1. ¨ Ubungsblatt Aufgaben mit L¨ osungen
Aufgabe 1: Berechnen Sie folgende Summen:
(a)
9
X
m=5
(m2−m), (b)
7
X
n=4
n n−2
, (c)
27
X
n=4
4 1
2 n
.
L¨osung 1: (a) Wir trennen die Summe auf und setzen die Zahlen ein:
9
X
m=5
(m2−m) =
9
X
m=5
m2−
9
X
m=5
m
= (25 + 36 + 49 + 64 + 81)−(5 + 6 + 7 + 8 + 9)
= 255−35 = 220.
(b) Zuerst setzen wir die Definition des Binomialkoeffizienten ein. Dann k¨urzen wir den Bruch und setzen schließlich die Werte ein:
7
X
n=4
n n−2
=
7
X
n=4
n!
(n−2)! (n−(n−2))! =
7
X
n=4
n(n−1) 2!
= 1 2
7
X
n=4
(n2−n) =12(16−4 + 25−5 + 36−6 + 49−7) = 104 2 = 52
(c) Wir ziehen die 4 aus der Summe und verschieben den Index (n0 =n−4). Danach Spalten wir das Produkt (12)n0+4 auf und ziehen den Faktor (12)4 nach außen. Dann verwenden wir die geometrische Summenformel. Zum Schluss bringen wir den Ausdruck auf eine Nenner.
27
X
n=4
4 1
2 n
= 4
23
X
n0=0
1 2
n0+4
= 4
23
X
n=0
1 2
n1 2
4
= 4 16
1− 1224 1−12 =2
4
1− 1
2 24
= 224−1 225
Aufgabe 2: (a) Verschieben Sie die Indizes so, dass der folgende Ausdruck mit einem Summenzeichen geschrieben werden kann.
23
X
ν=2
(ν−1)2+
19
X
µ=−2
2(µ+ 3) +
31
X
k=10
1
Berechnen Sie dann die Summe. Hierbei d¨urfen Sie Beispiel 1.9 aus der Vorlesung verwenden.
(b) Zeigen Sie mit Hilfe einer geeigneten Indextransformation, dass f¨ur a, b∈Rundn∈Ngilt (a−b)
n
X
ν=0
aνbn−ν =an+1−bn+1.
L¨osung 2: (a) Wir wenden die Indextransformationenn=ν−1 bzw.n=µ+ 3 undn=k−9 an. Dann k¨onnen wir den Ausdruck als eine Summe schreiben.
23
X
ν=2
(ν−1)2+
19
X
µ=−2
2(µ+ 3) +
31
X
k=10
1 =
22
X
n=1
n2+
22
X
n=1
2n+
22
X
n=1
1 =
22
X
n=1
(n2+ 2n+ 1).
Wir erkennen die erste binomische Formel. Durch eine weitere Indexverschiebung und elementaren Rechenoperationen erhalten wir
22
X
n=1
(n2+ 2n+ 1) =
22
X
n=1
(n+ 1)2=
23
X
n=2
n2=
23
X
n=1
n2
!
−1
Bsp 1.9
z}|{= 1
6 ·23·24·47−1 = 4323
(b) Wir multiplizieren aus. Den letzten Summanden der ersten Summe und den ersten Summanden der zweiten Summe schreiben wir explizit auf:
(a−b)
n
X
ν=0
aνbn−ν =
n
X
ν=0
aν+1bn−ν−
n
X
ν=0
aνbn−ν+1=an+1+
n−1
X
ν=0
aν+1bn−ν−
n
X
ν=1
aνbn−ν+1−bn+1
Nun verschieben wir den Index der zweiten Summeν0=ν−1 bzw. ν=ν0+ 1:
n
X
ν=1
aνbn−ν+1=
n−1
X
ν0=0
aν0+1bn−ν0
Setzen wir dies oben ein, so sehen wir, dass sich die Summen aufheben. Wir erhalten die Behauptung: (a−b)Pn
ν=0aνbn−ν = an+1−bn+1
Aufgabe 3: Berechnen Sie
(a)
1
X
k=0 4
X
l=2
1
(k+l)2, (b)
4
X
ν=1 ν
X
k=1
ν(ν−k)
L¨osung 3: (a)
1
X
k=0 4
X
l=2
1 (k+l)2 =
1
X
k=0
1
(k+ 2)2 + 1
(k+ 3)2 + 1 (k+ 4)2
= 1 22 + 1
32 + 1 42 + 1
32 + 1 42 + 1
52 = 1 4+2
9 + 2 16+ 1
25 = 1147 1800
(b) Wir ziehen den Faktorν aus der inneren Summe. Dann transformieren wir den Index durchl=ν−k(bzw.k=ν−l).
Als letzten Schritt verwenden wir die Summenformel aus der Vorlesung und setzen die Zahlen ein:
4
X
ν=1 ν
X
k=1
ν(ν−k) =
4
X
ν=1
ν
ν
X
k=1
(ν−k) =
4
X
ν=1
ν
=ν(ν−1)2
z }| {
ν−1
X
l=0
l =
4
X
ν=1
νν(ν−1)
2 =1
2
4
X
ν=1
ν2(ν−1)
= 1
2(0 + 4 + 18 + 48) = 35.
Aufgabe 4:
(a) Berechnen Sie die Summe
5
X
n=3 n 3
n! .
(b) Beweisen Sie die folgende Rechenregel f¨ur den Binomialkoeffizienten. F¨urn≥m≥r≥0 gilt n
m
· m
r
= n
r
· n−r
m−r
.
L¨osung 4:
(a)
5
X
n=3 n 3
n! =
5
X
n=3
n!
3!(n−3)!n! =
5
X
n=3
1
3!(n−3)! = 1 3!0! + 1
3!1!+ 1 3!2! =1
6 +1 6+ 1
12 = 5 12 (b) Wir setzen die Definition des Binomialkoeffizienten ein. Dann k¨onnen wirm! k¨urzen.
n m
· m
r
= n!
m!(n−m)!· m!
r!(m−r)!= n!
r!(n−m)!(m−r)!
Dann schrieben wir k¨unstlichn−m=n−r+r−m= (n−r)−(m−r) und erhalten wieder die gew¨unschte Form:
n!
r!(n−m)!(m−r)! = n!
r!(n−r)!· (n−r)!
((n−r)−(m−r))!(m−r)! = n
r
· n−r
m−r
.
Aufgabe 5: Bestimmen Sie alle L¨osungen der folgenden linearen Gleichungssysteme:
(a)
−3x1 +x2 +x3 = 3
−2x1 −2x2 +x3 = 1
−2x1 −x2 +x3 = 2
(b)
x1 +2x2 +4x3 = 3 4x1 +7x2 +x3 = 2
−2x1 −3x2 +7x3 = 4
L¨osung 5: Bemerkung: Mit (α), (β) und (γ) bezeichnen wir hier Pivotelement-Zeilen der Koeffizientenmatrix. (a)
−3 1 1 3 (α)
−2 −2 1 1 −1·(α)
−2 −1 1 2 −1·(α)
→
−3 1 1 3
1 −3 0 −2 −1·(β) 1 −2 0 −1 (β)
→
−3 1 1 3
0 −1 0 −1
1 −2 0 −1
Wir lesen aus der 2. Zeile abx2 = 1. Aus der letzten Zeile erhalten wir weiterx1−2x2 =−1, setzen f¨urx2= 1 ein und erhaltenx1= 1. Aus der ersten Zeile erhalten wir−3x1+x2+x3= 3, setzen f¨urx2= 1, x1= 1 ein und erhaltenx3= 5.
Damit haben wir eine eindeutige L¨osung (x1, x2, x3) = (1,1,5).
(b)
1 2 4 3 (α)
4 7 1 2 −4·(α)
−2 −3 7 4 +2·(α)
→
1 2 4 3
0 −1 −15 −10 +1·(β)
0 1 15 10 (β)
→
1 2 4 3
0 0 0 0
0 1 15 10
Wir erkennen, dassx3 eine freie Variable ist. Die L¨osung ist in Abh¨angigkeit dieser Variable anzugeben. Die dritte Zeile liefert x2 = 10−15x3. Das setzen wir in die erste Zeile ein und erhalten x1+ 20−30x3 + 4x3 = 3 oder ¨aquivalent x1=−17 + 26x3. Die L¨osungsmenge ist
(−17 + 26x3,10−15x3, x3)>:x3∈R