§ 3 Pseudokonvexit¨at und Levi-Bedingung Definition.

§ 3 Pseudokonvexit¨ at und Levi-Bedingung

Definition. Ein Gebiet G ⊂ C

heißt pseudokonvex, falls es eine streng pluri- subharmonische C

-Aussch¨ opfungsfunktion f¨ ur G gibt.

Bemerkungen.

1. Nach dem Gl¨ attungs-Lemma ist klar: Ist − log δ

plurisubharmonisch, so ist G pseudokonvex.

2. Pseudokonvexit¨ at ist invariant unter biholomorphen Transformationen.

3.1 Theorem. Ist G ⊂ C

ein pseudokonvexes Gebiet, so gen¨ ugt G dem Konti- nuit¨ atsprinzip.

Beweis: Sei p : G → R eine streng plurisubharmonische Aussch¨ opfungsfunktion.

Wir nehmen an, es gibt eine Familie {S

: 0 ≤ t ≤ 1} von analytischen Scheiben, gegeben durch eine stetige Abbildung ϕ : ∆ × [0, 1] → C

, so daß S

⊂ G und bS

⊂ G f¨ ur jedes t ∈ [0, 1] gilt, dass aber nicht alle S

in G enthalten sind.

Die Funktionen p ◦ ϕ

: ∆ → R sind f¨ ur jedes t mit S

⊂ G subharmonisch. Aus dem Maximumprinzip folgt, dass p|S

≤ max

p f¨ ur alle t gilt.

Wir setzen t

:= inf{t ∈ [0, 1] : S

6⊂ G}. Dann ist t

> 0 und S

⊂ G, und S

trifft ∂G in wenigstens einem Punkt z

. Wir k¨ onnen eine monoton wachsende Folge (t

) finden, die gegen t

konvergiert, sowie eine Folge von Punkten z

∈ S

, die gegen z

konvergiert. Dann konvergiert p(z

) gegen c

:= sup

(p), aber es gibt ein c < c

, so dass p|

≤ c f¨ ur alle t ∈ [0, 1] gilt. Das ist ein Widerspruch.

3.2 Folgerung. Ist G pseudokonvex, so ist G Hartogs-konvex.

3.3 Theorem. Ist G ⊂ C

ein Hartogs-konvexes Gebiet, so ist − log δ

auf G plurisubharmonisch.

Beweis: F¨ ur z ∈ G und u ∈ C

mit kuk = 1 definieren wir δ

(z) := sup{t > 0 : z + τ u ∈ G f¨ ur |τ | ≤ t}.

Dann ist δ

(z) = inf {δ

(z) : kuk = 1}, und es reicht zu zeigen, dass − log δ

f¨ ur jedes feste u plurisubharmonisch ist.

(a) Leider braucht δ

nicht stetig zu sein, die Funktion ist aber halbstetig nach unten:

Sei z

∈ G ein beliebiger Punkt und c < δ

(z

). Dann ist die kompakte Menge K := {z = z

+ τ u : |τ| ≤ c} in G enthalten, und es gibt ein δ > 0, so dass {z : dist(K, z) < δ} ⊂ G ist.

F¨ ur z ∈ B

(z

) und |τ| ≤ c haben wir

k(z + τ u) − (z

+ τ u)k = kz − z

k < δ, und daher δ

(z) ≥ c.

(b) Die Funktion − log δ

ist halbstetig nach oben, und wir m¨ ussen zeigen, dass s(ζ) := − log δ

(z

+ ζb)

f¨ ur feste u, z

, b subharmonisch ist. Zun¨ achst untersuchen wir den Fall, dass u und b linear abh¨ angig sind: b = λu, λ 6= 0.

Sei G

die Zusammenhangskomponente von 0 in {ζ ∈ C : z

+ ζb ∈ G}. Dann gilt:

δ

(z

+ ζb) = sup{t > 0 : z

+ ζb + τ u ∈ G f¨ ur |τ | ≤ t}

= sup{t > 0 : ζ + τ /λ ∈ G

f¨ ur |τ | ≤ t}

= |λ| · sup{r > 0 : ζ + σ ∈ G

f¨ ur |σ| ≤ r}

= |λ| · δ

(ζ), und − log δ

ist subharmonisch.

(c) Jetzt nehmen wir an, dass u und b linear unabh¨ angig sind. Da diese Vekto- ren festgehalten werden, k¨ onnen wir uns auf die folgende spezielle Situation be- schr¨ anken:

n = 2, z

= 0, b = e

, und u = e

.

Dann ist s(ζ) = − log sup{t > 0 : (ζ, τ) ∈ G f¨ ur |τ| ≤ t}. Wir benutzen holomor- phe Funktionen, um zu zeigen, dass s subharmonisch ist. Seien R > r > 0 reelle Zahlen, so dass (ζ, 0) ∈ G f¨ ur |ζ| < R ist, und sei f : ∆(0, R) → C eine holomorphe Funktion, so dass s < h := Re f auf ∂∆(0, r) ist. Wir m¨ ussen zeigen, dass s < h auf ∆(0, r) ist.

Wir haben die folgenden ¨ Aquivalenzen:

s(ζ) < h(ζ) ⇐⇒ sup{t > 0 : (ζ, τ) ∈ G f¨ ur |τ| ≤ t} > e

⇐⇒ ζ, c · e

∈ G f¨ ur c ∈ ∆.

(d) Wir definieren eine holomorphe Abbildung F durch F(z

, z

) := rz

, z

e

.

Dann ist F auf einer Umgebung des Einheitspolyzylinders P

= P

(0, 1) wohldefi- niert. Es muss gezeigt werden, dass F(P

) ⊂ G ist. Wir wissen schon:

1. F(z

, z

) ∈ G f¨ ur |z

| = 1 und |z

| ≤ 1, weil s(t) < h(t) auf ∂ ∆(0, r) ist.

2. F(z

, 0) ∈ G f¨ ur |z

| ≤ 1, weil (ζ, 0) ∈ G f¨ ur |ζ| ≤ r ist.

Diese Tatsachen werden wir benutzen, um eine geeignete Hartogs-Figur zu kon-

struieren. Zun¨ achst halten wir fest:

J

(z

, z

) =

r 0

∗ e

, also det J

(z

, z

) 6= 0.

Aus dem Satz ¨ uber die Umkehrabbildung folgt, dass F biholomorph ist.

F¨ ur 0 < δ < 1 definieren wir h

: C

→ C

durch h

(z

, z

) := (z

, δz

), und dann wenden wir h

auf die folgende kompakte Menge an:

C := {(z

, z

) ∈ C

: (|z

| ≤ 1, z

= 0) oder (|z

| = 1, |z

| ≤ 1)} ⊂ P

. Das ergibt die Menge

C

:= h

(C) = {(z

, z

) ∈ C

: (|z

| ≤ 1, z

= 0) oder (|z

| = 1, |z

| ≤ δ)}.

Es ist F(C

) ⊂ G, wie wir oben gesehen haben, und daher C

⊂ F

(G).

F¨ ur 0 < ε < min(δ, 1 − δ) definieren wir eine Umgebung U

von C

durch U

:=

{(z

, z

) ∈ C

: (|z

| < 1 + ε, |z

| < ε) oder (1 − ε < |z

| < 1 + ε, |z

| < δ + ε)}.

Wenn wir ε klein genug w¨ ahlen, ist U

⊂ F

(G).

Schließlich setzen wir H

:= h

(U

∩ P

) ∩ P

. Dann ist H

= {(z

, z

) ∈ P

: (z

, δz

) ∈ U

∩ P

}

= n

(z

, z

) ∈ C

: |z

| < 1, |z

| < ε δ

oder (1 − ε < |z

| < 1, |z

| < 1) o .

|z

|

|z

|

C

H

1 − ε

ε/δ

|z

|

|z

| δ

C

U

ε

Da (P

, H

) eine euklidische Hartogs-Figur ist, ist (F ◦ h

(P

), F ◦ h

(H

)) eine allgemeine Hartogs-Figur mit F ◦ h

(H

) ⊂ F(U

∩ P

) ⊂ G. Da G Hartogs-konvex ist, muss F ◦ h

(P

) ⊂ G sein. Das gilt f¨ ur jedes δ < 1. Weil P

= S

0<δ<1

h

(P

) ist, muss F(P

) ⊂ G sein. Damit ist alles gezeigt.

3.4 Theorem. Die folgenden Aussagen ¨ uber ein Gebiet G ⊂ C

sind ¨ aquivalent:

1. G gen¨ ugt dem Kontinuit¨ atsprinzip.

2. G ist Hartogs-konvex.

3. − log δ

ist plurisubharmonisch auf G.

4. G ist pseudokonvex.

Beweis:

Die Aussagen (1) = ⇒ (2), (2) = ⇒ (3) und (4) = ⇒ (1) haben wir schon gezeigt, (3) = ⇒ (4) folgt aus dem Gl¨ attungslemma.

3.5 Theorem. Sind G

, G

⊂ C

pseudokonvexe Gebiete, so ist auch G

∩ G

pseudokonvex.

Beweis: Die Aussage ist trivial, wenn man Hartogs-Konvexit¨ at benutzt.

3.6 Theorem. Sei G

⊂ G

⊂ . . . ⊂ C

eine aufsteigende Folge pseudokonvexer Gebiete. Dann ist auch G := S

ν=1

G

pseudokonvex.

Beweis: Die Behauptung folgt unmittelbar aus dem Kontinuit¨ atsprinzip, wenn man folgendes ber¨ ucksichtigt: Ist (S

) eine Familie analytischer Scheiben, so sind die Mengen S

und S

0≤t≤1

bS

kompakt.

3.7 Theorem. Ein Gebiet G ⊂ C

ist genau dann pseudokonvex, wenn es eine offene ¨ Uberdeckung (U

)

von G gibt, so dass U

∩ G f¨ ur jedes ι ∈ I pseudokonvex ist.

Beweis:

” = ⇒“ ist trivial, denn Kugeln und Polyzylinder sind pseudokonvex. Die andere Richtung wird in zwei Schritten gezeigt. Zun¨ achst nehmen wir an, dass G be- schr¨ ankt ist.

Zu jedem Punkt z

∈ ∂G gibt es eine offene Menge U

, so dass z

∈ U

und G ∩ U

pseudokonvex ist. Wenn wir eine so kleine Umgebung W = W (z

) ⊂ U

w¨ ahlen, dass dist(z, ∂U

) > dist(z, z

) f¨ ur jedes z ∈ W ∩ G ist, so ist δ

(z) = δ

(z) auf W ∩ G. Daraus folgt, dass es eine offene Umgebung U = U(∂G) gibt, so dass gilt:

− log δ

ist plurisubharmonisch auf U ∩ G. Dann ist G \ U ⊂⊂ G. Wir definieren c := sup{− log δ

(z) : z ∈ G \ U},

und

p(z) := max − log δ

(z), kzk

+ c + 1 .

Dann ist p eine plurisubharmonische Aussch¨ opfungsfunktion, und nach dem Gl¨ attungs-

lemma ist G pseudokonvex.

Ist G unbeschr¨ ankt, so schreiben wir G als Vereinigung einer aufsteigenden Folge von Gebieten G

:= B

(0) ∩G. Jedes G

ist beschr¨ ankt und erf¨ ullt die n¨ otigen Vor- aussetzungen, ist also pseudokonvex. Dann ist auch G ein pseudokonvexes Gebiet.

Definition. Sei G ⊂ C

ein Gebiet. Der Rand von G heißt glatt in z

∈ ∂G, falls es eine offene Umgebung U = U (z

) ⊂ C

und eine Funktion % ∈ C

(U ; R ) gibt, so dass gilt

1. U ∩ G = {z ∈ U : %(z) < 0}.

2. (d%)

6= 0 f¨ ur z ∈ U .

Die Funktion % heißt eine lokale definierende Funktion (oder Randfunktion ).

Bemerkung. O.B.d.A. k¨ onnen wir annehmen, dass %

6= 0 ist. Dann gibt es nach dem Satz ¨ uber implizite Funktionen Umgebungen

U

von (z

, x

) = z

, . . . , z

, x

∈ C

× R , U

von y

∈ R , und eine C

-Funktion γ : U

→ U

so daß gilt:

{(z

, x

, y

) ∈ U

× U

: %(z

, x

+ i y

) = 0} = {(z

, x

, γ(z

, x

)) : (z

, x

) ∈ U

}.

W¨ ahlt man U := {(z

, x

+ i y

) : (z

, x

) ∈ U

und y

∈ U

} klein genug und korrigiert man – falls n¨ otig – das Vorzeichen, so kann man erreichen, dass gilt:

U ∩ G = {(z

, x

+ i y

) ∈ U : y

< γ(z

, x

)}.

Insbesondere ist U ∩ ∂G = {z ∈ U : %(z) = 0} eine (2n − 1)-dimensionale differen- zierbare Untermannigfaltigkeit von U.

3.8 Hilfssatz. Ist ∂G in z

glatt und sind %

, %

zwei lokale definierende Funk- tionen auf U = U (z

), so gibt es eine C

-Funktion h auf U , so daß gilt:

1. h > 0 auf U . 2. %

= h · %

auf U .

3. (d%

)

= h(z) · (d%

)

f¨ ur z ∈ U ∩ ∂G.

Beweis: Siehe Analysis 3 !

3.9 Theorem. Sei G ⊂⊂ C

ein beschr¨ anktes Gebiet mit glattem Rand. Dann ist

∂G eine differenzierbare Untermannigfaltigkeit, und es gibt eine globale definierende Funktion.

Beweis: Wir finden offene Mengen V

⊂⊂ U

⊂ C

, i = 1, . . . , N , so dass gilt:

1. {V

, . . . , V

} ist eine offene ¨ Uberdeckung von ∂G.

2. F¨ ur jedes i gibt es eine lokale definierende Funktion %

f¨ ur G auf U

.

3. F¨ ur jedes i gibt es eine glatte Funktion ϕ

: U

→ R mit ϕ

|

≡ 1, ϕ

|

≡ 0 und ϕ

≥ 0 im allgemeinen.

Sei ϕ := P

i

ϕ

(also ϕ > 0 auf ∂G) und ψ

:= ϕ

/ϕ. Dann ist P

i

ψ

≡ 1 auf ∂G.

Man nennt das System der Funktionen ψ

eine Teilung der Eins auf ∂G.

Die Funktion % := P

i=1

ψ

%

ist jetzt eine globale definierende Funktion f¨ ur G. Die Details sind leicht zu ¨ uberpr¨ ufen.

Sei nun G ⊂⊂ C

ein beschr¨ anktes Gebiet mit glattem Rand und % : U = U (∂G) → R eine globale definierende Funktion. In jedem z

∈ ∂G ist der reelle Tangential- raum an den Rand gegeben durch

T

(∂G) := {v ∈ T

: (d%)

(v) = 0}.

Das ist ein (2n − 1)-dimensionaler reeller Unterraum von T

. Den Raum H

(∂G) := T

(∂G) ∩ i T

(∂G) = {v ∈ T

: (∂%)

(v) = 0}

nennt man den komplexen (oder holomorphen ) Tangentialraum des Randes in z

. Er ist ein (2n − 2)-dimensionaler reeller Unterraum von T

, mit einer nat¨ urlichen komplexen Struktur, also ein (n − 1)-dimensionaler komplexer Unterraum

. Definition. Ein Gebiet G erf¨ ullt in z

∈ ∂G die Levi-Bedingung (bzw. die strikte Levi-Bedingung ), falls Lev(%) positiv semidefinit (bzw. positiv definit) auf H

(∂G) ist.

G heißt Levi-konvex (bzw. strikt Levi-konvex ), falls G in jedem Punkt z ∈ ∂G die Levi-Bedingung (bzw. die strikte Levi-Bedingung) erf¨ ullt.

Bemerkung. Die Levi-Bedingungen h¨ angen nicht von der Wahl der Randfunk- tion ab, und sie sind invariant unter biholomorphen Transformationen.

Ist %

= h · %

, mit h > 0, dann gilt f¨ ur z ∈ ∂G:

Lev(%

)(z, w) = h(z) · Lev(%

)(z, w) + 2 Re{(∂h)

(w) · (∂%

)

(w)}.

Deshalb unterscheiden sich die Levi-Formen von %

und %

auf H

(∂G) nur durch eine positive Konstante.

Wir wiederholen jetzt einige Tatsachen aus der reellen Analysis:

Eine Menge M ⊂ R

heißt konvex, falls f¨ ur je zwei Punkte x, y ∈ M auch die abgeschlossene Strecke von x nach y in M enthalten ist. In diesem Fall gibt es

1H_z(∂G) wird oft auch mit T_z^1,0(∂G) bezeichnet.

zu jedem Punkt x

∈ R

\ M eine reelle Hyperebene H ⊂ R

mit x

∈ H und M ∩ H = ∅ .

Ist a ∈ R

, U = U (a) eine offene Umgebung und ϕ : U → R mindestens C

, so ist die quadratische Form

Hess(ϕ)(a, w) := X

ν,µ

ϕ

(a)w

w

bekannt als die Hesse-Form von ϕ in a.

3.10 Satz. Sei G ⊂⊂ R

ein Gebiet mit glattem Rand und % eine globale definie- rende Funktion mit (d%)

6= 0 f¨ ur x ∈ ∂G. Das Gebiet G ist genau dann konvex, wenn Hess(%) auf jedem Tangentialraum T

(∂G) positiv semidefinit ist.

Beweis: Sei G konvex und x

∈ ∂G ein beliebiger Punkt. Dann ist T := T

(∂G) eine reelle Hyperebene mit T ∩ G = ∅ . F¨ ur w ∈ T und α(t) := x

+ tw ist

(% ◦ α)

(0) = Hess(%)(x

, w).

Da %(x

) = 0 und % ◦ α(t) ≥ 0 ist, folgt, dass % ◦ α in t = 0 ein Minimum besitzt.

Dann ist (% ◦ α)

(0) ≥ 0 und Hess(%) positiv semidefinit auf T .

Sei nun umgekehrt das Kriterium erf¨ ullt und 0 ∈ G. Wir definieren %

durch

%

(x) := %(x) + ε

N kxk

.

F¨ ur kleines ε und großes N ist die Menge G

:= {x : %

(x) < 0} offen, und es ist G

⊂ G

⊂ G f¨ ur ε

< ε, sowie S

ε>0

G

= G. Deshalb reicht es zu zeigen, dass G

konvex ist.

Die Hesse-Form von %

ist f¨ ur jedes x ∈ ∂G auf T

(∂G) positiv definit. Das gilt dann aber sogar auf einer ganzen Umgebung U von ∂G. Ist ε klein genug, so ist

∂G

⊂ U. Nun sei

S := {(x, y) ∈ G

× G

: tx + (1 − t)y ∈ G

, f¨ ur 0 < t < 1}.

Dann ist S eine offene Teilmenge der zusammenh¨ angenden offenen Menge G

× G

. Wir nehmen an, dass S keine abgeschlossene Teilmenge ist. Dann gibt es Punkte x

, y

∈ G

und ein t

∈ (0, 1) mit t

x

+ (1 − t

)y

∈ ∂G

. Also hat die Funktion t 7→ %

◦α(t) mit α(t) := tx

+(1−t)y

ein Maximum in t

. Daher gilt: (%

◦α)

(t

) ≤ 0 und Hess(%

)(α(t

), x

− y

) ≤ 0. Das ist ein Widerspruch, es muss S = G

× G

und damit G

konvex sein.

Ein Gebiet G = {% < 0} heißt strikt konvex in x

∈ ∂G, falls Hess(%) in x

positiv definit ist. Diese Eigenschaft ist unabh¨ angig von % und invariant unter affinen Transformationen.

Jetzt kehren wir zur Levi-Konvexit¨ at zur¨ uck.

3.11 Hilfssatz. Sei U ⊂ C

offen und ϕ ∈ C

(U ; R ). Dann ist Lev(ϕ)(z, w) = 1

4 (Hess(ϕ)(z, w) + Hess(ϕ)(z, i w)) . Beweis: Dies ist eine einfache Rechnung!

3.12 Theorem. Sei G ⊂⊂ C

ein Gebiet mit glattem Rand. Dann sind die folgenden Aussagen ¨ aquivalent:

1. G ist strikt Levi-konvex.

2. Es gibt eine offene Umgebung U = U (∂G) und eine streng plurisubharmo- nische Funktion % ∈ C

(U; R ), so daß U ∩ G = {z ∈ U : %(z) < 0} und (d%)

6= 0 f¨ ur z ∈ U gilt.

3. Zu jedem z ∈ ∂G gibt es eine offene Umgebung W = W (z) ⊂ C

, eine offene Menge V ⊂ C

und eine biholomorphe Abbildung F : W → V , so dass F(W ∩ G) konvex (und sogar strikt konvex) in jedem Punkt von F(W ∩ ∂G) ist.

Beweis:

(1) = ⇒ (2) : Wir w¨ ahlen eine globale definierende Funktion % f¨ ur G und eine offene Umgebung U = U (∂G), so dass % auf U definiert und (d%)

6= 0 f¨ ur z ∈ U ist. Sei A > 0 eine reelle Konstante und %

:= e

− 1. Dann ist %

auch eine globale definierende Funktion und

Lev(%

)(z, w) = Ae

Lev(%)(z, w) + A|(∂%)

(w)|

. Die Menge K := ∂G × S

ist kompakt und

K

:= {(z, w) ∈ K : Lev(%)(z, w) ≤ 0}

ist eine abgeschlossene Teilmenge. Da Lev(%) positiv definit auf H

(∂G) ist, ist (∂%)

(w) 6= 0 f¨ ur (z, w) ∈ K

. Deshalb gilt:

M := min

K

Lev(%)(z, w) > −∞, C := min

K0

|(∂%)

(w)|

> 0.

Wir w¨ ahlen A so groß, dass A · C + M > 0 ist. Dann folgt:

Lev(%

)(z, w) = A · [Lev(%)(z, w) + A|(∂%)

(w)|

] ≥ A · (M + AC) > 0

f¨ ur (z, w) ∈ K

, und

Lev(%

)(z, w) > A

· |(∂%)

(w)|

≥ 0 f¨ ur (z, w) ∈ K \ K

.

Also ist Lev(%

)(z, w) > 0 f¨ ur jedes z ∈ ∂G und jedes w ∈ C

\{0}. Aus Stetigkeits- gr¨ unden ist %

dann sogar in einer Umgebung von ∂G strikt plurisubharmonisch.

(2) = ⇒ (3) : Wir betrachten einen Punkt z

∈ ∂G und machen einige einfache Koordinatentransformationen:

Durch die Translation z 7→ w = z − z

ersetzen wir z

durch den Ursprung, und eine Permutation der Koordinaten sichert, dass %

(0) 6= 0 ist.

Die lineare Transformation

w 7→ u = %

(0)w

+ · · · + %

(0)w

, w

, . . . , w

ergibt u

= w · ∇%(0)

und deshalb

%(u) = 2 Re u · ∇(% ◦ w)(0)

+ Terme vom Grad ≥ 2

= 2 Re u · J

(0)

· ∇%(0)

+ Terme vom Grad ≥ 2

= 2 Re w · ∇%(0)

+ Terme vom Grad ≥ 2

= 2 Re(u

) + Terme vom Grad ≥ 2.

Schließlich schreiben wir %(u) = 2 Re(u

+ Q(u)) + Lev(%)(0, u) + · · · , wobei Q ein quadratisches holomorphes Polynom ist, und machen die biholomorphe Transfor- mation

u 7→ v = (u

+ Q(u), u

, . . . , u

).

Dann folgt:

%(v) = 2 Re(v

) + Lev(%)(0, v) + Terme vom Grad ≥ 3.

Wegen der Eindeutigkeit der Taylor-Entwicklung ist

%(v) = D%(0)(v) + 1

2 Hess(%)(0, v) + Terme der Ordnung ≥ 3 ,

und deshalb Hess(%)(0, v) = 2 · Lev(%)(0, v) > 0 f¨ ur v 6= 0 (in neuen Koordinaten).

Das funktioniert alles in einer Umgebung, die konvex gew¨ ahlt werden kann.

(3) = ⇒ (1) : Dies folgt aus dem obigen Lemma:

Hess(%) > 0 auf T

(∂G) = ⇒ Lev(%) > 0 auf H

(∂G).

Die letztere Eigenschaft ist invariant unter biholomorphen Transformationen.

Ist G ⊂⊂ C

ein Gebiet mit glattem Rand und strikt Levi-konvex, so ist leicht

zu sehen, dass G pseudokonvex ist. Wir wollen beweisen, dass die schwache Levi-

Konvexit¨ at sogar ¨ aquivalent zur Pseudokonvexit¨ at ist. Zu diesem Zweck erweitern

wir die Randdistanz zu einer Funktion auf dem C

.

d

(z) :=







δ

(z) f¨ ur z ∈ G, 0 f¨ ur z ∈ ∂G,

−δ

(z) f¨ ur z 6∈ G.

3.13 Hilfssatz. −d

ist ein glatte definierende Funktion f¨ ur G.

Beweis: Wir benutzen reelle Koordinaten x = (x

, . . . , x

) mit N = 2n. Es ist klar, dass G = {x : −d

(x) < 0} ist.

Sei x

∈ ∂G ein beliebiger Punkt und % : U (x

) → R eine lokale definierende Funktion. Wir k¨ onnen annehmen, dass %

(x

) 6= 0 ist. Dann gibt es nach dem Satz ¨ uber implizite Funktionen eine Produkt-Umgebung U

× U

von x

in U und eine glatte Funktion h : U

→ R , so dass gilt:

{(x

, x

) ∈ U

× U

: %(x

, x

) = 0} = {(x

, h(x

)) : x

∈ U

}.

Es folgt, dass 0 = ∇

%(x

, h(x

)) + %

(x

, h(x

)) · ∇h(x

) ist.

Im Punkt (x

, h(x

)) ∈ ∂G steht der Gradient ∇%(x

, h(x

)) auf ∂G senkrecht und ist nach außen gerichtet. Wir benutzen jetzt das Vektorfeld η := ∇%

k∇%k . Dann ist η = (η

, η

), mit

η

:= ∇

%

k∇%k und η

:= %

k∇%k , und es folgt: η

(x

, h(x

)) = − η

(x

, h(x

)) · ∇h(x

).

Jeder Punkt y in einer gen¨ ugend kleinen Umgebung des Randes besitzt eine eindeu- tig bestimmte Darstellung y = x + t · η(x), wobei t = −d

(y) und x der Punkt ist, wo das Lot von y auf ∂G den Rand trifft. Wir definieren nun die glatte Abbildung F : U

× R → R

durch

y = F(x

, t) := (x

, h(x

)) + t · η(x

, h(x

)).

Dann gibt es glatte Funktionen A und b, so dass gilt:

J

(x

, t) =

E

+ t · A(x

) η

(x

, h(x

))

∇h(x

) + t · b(x

) η

(x

, h(x

))

,

und daher

det J

(x

, 0) = det

E

−η

(x

, h(x

)) · ∇h(x

)

∇h(x

) η

(x

, h(x

))

= η

(x

, h(x

)) · det

E

−∇h(x

)

∇h(x

) 1

= η

(x

, h(x

)) · det

E

−∇h(x

)

0

1 + k∇h(x

)k

= η

(x

, h(x

))(1 + k∇h(x

)k

) 6= 0.

Es folgt, dass es ein ε > 0 gibt, so dass F die Menge U

×(−ε, ε) diffeomorph auf eine Umgebung W = W (x

) abbildet und U

×{0} auf ∂G ∩ W . Da d

(x+t · η(x)) = −t f¨ ur |t| < ε und gen¨ ugend kleines ε gilt, folgt außerdem, dass d

= (−t) ◦ F

nahe

∂G eine glatte Funktion ist. Ist p

durch p

(x

, t) := (x

, 0) definiert, so ist die Projektion

p = F ◦ p

◦ F

: x + t · η(x) 7→ x, f¨ ur x ∈ ∂G,

eine glatte Abbildung, und d

ist durch d

(y) = σ · ky − p(y)k gegeben, wobei σ = 1 f¨ ur y ∈ G ist, und sonst ¨ uberall σ = −1.

F¨ ur y 6∈ ∂G ist

(d

)

(y) = σ ky − p(y)k ·

N

X

k=1

(y

− p

(y))(δ

− (p

)

(y))

= σ

ky − p(y)k ·

y

− p

(y) − (y − p(y)

p

(y))

,

und daher

∇d

(y) = σ

ky − p(y)k · [y − p(y) − Dp(y)(y − p(y))] .

Aus der Beziehung %(p(y)) ≡ 0 folgt die Gleichung Dp(y)(∇%(p(y))) = 0. Aber y − p(y) ist ein Vielfaches von ∇%(p(y)). Damit ergibt sich

∇d

(y) = σ · y − p(y)

ky − p(y)k = ± ∇%(p(y)) k∇%(p(y))k . N¨ ahert sich y dem Rand ∂G, so erh¨ alt man ∇d

(y) 6= 0.

E.E. Levi zeigte, dass jedes Holomorphiegebiet mit glattem Rand Levi-konvex ist, und dass der Rand eines strikt Levi-konvexen Gebietes G lokal die

” nat¨ urliche Grenze“ f¨ ur eine holomorphe Funktion in G ist. Hier beweisen wir das folgende Resultat, das manchmal als

” Satz von Levi“ bezeichnet wird.

3.14 Theorem. Ein Gebiet G mit glattem Rand ist genau dann pseudokonvex, wenn es Levi-konvex ist.

Beweis:

(1) Sei G pseudokonvex. Die Funktion −d

ist eine glatte Randfunktion f¨ ur G, und

− log d

= − log δ

ist plurisubharmonisch auf G, wegen der Pseudokonvexit¨ at.

Wir berechnen

Lev(− log d

)(z, w) = 1

d

(z) · Lev(−d

)(z, w) + 1

d

(z)

· |(∂ (d

))

(w)|

.

Dieser Ausdruck ist auf G nicht-negativ. Ist z ∈ G, w ∈ T

und (∂(d

))

(w) = 0,

so folgt, dass Lev(−d

)(z, w) ≥ 0 ist. Das bleibt auch f¨ ur z → ∂G richtig, also

erf¨ ullt −d

die Levi-Bedingung.

(2) Sei G Levi-konvex. Wir nehmen an, dass G nicht pseudokonvex ist. Dann gibt es in jeder Umgebung U des Randes einen Punkt z

, wo die Levi-Form von − log δ

einen negativen Eigenwert besitzt. Das bedeutet, dass es einen Vektor w

gibt, so dass gilt:

ϕ

(0) = Lev(log δ

)(z

, w

) > 0, f¨ ur ϕ(ζ) := log δ

(z

+ ζw

).

Wir betrachten die Taylor-Entwicklung ϕ(ζ) = ϕ(0) + 2 Re(ϕ

(0)ζ + 1

2 ϕ

(0)ζ

) + ϕ

(0)|ζ|

+ · · ·

= ϕ(0) + Re(Aζ + Bζ

) + λ|ζ|

+ · · · ,

mit komplexen Konstanten A, B und einer reellen Konstante λ > 0.

Wir w¨ ahlen einen Punkt p

∈ ∂G mit δ

(z

) = kp

− z

k und ein beliebiges ε > 0.

Dann kann eine analytische Scheibe ψ : ∆(0, ε) → C

durch ψ(ζ) := z

+ ζw

+ exp(Aζ + Bζ

)(p

− z

)

definiert werden. Es ist ψ(0) = z

+ exp(0) · (p

− z

) = p

, und wir wollen zeigen, dass ψ(ζ) ∈ G ist, f¨ ur 0 < |ζ| < ε und beliebig kleines ε.

Da ϕ(ζ) ≥ ϕ(0) + Re(Aζ + Bζ

) + (λ/2)|ζ|

nahe ζ = 0 ist, folgt:

δ

(z

+ ζw

) = exp(ϕ(ζ))

≥ exp(ϕ(0)) ·

exp Aζ + Bζ

· exp λ

2 |ζ|

> δ

(z

) ·

exp Aζ + Bζ

=

exp Aζ + Bζ

(p

− z

) ,

f¨ ur kleines ζ 6= 0. Das bedeutet, dass wir ε so w¨ ahlen k¨ onnen, dass ψ(ζ) f¨ ur 0 <

|ζ| < ε in G liegt. Die analytische Scheibe ber¨ uhrt ∂G von innen.

f (ζ) = d

(ψ (ζ)) ist eine glatte Funktion mit einem isolierten lokalen Minimum bei ζ = 0 und f (0) = 0. Deshalb ist (∂f )

(1) = 0 und

f (ζ) = Re f

(0)ζ

+ f

(0)|ζ|

+ Terme der Ordnung ≥ 3.

Außerdem ist Hess(f)(0, v) ≥ 0 f¨ ur alle v und > 0 f¨ ur mindestens ein v. F¨ ur jedes t ist daher Re f

(0)e

+ f

(0) = Hess(f )(0, e

) ≥ 0 (und > 0 f¨ ur mindestens ein t). Daraus folgt:

Lev(d

)(p

, ψ

(0)) = f

(0) > 0.

Das ist ein Widerspruch zur Levi-Bedingung in p

, weil −d

eine definierende

Funktion f¨ ur G ist.

§ 4 Holomorphie-Konvexit¨ at

Wir wollen einige Beziehungen zwischen Pseudokonvexit¨ at und affiner Konvexit¨ at untersuchen. Zun¨ achst stellen wir einige Eigenschaften konvexer Gebiete im R

zusammen.

Sei L die Menge der affin-linearen Funktionen f : R

→ R mit f(x) = a

x

+ · · · + a

x

+ b, a

, . . . , a

, b ∈ R .

Ist M eine konvexe Menge und x

ein Punkt, der nicht in M enthalten ist, so gibt es eine Funktion f ∈ L mit f(x

) = 0 und f|

< 0. F¨ ur jedes c ∈ R ist die Menge {x ∈ R

: f (x) < c} ein konvexer Halbraum.

Definition. Sei M ⊂ R

eine beliebige Teilmenge. Dann nennt man die Menge H(M) := n

x ∈ R

: f (x) ≤ sup

M

f, f¨ ur alle f ∈ L o die affin-konvexe H¨ ulle von M .

4.1 Satz. Seien M, M

, M

⊂ R

beliebige Teilmengen. Dann gilt:

1. M ⊂ H(M ).

2. H(M ) ist abgeschlossen und konvex.

3. H(H(M )) = H(M ).

4. Ist M

⊂ M

, so ist H(M

) ⊂ H(M

).

5. Ist M abgeschlossen und konvex, so ist H(M ) = M . 6. Ist M beschr¨ ankt, so ist H(M ) ebenfalls beschr¨ ankt.

Beweis: (1) ist trivial.

(2) Ist x

6∈ H(M), so gibt es ein f ∈ L mit f (x

) > sup

f. Weil f stetig ist, ist f (x) > sup

f in einer Umgebung von x

. Deshalb ist H(M ) abgeschlossen.

Als Durchschnitt von konvexen Halbr¨ aumen ist H(M) ebenfalls konvex.

(3) folgt aus (5).

(4) ist trivial.

(5) Sei M abgeschlossen und konvex. Ist x

6∈ M , so gibt es einen Punkt y

∈ M,

so dass dist(x

, M) = dist(x

, y

) ist. Sei z

ein Punkt auf der offenen Strecke von

x

nach y

. Dann ist z

6∈ M , und es gibt eine Funktion f ∈ L mit f (z

) = 0 und

f |

< 0. Da t 7→ f(tx

+ (1 − t)y

) eine monotone Funktion ist, ist f (x

) > 0 und

deshalb x

6∈ H(M ).

(6) Ist M beschr¨ ankt, so gibt es ein R > 0, so dass M in der abgeschlossenen konvexen Menge B

(0) enthalten ist. Also ist H(M ) ⊂ B

(0).

Bemerkung. H(M ) ist die kleinste abgeschlossene konvexe Menge, die M enth¨ alt.

4.2 Theorem. Ein Gebiet G ⊂ R

ist genau dann konvex, wenn mit K ⊂⊂ G stets auch H(K) ⊂⊂ G ist.

Beweis: Sei G ein konvexes Gebiet und K ⊂⊂ G eine Teilmenge. Dann ist H(K) abgeschlossen und in der beschr¨ ankten Menge H(K) enthalten. Daher ist H(K) kompakt, und man muss nur noch zeigen, daß H(K ) ⊂ G ist. Wenn es einen Punkt x

∈ H(K) \ G gibt, dann gibt es auch eine Funktion f ∈ L mit f(x

) = 0 und f |

< 0. Es folgt, dass sup

f < 0 und f (x

) > sup

f ist. Das ist ein Widerspruch zur Relation x

∈ H(K).

Sei umgekehrt das Kriterium erf¨ ullt. Wenn x

, y

zwei Punkte von G sind, dann ist K := {x

, y

} eine relativ-kompakte Teilmenge von G. Es folgt, dass H(K) in G enthalten ist. Da H(K ) abgeschlossen und konvex ist, muss auch die abgeschlossene Strecke von x

nach y

in G enthalten sein. Deshalb ist G konvex.

Jetzt ersetzen wir affin-lineare Funktionen durch holomorphe Funktionen.

Definition. Sei G ⊂ C

ein Gebiet und K ⊂ G eine Teilmenge. Die Menge K b = K b

:= n

z ∈ G : |f (z)| ≤ sup

K

|f|, f¨ ur alle f ∈ O(G) o heißt die holomorph-konvexe H¨ ulle von K in G.

4.3 Satz. Ist G ⊂ C

ein Gebiet und sind K, K

, K

Teilmengen von G, so gilt:

1. K ⊂ K. b

2. K b ist abgeschlossen in G.

3. b K b = K. b

4. Ist K

⊂ K

, so ist K b

⊂ K c

.

5. Ist K beschr¨ ankt, so ist auch K b beschr¨ ankt.

Beweis: (1) ist trivial.

(2) Sei z

ein Punkt von G \ K. Dann gibt es eine holomorphe Funktion b f auf

G mit |f (z

)| > sup

|f |. Aus Stetigkeitsgr¨ unden gilt diese Ungleichung auf einer

ganzen Umgebung U = U (z

) ⊂ G. Also ist G \ K b offen.

(3) sup

Kb

|f | ≤ sup

|f |.

(4) ist trivial.

(5) Ist K beschr¨ ankt, so ist K in einem abgeschlossenen Polyzylinder P

(0, r) enthalten. Die Koordinatenfunktionen z

sind auf G holomorph. F¨ ur z ∈ K b ist

|z

| ≤ sup

|z

| ≤ r. Also ist auch K b beschr¨ ankt.

Definition. Ein Gebiet G ⊂ C

wird holomorph-konvex genannt, wenn mit K ⊂⊂ G auch K b ⊂⊂ G ist.

Beispiel.

In C ist jedes Gebiet holomorph-konvex:

Sei K ⊂⊂ G eine beliebige Teilmenge. Dann ist K b beschr¨ ankt, und es bleibt zu zeigen, dass der Abschluss von K b in G enthalten ist. Gibt es einen Punkt z

∈ K b \ G, so liegt z

in ∂ K b ∩ ∂G. Wir betrachten die holomorphe Funktion f(z) := 1/(z − z

) in G. Ist (z

) eine Folge in K, die gegen b z

konvergiert, so ist |f (z

)| ≤ sup

|f | ≤ sup

|f | < ∞. Das ist ein Widerspruch!

Im Falle n ≥ 2 werden wir zeigen, dass es Gebiete gibt, die nicht holomorph-konvex sind. Allerdings gilt:

4.4 Satz. Ist G ⊂ C

ein affin-konvexes Gebiet, so ist G holomorph-konvex.

Beweis: Sei K relativ-kompakt in G. Dann ist H(K ) ⊂⊂ G. Ist z

ein Punkt in G \ H(K), so gibt es eine affin-lineare Funktion λ ∈ L mit λ(z

) > sup

λ. Indem wir λ durch λ − λ(0) ersetzen, k¨ onnen wir annehmen, dass λ eine homogen-lineare Funktion der Form

λ(z) = 2 Re(α

z

+ · · · + α

z

).

Dann ist f (z) := exp(2·(α

z

+· · ·+α

z

)) holomorph auf G und |f (z)| = exp(λ(z)).

Deshalb ist |f(z

)| > sup

|f | und z

∈ G \ K. Dies zeigt, dass b K b ⊂⊂ G ist.

Im allgemeinen ist Holomorphie-Konvexit¨ at eine viel schw¨ achere Eigenschaft als die affine Konvexit¨ at.

Sei G ⊂ C

ein Gebiet und ε > 0 eine kleine reelle Zahl. Wir definieren G

:= {z ∈ G : δ

(z) ≥ ε}.

Hier sind einige Eigenschaften der Menge G

:

1. Ist z ∈ G, so gibt es ein ε > 0, so dass δ

(z) ≥ ε ist.

Deshalb ist G = S

ε>0

G

.

2. Ist ε

≤ ε

, so ist G

⊃ G

.

3. G

ist eine abgeschlossene Teilmenge des C

: Ist n¨ amlich z

∈ C

\ G

, so ist entweder z

∈ G und δ

(z

) < ε, oder z

6∈ G. Im letzteren Falle ist die Kugel B

(z

) in C

\ G

enthalten. Ist z

∈ G \ G

und δ := δ

(z

), so ist δ < ε und B

(z

) ⊂ C

\ G

. Also ist C

\ G

offen.

4.5 Hilfssatz. Sei G ⊂ C

ein Gebiet, K ⊂ G kompakt und f eine holomorphe Funktion auf G. Ist K ⊂ G

, so gibt es zu jedem δ mit 0 < δ < ε eine Konstante C > 0, so dass die folgende Ungleichung erf¨ ullt ist:

sup

K

|D

f (z)| ≤ α!

δ

· C.

Beweis: F¨ ur 0 < δ < ε ist G

:= {z ∈ G : dist(K, z) < δ} offen und relativ- kompakt in G, und f¨ ur jedes z ∈ K ist der abgeschlossene Polyzylinder P

(z, δ) in G

⊂ G enthalten. Ist T der ausgezeichnete Rand des Polyzylinders und |f | ≤ C auf G

, so folgt aus den Cauchy-Ungleichungen:

|D

f(z)| ≤ α!

δ

· sup

T

|f | ≤ α!

δ

· C.

4.6 Satz von Cartan–Thullen. Ist G ein schwaches Holomorphiegebiet, so ist G holomorph-konvex.

Beweis: Sei K ⊂⊂ G. Wir wollen zeigen, dass K b ⊂⊂ G ist. Sei ε := dist(K, C

\ G) ≥ dist(K, C

\ G) > 0. Offensichtlich liegt K in G

.

Wir behaupten, dass die holomorph-konvexe H¨ ulle K b sogar in G

liegt. Angenom- men, das w¨ are nicht so. Dann g¨ abe es ein z

∈ K b \ G

. Sei P = P

(z

, ε) und Q die Zusammenhangskomponente von z

in P ∩ G. Da P sowohl G als auch C

\ G trifft, folgt aus dem Lemma ¨ uber Randkomponenten, dass es einen Punkt z

∈ P ∩ ∂Q ∩ ∂G gibt.

Sei nun f eine holomorphe Funktion auf G. In einer Umgebung U = U (z

) ⊂ G hat f eine Taylor-Entwicklung

f(z) = X

ν≥0

a

(z − z

)

, mit a

= 1

ν! D

f (z

).

Die Funktion z 7→ a

(z) :=

D

f(z) ist holomorph auf G. Deshalb ist |a

(z

)| ≤ sup

|a

(z)|. Nach dem Lemma gibt es zu jedem δ mit 0 < δ < ε ein C > 0, so dass sup

|a

(z)| ≤ C/δ

ist. Dann gilt:

|a

(z − z

)

| ≤ C ·

|z

− z

| δ

· · ·

|z

− z

| δ

.

Auf jedem Polyzylinder P

(z

, δ) wird die Taylorreihe durch eine geometrische Rei- he majorisiert. Also konvergiert sie auf P gegen eine holomorphe Funktion f b . Es ist f = f b nahe z

und dann auch auf Q. Weil z

in P ∩ ∂Q ∩ ∂G liegt, kann f in z

nicht vollst¨ andig singul¨ ar sein. Das ist ein Widerspruch, weil f eine beliebige holomorphe Funktion in G und G ein schwaches Holomorphiegebiet ist.

Sei G ⊂ C

ein Gebiet. Ist G holomorph-konvex, so wollen wir eine holomorphe Funktion auf G konstruieren, die in jedem Randpunkt voll singul¨ ar wird. Dazu benutzen wir

” normale Aussch¨ opfungen“.

Definition. Eine normale Aussch¨ opfung von G ist eine Folge (K

) von kompak- ten Teilmengen von G so dass gilt:

1. K

⊂⊂

◦

(K

), f¨ ur jedes ν.

2. S

ν=1

K

= G.

4.7 Theorem. Jedes Gebiet G im C

besitzt eine normale Aussch¨ opfung. Ist G holomorph-konvex, so gibt es eine normale Aussch¨ opfung (K

) mit K b

= K

f¨ ur alle ν.

Beweis: Im allgemeinen ergibt K

:= P

(0, ν)∩G

eine normale Aussch¨ opfung.

Ist G sogar holomorph-konvex, so ist K b

⊂⊂ G f¨ ur alle ν. Induktiv konstruieren wir eine neue Aussch¨ opfung.

Sei K

:= K b

. Sind die kompakten Mengen K

, . . . , K

schon konstruiert, mit K b

= K

f¨ ur j = 1, . . . , ν − 1, und K

⊂⊂

◦

(K

), so gibt es ein λ(ν) ∈ N , so daß K

⊂

◦

(K

) ist. Sei K

:= K b

.

Offensichtlich ist (K

) eine normale Aussch¨ opfung mit K b

= K

.

4.8 Theorem. Sei (K

) eine normale Aussch¨ opfung von G mit K b

= K

, λ(µ) eine streng monoton wachsende Folge nat¨ urlicher Zahlen und (z

) eine Folge von Punkten mit z

∈ K

\ K

.

Dann gibt es eine holomorphe Funktion f auf G, so dass |f (z

)| unbeschr¨ ankt ist.

Beweis: Die Funktion f wird als Grenzfunktion einer unendlichen Reihe f = P

µ=1

f

konstruiert. Induktiv definieren wir holomorphe Funktionen f

auf G, so daß gilt:

1. |f

|

< 2

f¨ ur µ ≥ 1.

2. |f

(z

)| > µ + 1 +

µ−1

X

j=1

|f

(z

)| f¨ ur µ ≥ 2.

Sei f

:= 0. Dann nehmen wir f¨ ur µ ≥ 2 an, dass f

, . . . , f

schon konstruiert worden sind. Da z

∈ K

\ K

und K b

= K

ist, gibt es eine holomorphe Funktion g auf G, so dass |g(z

)| > q := sup

λ(µ)

|g | ist. Nach Multiplikation mit einer geeigneten Konstante (z.B. mit % := 2/(q + |g(z

)|)) k¨ onnen wir erreichen:

|g(z

)| > 1 > q.

Setzen wir f

:= g

, mit einem gen¨ ugend großen k, so hat f

die Eigenschaften (1) und (2).

Wir behaupten, dass P

µ

f

auf G kompakt konvergiert. F¨ ur den Beweis halten wir erst einmal fest, daß es zu einer beliebigen kompakten Teilmenge K ⊂ G immer ein µ

∈ N gibt, so daß K ⊂ K

ist. Nach Konstruktion gilt sup

|f

| < 2

f¨ ur µ ≥ µ

. Da die geometrische Reihe P

µ

2

auf K eine Majorante der Reihe P

µ

f

ist, konvergiert die Reihe der f

normal auf K. Also ist f = P

µ

f

auf G holomorph. Außerdem gilt:

|f (z

)| ≥ |f

(z

)| − X

ν6=µ

|f

(z

)|

> µ + 1 − X

ν>µ

|f

(z

)|

> µ + 1 − X

ν>µ

2

(denn z

∈ K

f¨ ur ν > µ)

≥ µ (denn X

ν≥1

2

= 1).

Daraus folgt: |f(z

)| → ∞ f¨ ur µ → ∞.

Als wichtige Konsequenz ergibt sich:

4.9 Theorem. Ein Gebiet G ist genau dann holomorph-konvex, wenn es zu jeder unendlichen und in G diskreten Menge D eine holomorphe Funktion f auf G gibt, so dass |f | auf D unbeschr¨ ankt ist.

Beweis: (1) Sei G holomorph-konvex, D ⊂ G unendlich und diskret. Außerdem sei (K

) eine normale Aussch¨ opfung von G mit K b

= K

. Dann ist K

∩ D endlich (oder leer) f¨ ur jedes ν ∈ N . Wir konstruieren induktiv eine Folge von Punkten z

∈ D.

Sei z

∈ D \ K

beliebig und λ(1) ∈ N minimal mit der Eigenschaft, daß z

in K

liegt. Es seien schon Punkte z

, . . . , z

und Zahlen λ(1), . . . , λ(µ − 1) konstruiert, so dass gilt:

z

∈ K

\ K

, for ν = 1, . . . , µ − 1.

Dann w¨ ahlen wir z

∈ D \ K

und λ(µ) minimal, so dass z

in K

liegt. Nach dem obigen Satz gibt es eine holomorphe Funktion f auf G, so dass

|f (z

)| → ∞ f¨ ur µ → ∞ gilt. Deshalb ist |f | auf D unbeschr¨ ankt.