MK 3.6.2003 EigenschaftenPolynomfun_Ueb.mcd
Übung: Eigenschaften von Polynomfunktionen
Aufgabe:
Gegeben sei die Funktion f x( ) −3
2 ⋅(x +3)⋅(x+ 2)3⋅x2⋅(x−1)2⋅(x −2)⋅(x −3) :=
Bestimmen Sie das Grenzverhalten.
Skizzieren Sie den Graphen.
Lesen Sie ungefähr die Monotoniebereiche ab.
Ist die Funktion beschränkt?
Lösung:
f x( ) −3
2 ⋅(x+ 3)⋅(x+2)3⋅x2⋅(x−1)2⋅(x−2)⋅(x−3) :=
Durchzählen: Höchster Exponent bei x ist 10. Also liegt eine gearde Funktion vor.
Der Koeffizient bei x10ist −3
2. Daraus läßt sich das Grenzverhalten bestimmen.
Also: x ---->−∞∞∞∞ x ---->+∞∞∞∞
f(x)--->−∞∞∞∞ f(x)--->−∞∞∞∞
3
−
2 ⋅(x+ 3)⋅(x+2)3⋅x2⋅(x−1)2⋅(x−2)⋅(x−3) SP SP BP BP SP SP
4 3 2 1 0 1 2 3 4
1000 1000 2000 3000 4000
f x( )
x
4 3 2 1 0 1 2 3 4
4 2 2 4
f x( )
x Monotonie ablesen:
Steigen: ]−∞∞∞∞ ; -2.75 ] [ -1 ; 0 ] [ 0.5 ; 1] [ 1.75 ; 2.75 ] Fallen: [ -2.75 ; -1] [ 0 ; 0.5 ] [ 1 ; 1.75] [ 2.75 ; ∞∞∞∞ [
Die Funktion ist nach oben beschränkt, eine obere Schranke wäre ca. 4000
