Die angeregten Dipole strahlen wiederum mit der aus der Vorlesung bekannten Abstrahlungscharakteristik Hertz’scher Dipole Streulicht ab

Karlsruher Institut f¨ur Technologie Institut f¨ur Theorie der Kondensierten Materie

Ubungen zur Klassischen Theoretischen Physik III¨ (Theorie C – Elektrodynamik) WS 12-13

Prof. Dr. Alexander Mirlin Blatt 13 Musterl¨osung

Dr. Igor Gornyi Besprechung 30.01.2013

Aufgabe 1: Himmel (4+3=7 Punkte)

Streuung von Licht an einem diffusen Gas kann in einem einfachen Bild wie folgt be- trachtet werden:

Die Molek¨ule des Gases werden vom einfallenden Licht zu Dipolschwingungen ange- regt. Die angeregten Dipole strahlen wiederum mit der aus der Vorlesung bekannten Abstrahlungscharakteristik Hertz’scher Dipole Streulicht ab.

(a) Warum ist der Himmel blau?

(b) Warum ist der Sonnenuntergang rot?

L¨osung:

Der Effekt beruht auf dem frequenzabh¨angigen Streuquerschnitt σ der Rayleigh- streuung. Um den Streuquerschnitt zu berechnen, stellt man sich ein idealisiertes Oszillatormodell zur Beschreibung der Streuung von Licht an Atomen vor.

Dabei wirkt die einfallende elektromagnetische Welle als Anregung einer ged¨ampfen harmonischen Schwingung gem¨aß

m (d²⃗r

dt² + 1 τ

d⃗r

dt +ω²₀⃗r )

=−e(E⃗ +⃗v

c ×B).⃗ (1)

Zu beachten ist der hintere Term der rechten Seite in Gl.(1), welcher die Lorentzkraft ber¨ucksichtigt. Unter Verwendung von⃗p=−e·⃗r und |⃗v| ≪c, folgt

m (d²⃗p

dt² + 1 τ

d⃗p

dt +ω₀²⃗p )

=e²E.⃗ (2)

Nach einem Einschwingvorgang kommt es zur Schwingung der Elektronen mit der Frequenz des erregenden externen Feldes. Der Ansatz

⃗r(t) =⃗r(ω)e^−iω·t (3) f¨uhrt auf

m (

−ω² −iω τ +ω₀²

)

⃗

r(ω) =−e ⃗E(ω) (4)

⃗

r(ω) = e m

E(ω)⃗

ω²+iω/τ −ω²₀ (5)

und somit auf ein induziertes Dipolmoment

⃗

p(t) = α ⃗E(t) = ⃗p₀e^−iω·t (6)

mit frequenzabh¨angiger Polarisierbarkeit

⃗ p₀ = e²

m

1

ω²₀−ω²−iω/τE⃗₀. (7) Der einfallende Energiefluss betr¨agt

1

2· c·E₀² 4π .

Wie aus der Vorlesung bekannt, betr¨agt die Dipolabstrahlung eines Hertz’schen Dipols

P = ω⁴|⃗p|² 3·c³ .

Nun l¨asst sich der Streuquerschnitt definieren als die gestreute Energie pro Zeitein- heit/einfallender Energiefluß:

σ=

c 3k⁴p²₀

c

8πE₀² = 8π

3 k⁴α² = 4(2π)⁵α²

3λ⁴ . (8)

Das Lorentz-Oszillatormodell ergibt somit einen frequenzabhnigen Streuquerschnitt.

Rotes Lichtλ ≈650nm besitzt deshalb im Vergleich zu blauem Licht mitλ≈470nm eine gr¨oßere mittlere freie Wegl¨ange

L= 1

nσ. (9)

Die Molek¨uldichte wird durch n beschrieben. Der Streuprozess in der Atmosph¨are ist somit f¨ur blaues Licht effektiver als f¨ur rotes. Deshalb ist der Himmel blau.

Bei zunehmender Distanz der Wegl¨ange durch dichtere Gebiete der Atmosph¨are bei Sonnenauf- und untergang, wird das blaue Licht st¨arker gestreut als das rote, wodurch der Himmel rot erscheint.

Aufgabe 2: Plasmaoszillationen in Metallen (5+3=8 Punkte) Betrachten Sie das Drude-Modell f¨ur das Verhalten von Elektronen in Metallen in Wechselwirkung mit dem elektrischen Feld. Mit Hilfe der Kontinuittsgleichung und den Maxwell-Gleichungen kann im Grenzfall ωτ ≫ 1 eine Gleichung f¨ur die Ladungs- dichte gewonnen werden, die eine Bedingung f¨ur das Auftreten von Ladungsdichte- Oszillationen, ρ(⃗r , ω)̸= 0, liefert.

(a) Bestimmen Sie die Frequenz, f¨ur die Ladungsdichte-Oszillationen auftreten k¨onnen.

Vergleichen Sie diese mit der in der Vorlesung eingef¨uhrten Plasmafrequenz ω_P. (b) Leiten Sie aus den Maxwell-Gleichungen die zugeh¨orige Wellengleichung her. Zeigen

Sie, dass sich oberhalb der in (a) hergeleiteten Grenzfrequenz im Metall elektroma- gnetische Wellen ausbilden k¨onnen.

zu (a):

Das Verhalten von Elektronen in Metallen in Wechselwirkung mit dem elektrischen Feld kann durch eine klassische Bewegungsgleichung

⃗˙ v+⃗v

τ =−e m

E⃗ (10)

beschrieben werden. Dabei bezeichnet m die Elektronenmasse, −e die Elektronenla- dung. Weiterhin gelten die Maxwell-Gleichungen mit der Stromdichte⃗j =−ne⃗v, wobei n die Elektronendichte bezeichnet. Mit Hilfe des Drude-Modells und der Kontinuit¨ats- gleichung l¨asst sich unter Verwendung der Maxwell-Gleichungen eine einfache Herlei- tung der Ladungstr¨ageroszillationen angeben.

Dazu kann das Lorentz-Oszillatormodell genutzt werden, wobei der Ansatz freier Elek- tronen durch Streichen des R¨uckstellterms beschrieben werden kann, ω₀ →0:

m (d²⃗r

dt² +1 τ

d⃗r dt

)

=e ⃗E. (11)

F¨ur ωτ ≫1 ergibt sich

md²⃗r

dt² =e ⃗E (12)

m⃗j˙ =ne²E⃗ (13)

bzw. die Fourier-Transformierte

−iωm⃗j =ne²E.⃗ (14)

Nutzt man nun die fouriertransformierte Kontinuit¨atsgleichung und Maxwell-Gleichung

i⃗k⃗j−iωρ= 0 (15)

ϵ_gebi⃗k ⃗E = 4πρ. (16)

ergibt sich unter Verwendung von (14),(15) und (16) als Bedingung des Auftretens von Ladungsdichteoszillationen

ρ(⃗r, ω)(ω²mϵ_geb−4πe²n) = 0. (17) Nach dem Lorentz-Drude Modell k¨onnen Plasmaoszillationen bei einer Resonanzfre- quenz von

ω=

√ 4πne²

mϵ_geb (18)

auftreten.

zu (b):

Wenn elektromagnetische Strahlung in ein Medium eindringt, induziert sie ein elek- trisches Dipolmoment, es findet eine elektrische Polarisation des Mediums statt. Aus der Polarisation kann auf die dielektrische Funktion geschlossen werden. Zun¨achst soll jedoch die Wellengleichung im Medium aufgestellt werden.

F¨ur ein isotropes, lineares und homogenes Medium gilt D(⃗⃗ r, t) =ϵ ⃗E(⃗r, t), H(⃗⃗ r, t) =

B(⃗⃗ r, t)

µ . (19)

Unter Verwendung von

∇⃗E⃗ = 0 (20)

∇ ×⃗ (∇ ×⃗ E) =⃗ ∇⃗(∇⃗E)⃗ −∆E⃗ (21)

folgt

−∆E⃗ + ∂

∂t[∇ ×⃗ B] = 0.⃗ (22)

Mit der Maxwell-Relation

∇ ×⃗ B⃗ =µ∂ ⃗D

∂t =ϵµ∂ ⃗E

∂t (23)

ergibt sich schlielich die gesuchte Wellengleichung

∆E⃗ = ϵµ c²

∂ ⃗E

∂t. (24)

Wie bereits in der ersten Aufgabe gezeigt, ergibt sich mit Hilfe das Lorentz-Modells das erzeugte Dipolmoment

⃗ p0 = e²

m

1

ω²₀−ω²−iω/τ

E⃗0. (25)

Mit der Elektronendichte n folgt

ϵ(ω) =ϵgeb+ P(ω)

E(ω) =ϵgeb+4πnp₀(ω)

E₀ . (26)

F¨ur die dielektrische Funktion ergibt sich schließlich ϵ(ω) =ϵ_geb

(

1 + ω_p² ω₀²−ω²−iω/τ

)

. (27)

mit der Plasmafrequenz

ω_p =

(4πne² mϵ_geb

)1/2

.

Unter den Annahmen, dass ωτ ≫ 1 und ω0 = 0 gilt, vereinfacht sich die dieletrische Funktion zu

ϵ(ω) =ϵgeb

( 1− ω²_p

ω² )

. (28)

F¨urω ≥ω_pist der Brechungsindexn=√

ϵrein reell, elektromagnetische Wellen k¨onnen sich im Material ausbreiten.

Aufgabe 3: Skin-Effekt (5+5=10 Punkte)

Ein zylindrischer Draht (Radius a) bestehe aus einem Metall mit der Leitf¨ahigkeit σ.

Durch dieses Metall (parallel zur Zylinderachse) fließe ein elektrischer Wechselstrom (Winkelgeschwindigkeit ω). Gesucht wird das elektrische Feld innerhalb des Leiters, welches sich aus den Maxwell-Gleichungen ergibt. Dabei kann f¨ur moderate Frequen- zen der Term E⃗˙ vernachl¨assigt und ∇ ·E⃗ = 0 angenommen werden (quasistation¨are N¨aherung).

(a) Entkoppeln Sie das System von Differentialgleichungen f¨urE⃗ und B. Benutzen Sie⃗ dabei das Ohm’sche Gesetz⃗j=σ ⃗E. Bestimmen SieE(⃗⃗ r) f¨ur den Falla≫d, wobei d die Eindringtiefe (Skindicke) ist.

(b) Berechnen Sie den Widerstand R_ac des Drahtes aufgrund des Skin-Effekts. Verglei- chen SieR_ac(ω) mit dem Gleichstromwiderstand (ω= 0).

zu (a):

F¨ur das Ohmsche Gesetz gilt ⃗j = σ_DE⃗ mit der Drude-Leitf¨ahigkeit σ_D. Diese ist f¨ur ωτ ≫1 gegeben durch

σ(ω) = ne² m

1

1/τ −iω |{z}→

ω=0

ne²τ

m =σ_D (29)

UmE(⃗⃗ r) zu bestimmen, betrachtet man die fouriertransformierten Maxwell-Gleichungen in Materie unter der Bedingung⃗j =σDE:⃗

i⃗k×H(⃗k, ω) +⃗ iω c

D(⃗k, ω) =⃗ 4π

c σ_DE(⃗k, ω)⃗ (30) i⃗k×H(⃗k, ω) +⃗ iω

c (

ϵ−4πσD

iω )

E(⃗k, ω) = 0⃗ (31)

Aufgrund der quasi-station¨aren N¨aherung ωτ ≪ 1 dominiert der zweite Term in der Klammer, sodass die N¨aherung

i⃗k×H(⃗ ⃗k, ω) = 4π

c σ_DE(⃗k, ω⃗ ) (32)

g¨ultig ist.

Mitµ= 1 und

∇⃗B⃗ = 0 (33)

∇ ×⃗ B⃗ +1 c

∂ ⃗E

∂t = 0 (34)

folgt aus

∇ ×⃗ [∇ ×⃗ B(⃗k, ω)] =⃗ 4π

c σD[∇ ×⃗ E(⃗k, ω)]⃗ (35) die entkoppelte Gleichung

∇⃗²B⃗ − 4πσ_D c²

∂ ⃗B

∂t = 0, (36)

bzw.

∇⃗²B⃗ − 4πiσ_Dω c²

B⃗ = 0. (37)

Analog folgt

∇⃗²E⃗ − 4πiσ_Dω

c² E⃗ = 0. (38)

F¨ur a≫d und a≫ |ρ−a| erhalten wir

E(ρ)≈Ee^−k(a−ρ) (39)

mit

k² =−4πiσDω c² . Mit der Eindringtiefe

d= c

√2πσ_Dω

folgt

k = 1−i d .

zu (b):

Die Widerstandserh¨ohung aufgrund des Skin-Effekts l¨asst sich ¨uber das Fl¨achenintegral I =

∫

j(ρ)d²ρ= 2πσD

∫ a 0

E(ρ)ρdρ≈2πσDaE·Re (1

k )

(40)

=πσ_DEad=πσ_DadV L = V

R_ac. (41)

Hingegen folgt f¨ur den Gleichstromwiderstandswert R_dc = L

πσ_Da² (42)

und R_ac

R_dc = a

d ≫1. (43)

Bonusaufgabe Einachsiges Medium (5+5=10 Bonuspunkte)

Wir betrachten ein anisotropes Medium, in dem die Dielektrizit¨atskonstante richtungs- abh¨angig ist: Di =ϵiEi mit ϵx =ϵy ̸=ϵz.

(a) Bestimmen Sie die Dispersionsrelation ω=ω(⃗k) f¨ur das elektrische Feld einer ebe- nen elektromagnetischen Welle mit Frequenzω und Wellenvektor⃗k (der eine belie- bige Richtung haben kann).

(b) Finden Sie die Phasengeschwindigkeit in Abh¨angigkeit von der Richtung des Wel- lenvektors.

zu (a): Elektromagnetische Wellen in anisotropen Medien.

In dieser Aufgabe wird ein nichtmagnetisches Medium ohne freie Ladungen betrachtet.

Das Medium sei anisotrop. Zur Ableitung der Dispersionsrelation stellt man zun¨achst die Wellengleichung in einem anisotropen, unmagnetischen Medium auf. Mit Hilfe von

⃗k·D⃗ = 0 (44)

⃗k·H⃗ = 0 (45)

⃗k×E⃗ =ωµ₀H⃗ (46)

⃗k×H⃗ =−ω ⃗D (47)

folgt aus (46) und (47)

−[⃗k×(⃗k×E)] =⃗ ω² c²ϵ₀

D,⃗ (48)

−⃗k(⃗k ⃗E) +⃗k²E⃗ = ω² c²ϵ0

D⃗ (49)

mit

⃗k =



k₁ k2

k₃



=k



u₁ u2

u₃



, ∑

i

u²_i = 1.

Im Hauptachsensystem, indem

D_i =ϵ₀ϵ_iE_i (50)

gilt, resultiert die Wellengleichung

−k_i∑

j

k_jE_j +k²E_i = ω²

c²ϵ_iE_i, (51)

(ω²

c²ϵi−k² )

Ei =−ki

∑

j

kjEj. (52)

F¨ur ein isotropes Medium st¨unde auf der rechten Seite der Gleichung eine Null. Aufl¨osen nachE_i, Multiplikation mit der Komponentek_i und Summation ¨uber die Indizes ergibt schließlich die Dispersionsrelation:

E_i =− c²k_i ϵiω²−c²k²

∑

j

k_jE_j, (53)

∑

j

k_jE_j =−∑

i

c²k_i² ϵ_iω²−c²k²

∑

j

k_jE_j, (54)

1 = ∑

i

c²k²_i

c²k²−ϵ_iω² . (55)

Dies l¨asst sich darstellen als

∑

i

c²k²u²_i

c²k²−ω²ϵ_i = 1. (56)

zu (b):

Im Falle von optisch einachsigen Kristallen sind die Phasengeschwindigkeiten des or- dentlichen und außerordentlichen Strahls f¨ur aufeinander senkrecht Polarisationsrich- tungen linear polarisierten Lichts verschieden. Mit

ϵ_r =



ϵ_x 0 0 0 ϵ_y 0 0 0 ϵz



 (57)

mit ϵx =ϵy ̸=ϵz folgt f¨ur eine linear polarisierte Welle der Form

⃗k =k



 0 sin Θ cos Θ



 (58)

mit Gleichung (55), f¨ur die Phasengeschwindigkeit

⃗v_ph= sin Θ c

√ϵz

⃗e_y + cos Θ c

√ϵy

⃗e_z. (59)