorithmus für lineare Polynome
verallgemeinern: Seien nämlichf1, . . . ,fs ∈K[X]undI := (f1, . . . ,fs).
(b) Gelte degfi ≤ 1 für alle i ∈ {1, . . . ,s}. Dann gibt es eindeutig bestimmte
gi =
n
X
j=1
aijXj +bi (i ∈ {1, . . . ,s},aij,bi ∈K)
derart, dass mitA:= (aij)1≤i≤s,1≤j≤ndie Matrix(A b)∈Ks×(n+1) in reduzierter Stufenform ist und
Kf1+. . .+Kfs =Kg1+. . .+Kgs.
Ist ≤ eine Termordnung mit X1 ≥X2 ≥ · · · ≥ Xn, so ist im Fall 1 ∈ {g/ 1, . . . ,gs} die Menge {g1, . . . ,gs} \ {0} und sonst {1} eine reduzierte Gröbnerbasis vonI. Dies sieht man mit dem Buchberger- Kriterium zusammen mit dem folgenden Lemma.
Bemerkung. Wie versprochen sehen wir jetzt, dass Gröbnerbasen gleichzeitigden euklidischen Algorithmus für Polynome in einer Variablenals auch den Gauß-Algorithmus für lineare Polynome
verallgemeinern: Seien nämlichf1, . . . ,fs ∈K[X]undI := (f1, . . . ,fs).
(b) Gelte degfi ≤ 1 für alle i ∈ {1, . . . ,s}. Dann gibt es eindeutig bestimmte
gi =
n
X
j=1
aijXj +bi (i ∈ {1, . . . ,s},aij,bi ∈K)
derart, dass mitA:= (aij)1≤i≤s,1≤j≤ndie Matrix(A b)∈Ks×(n+1) in reduzierter Stufenform ist und
Kf1+. . .+Kfs =Kg1+. . .+Kgs.
Ist ≤ eine Termordnung mit X1 ≥ X2 ≥ · · · ≥ Xn, so ist im Fall 1∈ {g/ 1, . . . ,gs} die Menge {g1, . . . ,gs} \ {0} und sonst {1} eine reduzierte Gröbnerbasis vonI. Dies sieht man mit dem Buchberger- Kriterium zusammen mit dem folgenden Lemma.
Lemma. Seienf,g ∈K[X]\ {0} derart, dass keinXi gleichzeitig LM(f) und LM(g)teilt. Dann spol(f,g) −→∗
{f,g}0.
Beweis.
Schreibe f =Pk
i=1aiui und g =P`
j=1bjvj mitk, `∈N,ai,bj ∈K× und ui,vj ∈[X], wobeiu1 > . . . >uk undv1 > . . . >v` gelte. Nach Voraussetzung gilt lcm(u1,v1) =u1v1 und daher
spol(f,g) =b1v1f −a1u1g =b1v1 k
X
i=2
aiui
| {z }
=:p
−a1u1
`
X
j=2
bjvj
| {z }
=:q
.
Es gilt M(p)∩M(q) =∅, denn sonst gäbe esi ∈ {2, . . . ,k}und j ∈ {2, . . . , `}mitv1ui =u1vj und es gälte u1v1=lcm(u1,v1)|v1ui und damit u1v1 ≤v1ui ≤v1u1 =u1v1, wasu1v1 =uiv1 also u1 =ui
implizierte .Jedes der `−1 Monome vonq ist also ein Monom von spol(f,g) und wird vonu1=LM(f)geteilt.Wir addieren nun
nacheinander b`v`f,b`−1v`−1f, . . . ,b2v2f zu spol(f,g) und überlegen uns, dass dies jeweils ein Reduktionsschritt modulof ist [. . . ]
Lemma. Seienf,g ∈K[X]\ {0} derart, dass keinXi gleichzeitig LM(f) und LM(g)teilt. Dann spol(f,g) −→∗
{f,g}0.
Beweis.
Schreibe f =Pk
i=1aiui und g =P`
j=1bjvj mitk, `∈N,ai,bj ∈K× und ui,vj ∈[X], wobeiu1 > . . . >uk undv1> . . . >v` gelte.
Nach Voraussetzung gilt lcm(u1,v1) =u1v1 und daher
spol(f,g) =b1v1f −a1u1g =b1v1 k
X
i=2
aiui
| {z }
=:p
−a1u1
`
X
j=2
bjvj
| {z }
=:q
.
Es gilt M(p)∩M(q) =∅, denn sonst gäbe esi ∈ {2, . . . ,k}und j ∈ {2, . . . , `}mitv1ui =u1vj und es gälte u1v1=lcm(u1,v1)|v1ui und damit u1v1 ≤v1ui ≤v1u1 =u1v1, wasu1v1 =uiv1 also u1 =ui
implizierte .Jedes der `−1 Monome vonq ist also ein Monom von spol(f,g) und wird vonu1=LM(f)geteilt.Wir addieren nun
nacheinander b`v`f,b`−1v`−1f, . . . ,b2v2f zu spol(f,g) und überlegen uns, dass dies jeweils ein Reduktionsschritt modulof ist [. . . ]
Lemma. Seienf,g ∈K[X]\ {0} derart, dass keinXi gleichzeitig LM(f) und LM(g)teilt. Dann spol(f,g) −→∗
{f,g}0.
Beweis.
Schreibe f =Pk
i=1aiui und g =P`
j=1bjvj mitk, `∈N,ai,bj ∈K× und ui,vj ∈[X], wobeiu1 > . . . >uk undv1> . . . >v` gelte.
Nach Voraussetzung gilt lcm(u1,v1) =u1v1 und daher
spol(f,g) =b1v1f −a1u1g =b1v1 k
X
i=2
aiui
| {z }
=:p
−a1u1
`
X
j=2
bjvj
| {z }
=:q
.
Es gilt M(p)∩M(q) =∅, denn sonst gäbe esi ∈ {2, . . . ,k}und j ∈ {2, . . . , `}mitv1ui =u1vj und es gälte u1v1=lcm(u1,v1)|v1ui und damit u1v1 ≤v1ui ≤v1u1 =u1v1, wasu1v1 =uiv1 also u1 =ui
implizierte .Jedes der `−1 Monome vonq ist also ein Monom von spol(f,g) und wird vonu1=LM(f)geteilt.Wir addieren nun
nacheinander b`v`f,b`−1v`−1f, . . . ,b2v2f zu spol(f,g) und überlegen uns, dass dies jeweils ein Reduktionsschritt modulof ist [. . . ]
Lemma. Seienf,g ∈K[X]\ {0} derart, dass keinXi gleichzeitig LM(f) und LM(g)teilt. Dann spol(f,g) −→∗
{f,g}0.
Beweis.
Schreibe f =Pk
i=1aiui und g =P`
j=1bjvj mitk, `∈N,ai,bj ∈K× und ui,vj ∈[X], wobeiu1 > . . . >uk undv1> . . . >v` gelte.
Nach Voraussetzung gilt lcm(u1,v1) =u1v1 und daher
spol(f,g) =b1v1f −a1u1g =b1v1 k
X
i=2
aiui
| {z }
=:p
−a1u1
`
X
j=2
bjvj
| {z }
=:q
.
Es gilt M(p)∩M(q) =∅, denn sonst gäbe esi ∈ {2, . . . ,k}und j ∈ {2, . . . , `}mitv1ui =u1vj und es gälteu1v1=lcm(u1,v1)|v1ui und damit u1v1 ≤v1ui ≤v1u1 =u1v1, wasu1v1 =uiv1 also u1 =ui
implizierte .
Jedes der `−1 Monome vonq ist also ein Monom von spol(f,g) und wird vonu1=LM(f)geteilt.Wir addieren nun
nacheinander b`v`f,b`−1v`−1f, . . . ,b2v2f zu spol(f,g) und überlegen uns, dass dies jeweils ein Reduktionsschritt modulof ist [. . . ]
Lemma. Seienf,g ∈K[X]\ {0} derart, dass keinXi gleichzeitig LM(f) und LM(g)teilt. Dann spol(f,g) −→∗
{f,g}0.
Beweis.
Schreibe f =Pk
i=1aiui und g =P`
j=1bjvj mitk, `∈N,ai,bj ∈K× und ui,vj ∈[X], wobeiu1 > . . . >uk undv1> . . . >v` gelte.
Nach Voraussetzung gilt lcm(u1,v1) =u1v1 und daher
spol(f,g) =b1v1f −a1u1g =b1v1 k
X
i=2
aiui
| {z }
=:p
−a1u1
`
X
j=2
bjvj
| {z }
=:q
.
Es gilt M(p)∩M(q) =∅, denn sonst gäbe esi ∈ {2, . . . ,k}und j ∈ {2, . . . , `}mitv1ui =u1vj und es gälteu1v1=lcm(u1,v1)|v1ui und damit u1v1 ≤v1ui ≤v1u1 =u1v1, wasu1v1 =uiv1 also u1 =ui
implizierte .Jedes der `−1 Monome vonq ist also ein Monom von spol(f,g) und wird vonu1=LM(f) geteilt.Wir addieren nun
nacheinander b`v`f,b`−1v`−1f, . . . ,b2v2f zu spol(f,g) und überlegen uns, dass dies jeweils ein Reduktionsschritt modulof ist [. . . ]
