Zeige f¨ur den d’Alembert-Operator =δd:C∞(U)→ C∞(U) die Formel =−1 γ X i,j ∂ ∂xi(γgij ∂ ∂xj) =X i,j gij ∂2 ∂xi∂xj −X j (1 γ X i ∂(γgij) ∂xi

Mathematisches Institut SS 1996 der Universit¨at M¨unchen

Prof. Dr. O. Forster Blatt 10

Ubungen zur Vorlesung: Der Minkowski-Raum¨

Aufgabe 37: SeiM eine vierdimensionale Mannigfaltigkeit. Zeige:

a. Ist gR eine Riemannsche (d.h. positiv definite) Metrik auf M und ω ein kovariantes Vektorfeld aufM mitg_R^∗(ω, ω)≡1, so istgL:= 2ω⊗ω−gR eine Lorentz-Metrik aufM.

b. IstgLeine Lorentz-Metrik aufM und undω ein kovariantes Vektorfeld auf M mit g_R^∗(ω, ω)≡1, so ist gR := 2ω⊗ω−gL eine Riemannsche Metrik auf M.

Aufgabe 38: Seig=P

gijdxⁱ⊗dx^j eine (beliebig oft stetig differenzierbare) Metrik der Signatur (l, m) auf einer offenen MengeU ⊂Rⁿ.

Seiγ:=p

|det(gij)|. Zeige f¨ur den d’Alembert-Operator =δd:C^∞(U)→ C^∞(U) die Formel

=−1

γ X

i,j

∂

∂xⁱ(γg^ij ∂

∂x^j) =X

i,j

g^ij ∂²

∂xⁱ∂x^j −X

j

(1 γ

X

i

∂(γg^ij)

∂xⁱ ) ∂

∂x^j

Aufgabe 39: Man berechne den Laplace-Operator imR³in Zylinder- bzw. in Polarkoordinaten.

Aufgabe 40:Die Metrik in der Schwarzschild-Welt mit Koordinaten (t, r, ϑ, ϕ) ist wie folgt definiert:

g= (1−2M

r )dt²−(1−2M

r )⁻¹dr²−r²(dϑ²+ sin²ϑ dϕ²).

Dabei istM >0 eine Konstante (Masse des Zentralk¨orpers) undr >2M. a) Man berechne den d’Alembert-Operatorf¨ur die Schwarzschild-Metrik.

b.w.

b) Seiρ: ]2M,∞[−→Reine L¨osung der Differential-Gleichung

ρ^′(r) = 1 1−^2M_r .

Man zeige: F¨ur beliebige 2-mal stetige Funktionenf, geiner reellen Ver¨ander- lichen ist

u(t, r) :=f(t−ρ(r)) +g(t+ρ(r))

eine (nur vontundrabh¨angende) L¨osung der Wellengleichungu= 0 in der zweidimensionalen Schwarzschild-Welt.

Abgabetermin: Mittwoch, den 17.7.1996, 13.15 Uhr.