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Geometrische Fibonacci-Folge 1 Worum es geht

1.1 Beispiel

Wir arbeiten mit der Matrix

Q= 0 1 1 1

!

"#

$

%&

und dem Startvektor:

f₀ = 0 1

!

"#

$

%&

Damit bilden wir die geometrische Vektorfolge:

f_n =Qⁿf₀

Die Folge f₀,…, f₈ lässt erkennen, dass die Vektoren aus den Fibonacci-Zahlen ge- bildet sind.

Fibonacci-Vektoren Die Vektoren genügen der üblichen Fibonacci-Rekursion:

f_n+2 = f_n+1+ f_n Die Figur zeigt die Vektoren f₀,…, f₄.

0 1 2 3 0

1 2 3 4 5

x y

Vektoren

Die Vektoren werden zwar immer länger, konvergieren aber gegen eine Grenzrichtung.

Da die Matrix Q regulär ist, funktioniert die Folge auch für negative Indizes. Als Bei- spiele f_!8,…, f₀:

Negative Indizes Die folgende Figur zeigt die Vektoren f_!5,…, f₄:

!3 !2 !1 1 2 3 4 5

!3

!2

!1 1 2 3 4 5

x y

Vektoren auch mit negativen Indizes

Die beiden Vektoren f_n und f_!( )_n+1 sind gleich lang und orthogonal. Der Zwischen- winkel ist alternieren ±^!₂.

Die Matrix q hat folgende Eigenwerte und Eigenvektoren:

!₁=¹⁺₂⁵ =" !₂ =^1#₂⁵ =#$

u₁= 1

"

%

&' (

)* u₂ = 1

#$

%

&' ( )*

Hier erscheint der goldene Schnitt.

Wir normieren die Vektoren f_n so, dass der obere Eintrag eine 1 wird. Beispiel:

f₅ = 5 8

!

"#

$

%& ! g₅ = 1

8 5

!

"

# $

%&

Dann gilt:

n!"lim g_n =u₁= 1

#

$

%&

'

() lim

n!*"g_n =u₂ = 1

*+

$

%&

' ()

Die Vektoren f_n nähern sich also steigungsmäßig den Eigenvektoren, werden aber be- liebig lang.

1.2 Beispiel

Wir verwenden die gleiche Matrix Q, aber den Startvektor:

f₀ = 2 1

!

"#

$

%&

Damit erhalten wir:

Anderer Startvektor

Es handelt sich hier um die Lucas-Zahlen, welche dieselbe Rekursion haben wie die Fibonacci-Zahlen. Die Rekursionsformel steckt offenbar in der Matrix Q. Die beiden Startwerte packen wir in den Startvektor.

2 Allgemein

Wir verwenden die Matrix (der Faktor 2 im Element rechts unten hat nur ästhetische Bedeutung, die Formeln werden dann einfacher)

Q= 0 1 q 2p

!

"#

$

%&

und den Startvektor:

f₀ = a₀ a₁

!

"#

$

%&

Damit bilden wir die geometrische Vektorfolge:

f_n =Qⁿf₀ Zum Vergleich verwenden wir die Rekursionsformel

a_n+2 =2pa_n+1+qa_n und die Startwerte a₀ und a₁.

Dann gilt:

f_n = a_n a_n+1

!

"#

$

%&

Beweis induktiv: Zunächst ist:

f₁=Q f₀ = 0 1 q 2p

!

"#

$

%&

a₀ a₁

!

"#

$

%& = a₁

2pa₁+qa₀

!

"#

$

%& = a₁

a₂

!

"#

$

%&

Induktionsschritt:

f_n+1=Qⁿ⁺¹f₀ =QQⁿf₀ =Q f_n = 0 1 q 2p

!

"#

$

%&

a_n a_n+1

!

"#

$

%& = a_n+1

2pa_n+1+qa_n

!

"#

$

%& = a_n+1

a_n+2

!

"#

$

%&

3 Link mit der Formel von Binet

Eine Folge mit der Rekursion a_n+2 =2pa_n+1+qa_n und den Startwerten a₀ und a₁ kann explizit dargestellt werden durch:

a_n ! _! ¹

1"!₂

" "

#

"

#

#

Dabei ist:

!₁ = !+

(

)

(

)

Beweis induktiv mit einiger Rechnung.

Wir haben also, ohne die Verwendung der Matrix Q, eine Linearkombination von zwei geometrischen Folgen mit den Basen !₁ und !₂. Diese Basen sind aber genau die Ei- genwerte der Matrix Q.