L¨ohr/Winter Wintersemester 2015/16
Ubungen zur Vorlesung ¨ Wahrscheinlichkeitstheorie II
Ubungsblatt 1 ¨
Wiederholung
Aufgabe 1.1 (Normalverteilung & zentraler Grenzwertsatz).
(4 Punkte)Sei f die Dichte der Standardnormalverteilung auf
R, also f(x) = (2π)
−12e
−12x2.
(a) Sei X
nPoissonverteilt mit Parameter n, n
∈N. Zeige f¨ ur alle x
∈R, dass
√
n
PX
n=
⌊n + x
√n
⌋ −→n→∞
f (x).
Hinweis: Verwende die Stirling Formel.
(b) Sei X standardnormalverteilt. Berechne die Dichte von Z = X
2. Bemerkung: Die Verteilung von Z heißt Γ(
12,
12)-Verteilung.
(c) Sei S
n=
Pnk=1
X
kmit X
1, X
2, . . . unabh¨angig und gleichverteilt auf
{−1, 1
}. Zeige, dass
n
lim
→∞PS
n>
√n log(n) = 0 und lim
n→∞P
|
S
n|>
log(√nn)= 1.
Hinweis: Verwende den Satz von de Moivre-Laplace (zentraler Grenzwertsatz).
Aufgabe 1.2 (Bedingte Erwartungen).
(4 Punkte)(a) Sei X = cos(2πU ) und Y = sin(2πU ) f¨ ur eine auf [0, 1] gleichverteilte Zufallsvariable U.
Berechne
E(X
|Y ).
(b) Seien nun X, Y unabh¨angig und gleichverteilt auf [0, 1]. Berechne
E(X
|Z) f¨ ur Z = XY . Hinweis: Berechne zun¨achst die gemeinsame Dichte von (X, Z ).
Aufgabe 1.3 (Gesetz der großen Zahl f¨ ur bedingte Erwartung).
(4 Punkte)Seien X
n, n
∈N, unabh¨angig und gleichverteilt auf [0, 1]. Y sei eine Beliebige Zufallsvariable, die auch zu den X
nbeliebige Abh¨angigkeiten aufweisen darf. Zeige, dass der Limes
n
lim
→∞1 n
n
X
k=1
E
(X
k |Y )
f.s. existiert und berechne den Grenzwert.
Bitte wenden!
Aufgabe 1.4 (Ergodensatz).
(4 Punkte)Seien U
1, U
2, . . . unabh¨angig und gleichverteilt auf [0, 1]. Betrachte
X
n:=
n
Y
k=1
(U
k+ U
k+1)
n1und berechne lim
n→∞E(X
n).
Abgabe Mi, 28.10. am Anfang der ¨ Ubungsstunde
Arbeitsgruppenvortr¨ age:
Am 20.10. gibt Robert Fitzner (Eindhoven University of Technology) einen Vortrag ¨ uber High-dimensional percolation
Abstract:Percolation is one of the simplest ways to define models in statistical physics and mathematics which displays a non-trivial critical behaviour. This model describes how a graph/lattice/network behaves under random removal of edges. In the last 40+ years, it has been an active field of research due to richness of the behaviour of the model and due to its numerous applications. We introduce the classical version of the model on the latticeZd, where percolation has the remarkable feature that it undergoes a sharp phase transition: There exists a critical valuepc =pc(d)∈(0,1) such that if you randomly retain a fraction of less thanpc edges (i.e., remove a fraction of more than 1−pcof all edges in i.i.d. manner), then the resulting graph consists of finite connected components only. Conversely, if you retain a fraction of more than pc edges (i.e., randomly remove a smaller than 1−pc fraction of edges), then the resulting graph will contain exactly one infinite connected component. What happens at criticality, i.e., if we randomly retain exactly the critical fraction of pc edges is only understood for d= 2 (where pc(2) = 0.5) and for d >10 (wherepc(d)≈1/(2d−1)). In the talk, we review known results about percolation and give an idea of how to obtain results ford >10.
