Gesetz von Boyle

Gesetz von Boyle

• Empirisch wurde beobachtet, dass bei konstanter Temperatur gilt:

• p.V = Konstant bzw

V ∝ 1 / p bzw

p ∝ 1 / V

Isothermen

Gesetz von Gay-Lussac

Isobaren

• Jacques Charles und Joseph-Louis Gay-Lussac fanden dass (bei konstantem n und p)

V ∝ ∝ ∝ ∝ T

Verdoppelung T/K/ 300 K auf 600 K (27°C auf 327°C ) Verdoppelung von V

Prinzip von Avogadro

• Bei gleicher Temperatur und gleichem

Druck beinhalten gleiche Gasvolumina die selbe Anzahl von Teilchen, d.h. V ∝ ∝ ∝ ∝ n

• Das molare Volumen V

= V/n ist daher für

alle Gase gleich

Zustandgleichung: Ideales Gasgesetz

Die Kombination des Gesetzes von Boyle, des Gesetzes von Gay-Lussac und des Avogadro-

Prinzips ergibt

pV = nRT bzw pV

= RT

R: Gaskonstante 8.3145 [J K

mol

]

R = N

k

pV = nRT

pV = nRT

Boyle: pV=const

Gay-Lussac: V ∝ ∝ ∝ ∝ T

Gesetz von Dalton

Stoffmengenanteil V

RT p

= n

V RT p

= n

+ ...

+

= p

p

p

+ ...

= +

b a

a

a

n n

x n

p x

p

=

.

wobei

etc

1 ... = +

+

a

x

x

Der Gesamtdruck ist die Summe der Partialdruckbeiträge

Der Molenbruch jeder Komponente

bestimmt den Beitrag zum Gesamtdruck

Die kinetische Gastheorie

• Das Gas besteht aus Teilchen der Masse m und dem Durchmesser d in dauernder unkontrollierter /

regelloser Bewegung

• Die Größe der Teilchen ist vernachlässigbar im Verhältnis zu dem zwischen zwei Stößen

zurückgelegten Weg

• Die Teilchen üben - außer bei den Stößen - keinerlei Wechselwirkung aufeinander aus

Sie ermöglicht die quantitative Vorhersage der

Eigenschaften eines idealen Gases unter den

folgenden Annahmen

Kinetische Gastheorie:

Berechnung des Druckes eines Gases

Der Druck eines Gases ist ein Resultat der Stöße der Gasteilchen gegen die Gefäßwand. Bei jedem Stoß wird der Impuls 2mv_x auf die Wand übertragen. Durch Aufsummierung erhält man:

N

v v

c v V mit

p nMc

2 2

2 2

1

2

...

3

+ +

= +

=

c ist die quadratisch gemittelte Geschwindigkeit, n die Stoffmenge, M die molare Masse, N die Gesamtzahl der Teilchen

Kinetische Gastheorie:

Geschwindigkeit von Molekülen

const pV nMc

daher V

p = nMc = =

3 3

2 2

durch Vergleich mit dem idealen Gasgesetz pV = nRT erhält man (M = molare Masse, n= Stoffmenge)

M c 3 RT

=

Beispiel

Berechne die quadratisch gemittelte Geschwindigkeit eines O₂-Moleküle (32 g mol^-1) bei 300 K

Ergebnis: O₂ (M=32 gmol^-1): 483 m sec^-1 = 1740 kmh^-1 N₂ (M=28.02 gmol^-1): 515m sec^-1

(Schallgeschw. In Luft = 346 ms^-1 bei 25°C)

M c 3 RT

=

Beachte: eine Temperaturerhöhung hat den selben Effekt auf die Geschwindigkeit wie eine Verminderung der

molekularen Masse um den selben Faktor

hohes M/T

niederes M/T

Geschwindigkeit Anteil

der Moleküle

Maxwellsche Geschwindigkeitsverteilung

In einem idealen Gas ist der Anteil f der Teilchen, die eine Geschwindigkeit zwischen v und v+dv haben, gegeben durch

( ) ^{v e dv}

RT v M

f

2 / 3

2

4 2 



 



= 

π π

Reale Gase

Ideale Gase

Summe der

Teilchenvolumina klein

gegenüber Gesamtvolumen des Gases

Keine

Wechselwirkungsenergie zwischen Teilchen, d.h. die Gesamtenergie des Gases besteht nur aus kinetischer Energie

Ekin

E = 0pot

Epot Abstossung Anziehung

Reale Gase

Experimentelle Isotherme von CO₂ bei verschiedenen Temperaturen. Die

kritische Isotherme liegt bei 31.04^° C

http://de.wikipedia.org/wiki/Überkritisches_Kohlenstoffdioxid

Zustandsgleichungen realer Gase:

der Kompressionsfaktor z

= 1

= RT pV nRT

pV

RT pV nRT

z = pV =

Ideale Gasgleichung:

(V_m = molares Volumen)

Die Abweichung realer Gase von der idealen Gasgleichung wird durch den

Kompressionsfaktor z beschrieben

Kompressionsfaktor

nRT

z = pV

van der Waals

Eigenvolumen vermindern das den Teilchen zur „freien Bewegung“

zur Verfügung stehende Volumen (abstossende WW)

nb V

p nRT

= −

Das Vorhandensein anziehender WW reduziert den vom Gas ausgeübten Druck. Teilchen stoßen weniger häufig und mit geringerer Wucht gegen die Gefäßwand

2

 

 



− 

=

∆ V

a n

p

van-der-Waals-

Konstanten einiger Gase

2

 

 



− 

= −

V a n

nb V

p nRT

Besonderheiten der van-der-Waals Gleichung

• Bei hohen Temperaturen und grossen molaren

Volumina liefert sie die Isothermen idealer Gase

• Flüssigkeiten und Gase koexistieren, wenn sich kohäsive

(zusammenhaltende) und dispersive

(auseinandertreibend) Effekte die Waage halten

2

 

 



− 

= −

V a n

nb V

p nRT

Joule-Thomson Effekt: Verflüssigung von Gasen

Bei der Expansion werden die Teilchen eines realen Gases langsamer, da sie sich von

einander entfernen und dabei die potentielle Energie der Anziehung auf Kosten ihrer kinetischen Energie

überwinden müssen.

Die Linde-Kältemaschine

Gas wird komprimiert und vorgekühlt. Durch die Expansion kühlt es sich weiter ab, und

kühlt im Gegenstrom komprimiertes Gas.

Dieser Zyklus wird mehrere Male

wiederholt bis zur

Verflüssigung