0.1 Ubungsblatt IV ¨

Marco Schreck, Matrikelnummer: 1096937

0.1 Ubungsblatt IV ¨

0.1.1 Aufgabe 1

a.)

Nunschauen wir uns den gebundenen Fall an. Wir betrachten die Schr¨odinger-Gleichung:

−~²

2mΨ^′′(x) = (E−V)Ψ(x)

Das charakteristische Polynom lautet:

~²

2mλ²= (V −E) λ²=−2m

~² (E−V)

Innerhalb des Kastens gelteE > V und außerhalbE <0. Damit haben wir den L¨osungsansatz:

Ψ(x) =















Cexp (+γx) f¨ur x <−a Asin(qx) +Bcos(qx) f¨ur −a < x < a Dexp(−γx) f¨ur x > a

mitγ= r

−2m

~² Eundq= r2m

~² (E−V0)

Durch Ableiten nachxerhalten wir:

Ψ^′(x) =















Cγexp(γx) f¨ur x <−a Aqcos(qx)−Bqsin(qx) f¨ur −a < x < a

−Dγexp(−γx) f¨ur x > a Wir erf¨ullen die Stetigkeitsbedingungen:

➢ Stetigkeit beix=aundx=−a:

Cexp(−γa) =Asin(−qa) +Bcos(−qa) Dexp(−γa) =Asin(+qa) +Bcos(qa)

➢ Stetige Differenzierbarkeit beix=−aundx=a:

Cγexp(−γa) =Aqcos(−qa)−Bqsin(−qa)

−Dγexp(−γa) =Aqcos(qa)−Bcos(qa)

Wir addieren bzw. subtrahieren jeweils zwei passende Gleichungen und erhalten:

(C+D) exp(−γa) = 2Bcos(qa) γ(C−D) exp(−γa) = 2Aqcos(qa) (C−D) exp(−γa) =−2Asin(qa) γ(C+D) exp(−γa) = 2Bqsin(qa)

Schauen wir uns nun beispielsweise die zweite Gleichung an, so erkennen wir, daß aufgrund der linearen Un- abh¨angigkeit der Exponentialfunktion und der Kosinusfunktion die entsprechende Gleichung nat¨urlich nur f¨ur A= 0 undC−D= 0, alsoC=D, erf¨ullt werden kann. Es bleiben somit nur zwei Gleichungen ¨ubrig:

2Dexp(−γa) = 2Bcos(qa)

γ·2Dexp(−γa) = 2Bqsin(qa) Oder auch anders geschrieben:

Dexp(−γa)−Bcos(qa) = 0 γDexp(−γa)−Bqsin(qa) = 0

Es handelt sich um ein homogenes Gleichungssystem. Damit dieses außer der trivialen L¨osung B = D = 0 weitere L¨osungen besitzt, muß die Sekul¨ardeterminante verschwinden:

det

exp(−γa) −cos(qa) γexp(−γa) −qsin(qa)

=−qexp(−γa)·sin(qa) +γexp(−γa)·cos(qa)= 0^! Damit erhalten wir folgendes Bedingung:

qsin(qa) =γcos(qa) tan(qa) = γ

q

Zwischen den Konstantenq_i undγ_ibestehe nun diese Beziehung. Dann folgt also L¨osung des Systems:

D=D

B =D·exp(−γai) cos(qai)

Damit erhalten wir folgende gerade L¨osungen:

Ψ =











D·exp(−γia)

cos(qia) ·cos(qix) f¨ur −a < x < a Dexp(−γix) f¨ur |x|> a

F¨ur die ungeraden L¨osungen giltB= 0 undC=−D. Damit erhalten wir hier folgendes Gleichungssystem:

−2γDexp(−γa) = 2Aqcos(qa)

−2Dexp(−γa) =−2Asin(qa) Durch Umformung folgt:

γDexp(−γa) +Aqcos(qa) = 0 Dexp(−γa)−Asin(qa) = 0

Auch dieses ist nur dann l¨osbar, wenn die Sekul¨ardeterminante verschwindet:

−γexp(−γa) sin(qa)−qexp(−γa) cos(qa)= 0^!

Damit erhalten wir folgende Bedingung f¨ur die ungeraden L¨osungen:

γsin(qa) =−qcos(qa) cot(qa) =−γ

q

F¨ur die ungeraden L¨osungen folgt nun:

Ψ =











D·exp(−γia)

sin(qia) ·cos(qix) f¨ur −a < x < a Dexp(−γix) f¨ur |x|> a

b.) Es gilt ja:

tan(qa) = γ q

Also folgt durch Einsetzen vonqundγ:

r

−2m

~²E = r2m

~²(E+V0)·tan

"r 2m

~²(E+V0)a

#

Wir machen nun folgende Substitutionen:

r

−2m

~²E·a=η und r2m

~² (E+V0)a=ξ Damit erhalten wir f¨ur die geraden L¨osungen:

η=ξtan(ξ)

Und schließlich f¨ur die ungeraden L¨osungen:

η=−ξcot(ξ)

Diese Gleichungen sind transzendent, lassen sich also analytisch nicht l¨osen. Man kann die L¨osungen jedoch graphisch bestimmen. Dazu tragen wir in ein (ξ, η)-Koordinatensystem die Funktionenξtan(ξ) und−ξcot(ξ) ein. Des weiteren gilt:

ξ²+η²=2mV0

~² a²=r²

Hierbei handelt es sich um einen Kreis in der (ξ, η) Ebene. Durch Schnitt der Kurven mit dem Kreis lassen sich die Energiewerte bestimmen:

✵ L¨osungen mit gerader Parit¨at:

Die Zahl der Zust¨ande h¨angt vonr ab und betr¨agt:

Ng=hr π i

Die Funktion [x] bezeichne hier die n¨achstgr¨oßere nat¨urliche Zahl zu x. Hier gibt es immer mindestens einen gebundenen Zustand, also einen Schnittpunkt, wie man aus dem Schaubild ablesen kann.

✵ L¨osungen mit ungerader Parit¨at:

Hierbei muß nun c gr¨oßer als ^π₂ sein, damit es mindestens eine L¨osung gibt. Die Anzahl der ungeraden L¨osungen folgt aus:

Nu= r

π−1 2

F¨urmV0a²7→ ∞ergeben sich außerdem folgende Schnittpunkte:

tan(ξa) =∞ ⇔ ka= (2n−1)π

2 f¨urn= 1,2, . . .

−cot(ξa) =∞ ⇔ ka=nπ f¨urn= 1,2, . . . Zusammengefaßt gilt:

ξ(2a) =nπ Wir erhalten also:

ξ= r2m

~² (E+V0)=^! nπ 2a Durch Quadrieren erhalten wir:

2m

~² (E+V0) =nπ 2a

²

E = h² 2m

nπ 2a

2

−V0

c.)

Ausa7→0 undaV0= const.resultiert nat¨urlichV07→ ∞. Wir haben somit einen unendlich hohen Potentialtopf, f¨ur dessen Wellenfunktionen und Energieeigenwerte dann gilt (siehe Vorlesung):

Ψn(x) = r2

asinnπ a x

E_n= ~² 2m

nπ a

²

0.1.2 Aufgabe 2

a.)

Wir betrachten zun¨achst den FallE > U.

γ= r2m

~²(E−U)∈R k=

r2m

~²E∈R

Dann zeigt die Wellenfunktion in allen Bereichen ein oszillatorisches Verhalten.

➢ Innerhalb des Kastens:

Ψ(x) =Cexp (iγx) +Dexp (−iγx)

➢ Außerhalb des Kastens:

Ψ(x) =







exp (ikx) +rexp (−ikx) f¨ur x <−^a₂ texp (ikx) f¨ur x > ^a₂

Die Wellenfunktion muß stetig differenzierbar sein. Damit erhalten wir:

➢ Stetigkeit beix= ^a₂ undx=−^a₂: exp

ika 2

+rexp

−ika 2

=Cexp iγa

2

+Dexp

−iγa 2

texp

−ika 2

=Cexp

−iγa 2

+Dexp +iγa

2

➢ Stetigkeit der Ableitung beix=^a₂ undx=−^a₂: ikexp

ika 2

−rikexp

−ika 2

=Ciγexp iγa

2

−Diγexp

−iγa 2

−tikexp

−ika 2

=−Ciγexp

−iγa 2

+ iγDexp iγa

2

Damit erhalten wir folgendes lineares inhomogenes Gleichungssystem mit 4 Unbekanntent,r,C,D, das wir in Matrixform darstellen:









0 exp −ik^a₂

−exp(iγ^a₂) −exp(−iγ^a₂) −exp(ik^a₂) exp(−ik^a₂) 0 −exp(−iγ^a₂) −exp iγ^a₂

0 0 −kexp(−ik^a₂) −γexp(iγ^a₂) γexp(−iγ^a₂) −kexp(ik^a₂)

−kexp(−ik^a₂) 0 γexp(−iγ^a₂) −γexp(iγ^a₂) 0









Wir setzen nun der ¨Ubersichtlichkeit halber exp(−ik^a₂) :=Aund exp(−iγ^a₂) =B:









0 A −_B¹ −B −_A¹ A 0 −B −_B¹ 0

0 −kA −_B^γ γB −_A^k

−kA 0 γB −_B^γ 0

















A 0 −B −_B¹ 0

0 A −_B¹ −B −_A¹

0 0 −_B¹(k+γ) −B(k−γ) −^2k_A 0 0 −B(k−γ) −_B¹(k+γ) 0









Wir betrachten nun noch die letzten beiden Zeilen:

−(k+γ)(k−γ) −B²(k−γ)² −^2k_A (k+γ)(k−γ) +_B¹2(k+γ)² 0

Daraus erhalten wir dann schließlich f¨urD:

D

−B²(k−γ)²+ 1

B²(k+γ)²

=−2k

AB(k−γ) D= 2k(k−γ)B

Ah

B²(k−γ)²−_B¹2(k+γ)²i MitD kann nun nachCaufgel¨ost werden:

C=− 2k(k+γ) ABh

B²(k−γ)²−_B¹2(k+γ)²i Daraus erhalten wir nunr:

r= 1 A



−1

A+B· 2k(k−γ)B Ah

B²(k−γ)²−_B¹2(k+γ)²i− 1

B · 2k(k+γ) ABh

B²(k−γ)²−_B¹2(k+γ)²i



=

= 1 A²

2k

B²(k−γ)−_B¹2(k+γ) A²h

B²(k−γ)²−_B¹²(k+γ)²i − 1 A² = 1

A²

"

B² 2k²−2γk

−_B¹2 2k²+ 2γk

−B²(k−γ)²+_B¹2(k+γ)² B²(k−γ)²−_B¹²(k+γ)²

#

=

= 1 A²

2B²k²−2B²γk−^2k_B2² −^2γk_B2 −B²k²+ 2B²kγ−B²γ²+_B^k22 +^2γk_B2 +_B^γ22

B²(k−γ)²−_B¹²(k+γ)² =

= 1 A²

B²k²−_B^k22 −B²γ²+_B^γ22

B²(k−γ)²−_B¹²(k+γ)² = 1 A²

B²(k+γ)(k−γ)−_B¹2(k+γ)(k−γ) B²(k−γ)²−_B¹²(k+γ)² =

= 1 A²

"

B²−_B¹₂ B²·^k−γ_k+γ −B²·^k+γ_k−γ

#

= 1

A²

"

1−_B¹₄

k−γ k+γ −_B¹4

k+γ k−γ

#

Damit erhalten wir dann:

R=|r|²=|exp(ika)|²· |1−exp(2iγa)|²

k−γ

k+γ −exp(2γia)^k+γ_k−γ

2

|1−exp(2iγa)|²= (1−exp(2iγa))·(1−exp(−2iγa)) = 1−exp(−2iγa)−exp(2iγa) + 1 =

= 2−[exp(2iγa) + exp(−2iγa)] = 2−2 cos(2iγa)

k−γ

k+γ −exp(2iγa)·k+γ k−γ

2

=

k−γ

k+γ−exp(2iγa)·k+γ k−γ

· k−γ

k+γ −exp(−2iγa)·k+γ k−γ

=

=

k−γ k+γ

2

−exp(−2iγa)−exp(2iγa) +

k+γ k−γ

2

=

=

k−γ k+γ

2

+ k+γ

k−γ 2

−2 cos(2iγa) Also folgt:

R= 2−2 cos(2γa) k−γ

k+γ

² +

k+γ k−γ

²

−2 cos(2γa) Und nat¨urlich gilt f¨urt:

t= 1 A



 1

B · 2k(k−γ)B Ah

B²(k−γ)²−_B¹2(k+γ)²i−B· 2k(k+γ) ABh

B²(k−γ)²−_B¹2(k+γ)²i



=

= − 4kγ

A²h

B²(k−γ)²−_B¹²(k+γ)²i

T =|t|²= 16k²γ²

exp(−iγ) (k−γ)²−exp(iγa)_B¹²(k+γ)²

2

exp(−iγ) (k−γ)²−exp(iγa)1 B

2

(k+γ)

2

=

=

exp(−iγ) (k−γ)²−exp(iγa)1 B

2

(k+γ)

·

exp(iγ) (k−γ)²−exp(−iγa)1 B

2

(k+γ)

=

= (k−γ)⁴+ (k+γ)⁴−cos(2γa)(k−γ)²(k+γ)²

T = 16k²γ²

(k−γ)⁴+ (k+γ)⁴−cos(4γa)(k−γ)²(k+γ)²

Nun schauen wir uns noch den Fall 0< E < U an: Wir betrachten zun¨achst den FallE > U. γ=

r2m

~²(E−U)∈C k=

r2m

~²E∈R

Die Wellenfunktion besitzt außerhalb der Potentialbarriere ein oszillatorisches Verhalten, w¨ahrend sie innerhalb exponentiell abf¨allt. Damit erhalten wir folgende Bedingungen:

➢ Innerhalb des Kastens:

Ψ(x) =Cexp (−γx) +Dexp (γx)

➢ Außerhalb des Kastens:

Ψ(x) =







exp (ikx) +rexp (−ikx) f¨ur x <−^a₂ texp (ikx) f¨ur x > ^a₂

Die Wellenfunktion muß nat¨urlich wieder stetig differenzierbar sein:

➢ Stetigkeit beix= ^a₂ undx=−^a₂: exp

ika 2

+rexp

−ika 2

=Cexp

−γa 2

+Dexp γa

2

texp

−ika 2

=Cexp γa

2

+Dexp

−γa 2

➢ Stetigkeit der Ableitung beix=^a₂ undx=−^a₂: ikexp

ika 2

−rikexp

−ika 2

=−Cγexp

−γa 2

+Dγexp γa

2

−tikexp

−ika 2

=Cγexp γa

2

−γDexp

−γa 2

Damit erhalten wir folgendes lineares inhomogenes Gleichungssystem mit 4 Unbekanntent,r,C,D, das wir in Matrixform darstellen:









0 exp −ik^a₂

−exp(−γ^a₂) −exp(γ^a₂) −exp(ik^a₂) exp(−ik^a₂) 0 −exp(γ^a₂) −exp −γ^a₂

0 0 −ikexp(−ik^a₂) γexp(−γ^a₂) −γexp(γ^a₂) −ikexp(ik^a₂)

−ikexp(−ik^a₂) 0 −γexp(γ^a₂) +γexp(−γ^a₂) 0









Wir setzen nun der ¨Ubersichtlichkeit halber exp(−ik^a₂) :=Aund exp(−γ^a₂) =B:









0 A −B −_B¹ −_A¹

A 0 −_B¹ −B 0

0 −ikA γB −_B^γ −^ik_A

−ikA 0 −_B^γ γB 0

















A 0 −_B¹ −B 0

0 A −B −_B¹ −_A¹

0 0 −B(ik−γ) −_B¹(ik+γ) −^2ik_A 0 0 −_B¹(ik+γ) −B(ik−γ) 0









Wir betrachten nun noch die letzten beiden Zeilen:

(ik−γ)(ik+γ) _B¹2(ik+γ)² −_AB^2ik(ik+γ)

−(ik+γ)(ik−γ) −B²(ik−γ)² 0

Daraus erhalten wir dann schließlich f¨urD:

D 1

B²(ik+γ)²−B²(ik−γ)²

=−2ik

AB(ik+γ)

D=− 2ik(ik+γ)

AB

B²(ik−γ)²−_B¹2(ik+γ)² MitD kann nun nachCaufgel¨ost werden:

C=−B²(ik−γ)

ik+γ ·D= 2ik(ik−γ)B A

B²(ik−γ)²−_B¹2(ik+γ)² Daraus erhalten wir nunr:

r= 1 A

"

−1 A − 1

B · 2ik(ik+γ)

AB

B²(ik−γ)²−_B¹₂(ik+γ)²+B· 2ik(ik−γ)B A

B²(ik−γ)²−_B¹₂(ik+γ)²

#

=

= 1 A

"

−1

A +−_B¹22ik(ik+γ) +B²·2ik(ik−γ) A

B²(ik−γ)²−_B¹2(ik+γ)²

#

=

= 1 A

"

−B²(−k²−2ikγ+γ²) +_B¹2(−k²+ 2ikγ+γ²) +_B¹2 ·2k²−^2ikγ_B2 −2k²B²−B²·2ikγ A

B²(ik−γ)²−_B¹2(ik+γ)²

#

=

= 1 A

"

B²k²+B²·2ikγ−B²γ²−_B^k22 +^2ikγ_B2 +_B^γ22 +^2k_B2² −^2ikγ_B2 −2k²B²−2ikγB² A

B²(ik−γ)²−_B¹2(ik+γ)²

#

=

= 1 A

"

−B²γ²+_B^γ22 −k²B²+_B^k22

A

B²(ik−γ)²−_B¹2(ik+γ)²

#

= −B²(k²+γ²) +_B¹2(k²+γ²) A²

B²(ik−γ)²−_B¹2(ik+γ)² Damit erhalten wir dann:

R=|r|²=

−B²(k²+γ²) +_B¹₂(k²+γ²) B²(ik−γ)²−_B¹₂(ik+γ)²

2

=

2(k²+γ²)−(k²+γ²) [exp(γa) + exp(−γa)]

2

B²(ik−γ)²+_B¹₂(ik+γ)²

2 =

=

2(k²+γ²) [1−cos(γa)]

2

B²(ik−γ)²+_B¹2(ik+γ)²

2 = (k²+γ²)²[1−cos(γa)]² [(γ²−k²) cos(γa)−2kγsin(γa)]² Und nat¨urlich gilt f¨urt:

t= 1 A

"

1

B · 2ik(ik−γ)·B A

B²(ik−γ)²−_B¹₂(ik+γ)²+B· 2ik(ik+γ) AB

B²(ik−γ)²−_B¹₂(ik+γ)²

#

=

= −4k²

A²

B²(ik−γ)²−_B¹₂(ik+γ)²

T =|t|²= 16k²

B²(ik−γ)²−_B¹2(ik+γ)²

2 = 4k²

[(γ²−k²) cos(γa)−2kγsin(γa)]²

b.)

Wir zeichnen die Reflexions- und Transmissionskurve in Abh¨angigkeit der EnergieE:

Sowohl Reflexions- als auch Transmissionskoeffizient zeigen ein oszillatorisches Verhalten. Der Reflexionskoeffi- zient hat Minima bei:

2ka=nπ

a=nλ 2

Dies ist also immer dann der Fall, wenn ein ganzzahliges Vielfaches der halben de Broglie-Wellenl¨ange in den Potentialtopf hineinpaßt. Man spricht hier von Resonanzen bei den Energien:

E_n=−V0+ ~²π² 8ma²n²

Es handelt sich um die Energieeigenwerte beim unendlich hohen Potentialtopf. Bei diesen Energien wird der Potentialtopf vollkommen durchl¨assig, also gilt:

R= 0, T = 1

c.)

➢ Transmission:

➢ Reflexion: