Statistische Mechanik, SS21: ¨ Ubung 5
Abgabefrist: Mi., 19. Mai 2021, 8:00 a.m.
Besprechung: Fr., 21. Mai 2021
Bsp. 1: Relativistisches ideales Fermigas
4 Punkte Die Dichte eines idealen Fermigases sei so hoch, dass ¯h/(V /N)1/3 mc gilt. Dann sind die meisten Impulse hochrelativistisch, p mc, und man kann n¨aherungsweise die Beziehung ≈cp verwenden.
(a) Bestimmen Sie f¨ur diesen Fall den Fermiimpuls und die Fermienergie.
(b) Welche EnergieE0(V, N) und welchen Druck P(V, N) hat das System f¨ur T ≈0?
Bsp. 2: Der weiße Zwerg
17 Punkte Ein weißer Zwerg ist im Wesentlichen ein entartetes Elektronengas - gemixt mit einer Menge an Atomkernen - die die negativen Ladungen ausgleicht und die Anziehungskraft bereitstellt, die den Stern zusammenh¨alt. In dieser Aufgabe werden wir den Weißen Zwerg als Kugel mit gleichm¨aßiger Dichte modellieren. Weiße Zwerge neigen zwar dazu extrem heiß zu sein, dennoch ist es in dieser Aufgabe eine hervorragende N¨aherung, T = 0 zu setzen.
(a) Zeigen Sie, dass die potentielle Gravitationsenergie einer Kugel mit gleichm¨aßiger Dichte, der Masse M und dem Radius R gegeben ist durch
Ugrav =−3 5
GM2
R . (1)
(b) Angenommen, der Stern enth¨alt ein Proton und ein Neutron f¨ur jedes Elektron und die Elektronen sind nicht relativistisch, zeigen Sie, dass die gesamte kinetische Energie des Elektronengases gegeben ist durch
Ukin = 0.35 ¯h2M5/3
mem5/3p R2 . (2) (c) Der Gleichgewichtsradius des Weißen Zwergs ist derjenige, der die GesamtenergieUgrav+ Ukin minimiert. Skizzieren Sie die Gesamtenergie als Funktion von R und finden Sie eine Formel f¨ur den Gleichgewichtsradius als Funktion der Masse. Erh¨oht oder verringert sich der Radius mit zunehmender Masse? Macht das Sinn?
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(d) Berechnen Sie den Gleichgewichtsradius und die Dichte f¨ur M = 2×1030 kg, also f¨ur einen Weißer Zwerg mit der Masse der Sonne. Wie viel gr¨oßer ist die Dichte im Vergleich zu der Dichte von Wasser?
(e) Berechnen Sie die Fermi-Energie und die Fermi-Temperatur f¨ur den in Teil (d) betra- chteten Fall. Ist die N¨aherung T = 0 g¨ultig?
(f) Nehmen wir jetzt an, dass die Elektronen im Weißen Zwerg h¨ochst relativistisch sind.
Zeigen Sie, dass die gesamte kinetische Energie der Elektronen nun proportional zu 1/R anstelle von 1/R2 ist. Er¨ortern Sie, dass es f¨ur einen solchen Stern keinen stabilen Gleichgewichtsradius gibt.
(g) Der ¨Ubergang vom nichtrelativistischen zum ultrarelativistischen Regime erfolgt ungef¨ahr dort, wo die durchschnittliche kinetische Energie eines Elektrons gleich seiner Ruheenergie mec2 ist. Ist die nicht relativistische N¨aherung f¨ur einen Weißen Zwerg mit einer Masse gleich der Sonnenmasse g¨ultig? Ab welcher Masse w¨urde ein weißer Zwerg relativistisch und damit instabil werden?
Bsp. 3: Energie eines idealen Bose-Gases
4 Punkte (a) Zeigen Sie, dass die Gesamtzahl der Quanten in einem idealen Bose-Gas ausgedr¨uckt
werden kann als
N = V
λ3 g3/2(z) , (3)
wobei z = eβµ, p = p2/2m, λ = 2π¯h/√
2πmkT und g(z) ist eine verallgemeinerte Riemannsche Zetafunktion (genauer ist dies der Polylogarithmus, welcher mit der Rie- mannschen Zetafunktion ¨ubereinstimmt, wenn z = 1 ist.)
gν(z) =
∞
X
l=1
zl
lν . (4)
(b) Zeigen Sie anhand des Ergebnisses aus Teil (a), dass die Energie eines idealen Bose-Gases gegeben ist durch
E = 3 2KTV
λ3 g5/2(z) . (5)
Hinweis:
−1 β
∂
∂l
e−βp
2 2ml
= p2 2m
e−βp
2 2ml
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Bonusaufgabe: Bosegas im Oszillator
3 Punkte Das Kondensat eines idealen Bosegases im harmonischen Oszillator besteht aus den N0 Teilchen im Grundzustand. Wenn ein Kondensat vorliegt, dann lautet die Teilchenzahlbe- dingung
N =N0+ Z ∞
0
dnx Z ∞
0
dny Z ∞
0
dnz 1
exp[β¯hω(nx+ny+nz)]−1 , (7) Die Oszillatorenergien sind = ¯hω(nx+ny +nz+ 3/2). In den Ausdruck f¨ur die mittleren Teilchenzahlen wurde µ = 3¯hω/2 eingesetzt; dies gilt, wenn ein endlicher Bruchteil aller Teilchen im Grundzustand ist.
Schreiben Sie den Integranden als geometrische Reihe P∞
l=1 exp(−[...]l) und f¨uhren Sie die Integration aus. Bestimmen Sie N0 als Funktion der Temperatur.
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