Analysis auf Mannigfaltigkeiten I (WS 2006/07)

Prof. Dr. W. M¨uller Bonn, den 11. 01. 2007 Mathematisches Institut

Universit¨at Bonn

Analysis auf Mannigfaltigkeiten I (WS 2006/07)

Ubungsblatt 10¨

Aufgabe 1 (De Rham-Kohomologie mit kompaktem Tr¨ager).

Es sei Ω₀(M) := {ω∈Ω(M) : suppω kompakt}f¨ur eine glatte Mannigfaltigkeit M.

Offenbar giltd(Ω^p₀(M))⊂Ω^p+1₀ (M). Wir setzen H_c^k(M) := kerd: Ω^k₀(M)→Ω^k+1₀ (M)

/ imd: Ω^k−1₀ (M)→Ω^k₀(M) .

Man beachte, dass jede Form ω∈Ω0(M ×R) von der Form ω(t) = ω₁(t) +ω₂(t)∧dt ist, wobei ω_i ∈C₀^∞(R,Ω₀(M)). Es sei η∈Ω¹₀(R) mit R

R

η= 1. Setze:

(a) p∗ : Ω^p₀(M ×R)→Ω^p−1₀ (M), p∗ω:=R

R

ω₂(s)ds, “Integration entlang der Faser”.

(b) e∗ : Ω^p−1₀ (M)→Ω^p₀(M ×R) ,e∗ω :=ω∧η=η₁(t)·ω∧dt.

(c) K : Ω^p₀(M ×R)→Ω^p−1₀ (M×R),Kω := (−1)^{p t} R

−∞

ω₂(s)ds−R

R

ω₂(s)ds·

t

R

−∞

η . Man zeige:

1. H_c^k(M) ist eine Diffeomorphie-Invariante undH_c^k(R) =

(0, k = 0, R, k = 1.

2. dω =dω1(t) + (−1)^{p ∂ω}_∂t¹(t) +dω2(t)

∧dt.

3. p∗ : Ω₀(M ×R)→Ω₀(M) ist ein Komplexhomomorphismus vom Grad−1.

4. e∗ : Ω₀(M)→Ω₀(M ×R) ist ein Komplexhomomorphismus vom Grad +1.

5. e_∗◦p_∗ − Id = d◦K+K◦d, p_∗◦e_∗ = Id.

6. Folgere, dass p∗ einen Isomorphismus

H(p_∗) :H_c^k(M ×R)−→^∼= H_c^k−1(M)

induziert. Mit (i) gilt insbesondere H_c^k(Rⁿ) =

(0, k < n, R, k =n.

Bitte wenden.

Aufgabe 2 (Mayer-Vietoris f¨ur de Rham-Kohomologie mit kpt. Tr¨ager).

Es seienU, V ⊂M offen undM =U ∪V. Es seien ι_U : Ω₀(U)→Ω₀(M), ι_V : Ω₀(V)→Ω₀(M) , ν_U : Ω₀(U∩V)→Ω₀(U), ν_V : Ω₀(U∩V)→Ω₀(V)

jeweils die nat¨urlichen “Fortsetzung-durch-0”-Abbildungen. Man zeige, dass die Mayer- Vietoris-Sequenz f¨ur Differentialformen mit kompaktem Tr¨ager

0→Ω₀(U∩V)^(ν−→^U,νV)Ω₀(U)⊕Ω₀(V)^ιU−→^−ιV Ω₀(M)→0

exakt ist. Folgere hieraus eine lange exakte Sequenz f¨ur die Kohomologie mit kom- paktem Tr¨ager, und bestimme den Verbindungshomomorphismus.

2