Prof. Dr. Daniel Plaumann M. Sc. Dimitri Manevich Wintersemester 2017/2018
ÜBUNGEN ZUR ALGEBRAISCHEN GEOMETRIE I Blatt 5
Abgabe bis Freitag, 17. November
Sei immerK ein algebraisch abgeschlossener Körper.
9. Seien f, g∈K[x1, . . . , xn]. Zeigen Sie:
(a) Genau dann istf reduziert, wennhfi ein Radikalideal ist.
(b) Genau dann gilt V(f)⊂ V(g), wenng eine Potenz vonf teilt.
10. Zeigen Sie, dass jedes Radikalideal von K[x1, . . . , xn] ein Durchschnitt von maxi- malen Idealen ist. (Hinweis: Verwenden Sie den Nullstellensatz.)
11. Ein Ring Rheißt reduziert, wennak= 0⇒a= 0für allek>0und allea∈Rgilt.
Sei R ein Ring undI ein Ideal in R. Zeigen Sie:
(a) Genau dann istR/I ein reduzierter Ring, wennI ein Radikalideal ist.
(b) Genau dann ist R/I nullteilerfrei (also ein Integritätsring), wennI ein Prim- ideal ist.
(c) Genau dann istR/I ein Körper, wenn I ein maximales Ideal ist.
