Übung 5

(1)

Quanten computing

^-

Übung

⁵

Steffen

Reith

8 . 6 ^. 2016

(2)

Enfgabetm

^:

Für _CNOT werden die

Basis

vehtoreu des 4×4

vehtorraums ^wie

folgt abgebildet

^:

Kmt ^:D

_,

t.ly?d.l:Dy:lnd:dn$

_,

denn _Ix

_,

g)

^↳

^tx

^,

_xog

⁾ ^, ^{d. h} ^10DM ^WD ^,

10,1 ) ^↳

10,1

⁾ _, 11,07N Mit ) und 11.1 ) MM , 07

Schreibt

man die

Spalten

^vchtoreu

als Matrix

_, so

ergibt

sich

die _gesuchte

^Matrix

naät ^? ! ! ! ⁾

Probe

^:

4. :& ^: :X ^: ^:D

^.^.

¥

Weiterhin gilt

^Mctuot ⁼ ^Mcnot ^und

K

.

! ! ^:D ^A. ! ! ^:D .lt :

^:O ^:b

^:D

^.

naämitär

(3)

Die _geht ^immer _, ^wenn ^nur

genau ^ein

Eintrag

pro Zeit êl Spalte êxistiert ûnd ^MT ⁼ ^M

gilt

^, ^Dann

ergibt

^sich ^nur _genau ^dann ^ein ^"¹

"

-

Eintrag

^wenn ^das

Skalar

produkt

wird

^des

^⇒

berechnet

es ⁱ ^.

ergibt

^ten ^Zeiten^sich^.

Spalten

^und^die ^Einheits ^vehtors^matrix ^.

Aufgaben

^:

Eigenschaften ^von Permutations mawizeu ^:

- es

gibt

ⁿ verschiedenen ⁿ ^. Bitvehtoreu mit

genaue-

üwr 1

⇒ allem diese Vehtoreu tauchen als Zeile 1

Spalte

einer _nxn Permutations matrix

genau

^einmal

auf

-

Das

^Skala ^r

produkt

^zweier ^Vehtoren ⁿ ^und ^v ^mit

genau êiner ¹ ûnd ^sonst ^nur ^Den îst

genau dann

1

, wenn nur

gilt

Die ite Zeile einer Matrix M wird ^zur ⁱ ^- ten

Spalte

von MT

Zusammen ^: ^Für ^M ^. MT

gilt

^aiut ^und aij ^=D ^, ^wenn

itj

(4)

0 1 ⁰

Beispiel

^- ^:

0001

0=0 _;D

^"⁰¹

_Q _Ö _Ö

^' ⁰⁰^. ^' ⁰¹ ¹⁰ ¹⁰⁰ ¹⁰⁰ ⁰⁰⁰ ⁰⁰⁰⁰

0

Q

1 0

. ⁰ ⁰

!

Da

für

Permutations mahnten M ^-^- ^RT

gilt

^,

folgt ^Mt

⁼

^Mi

^.

⇒ M ist wütär _,

Aufgabe

³ ^:

gyehtor

^addition ^"

%

^" ^Shaker multiplikation^"

Vehtorraum ( ^V _, _-1,0 ₎ ^kurz ^:

- ( ^v _, -0

)

ist kommutatiue

Gruppe

-

Distributing

^setze

Seien lmv ) _,

( nid )

^EIR^? _" Verschiebungen ^" ^, ^dann

( un ) ⁴

(

^ä _, ^v ^'

)

⁼

(

^ntä _, ^vtv ^'

)

_" ^Vehtor ^addition ^"

UR^?_, -0

)

^ist

_Gruppe

_, ^da

- x _,

ye

^R

?

, dann

xtog

^ER

? L Abgeschlossenheit

)

-

Assoziativität erfüllt

^, ^da

^I ^auf

^R

^assoziativ

-

(

_0,0

)

neutrales Element

- wenn

lauter

^? _, ^dann

(

un

) tofu

_, ^- ^v

)

⁼

⁽

^0,0

⁾

(5)

=

tu

_, ^- ^v ⁾

öluv ⁾ (

^inverses ^Element

₎

-

Iist

^kommutativ ^⇒ ⁷ ^auch ^kommutativ

Seien _a ER und

(

_un ⁾ ^ER ^? _, dann

gilt ^dokuv ⁾

^.

Kin

^, ^dir

⁾

„ Skala

multiplication

^"

Seien ^der und

laut

_, ^lüiu ^'⁾ ^ER ^? _, ^dann

gilt

holluihtolüiu

^'

) )

⁼ ^Lo

(

^hui , vor ^'

) )

=

( ^alutü

⁾ ^, ^dlvtv ^'

⁾ )

=

laut

^ai _, ^autxv ^'

)

=

Koken ⁾ ⁾ ^olaolüiu

^'

⁾ ⁾

Die

^anderen

Distributing ^du funktionieren _analog

^.

⇒ IR^? ist ein IR ^. Vehtorraum

Sei

Krieg ²

^ifcx⁾ ⁼ ^axtb ^/

^qb

^ER

^}

^.

Wenn

f.ge

^K ^mit

^fcxkaxtb

^bzw ^.

^ganz ^äxtb

^' ^, ^dann

Iftogllx ⁾ alatälxtlbtb

^'

)

_" ^vehtor

^addition

^"

und ^mit DER _sei

aoflx

⁾ ^.

^K

^.

^{a) 6)}

^tlx ^.

^b)

(6)

Gruppe ^,

abgeschlossen, assoziativ und ^kommutativ ^.

Das

neutrale Element

^ist ⁰⁶ ⁾ ^- ⁰ _" Null

fht

^"

und das Inverse zu axtb ist La ⁾ xtl ^.

b)

.

Sie DER und

figek

^mit

^fcxsaaxtb

^bzw

ga

äxtbt

^.

Dann Lolflxstgcxl ⁾

⁼ ^do

⁽ ^latä ⁾

^xtlbtb ^'

⁾ )

= L ^.

(

^atä

)

^xtxlbtb ^'

)

= aaxtaäxtabtab ^'

= a. axt

ab

⁺

xäxexb

^'

= an

flx

⁾

tag ⁶⁾

Die

^anderen

Distributing

^es ^ehe

funktionieren _analog

^,

⇒

( ^K

^, ^-0,0

⁾ ^ist

^ein ^IR ^- ^Vehtorraum

⁽

^Raum

^der

reellen linearen Funktionen

)

Sogar

^:

^FLAN )

⁼ ^" _Menge ^der ^Funktionen

f

^:

^Air

^"

und

⁾ ⁶⁾

^.

^fcxstglx 1g xof ⁾

^bzo ^.

⁽ ⁾ ⁶⁾

⁼

^afcx

⁾

"

punhtweise

^Addition

/

^Skalar

multiplication

^" ^,

^wobei

^x ^EK

(

^k ^ist ^ein _Körper

)

_, dann

ist FCAH

^ein

^K

^- ^Vehtorraum

(7)

Man könnte z.B. ^die

stetiges

^Fnt

f

^: ^IR ^→ ^R ^betrachten ^,

Polyone

^{über IR} ^oder

formale

Potenz reihen.

Übung 5

Quanten computing

Übung

Reith

Enfgabetm

Basis

folgt abgebildet

Kmt :D

t.ly?d.l:Dy:lnd:dn$

denn Ix

g)

tx

xog

10,1

Schreibt

Spalten

als Matrix

ergibt

die gesuchte

naät ? ! ! ! )

Probe

4. :& : :X : :D

¥

Weiterhin gilt

K

! ! :D A. ! ! :D .lt :

:D

naämitär

Eintrag

gilt

ergibt

Eintrag

produkt

des

berechnet

ergibt

Spalten

Aufgaben

gibt

Spalte

genau

auf

Das

produkt

genau dann

gilt

Spalte

gilt

itj

Beispiel

0001

0=0 ;D

Q Ö Ö

Q

!

für

gilt

folgt Mt

Mi

Aufgabe

gyehtor

%

)

Gruppe

Distributing

( nid )

(

)

(

)

)

Gruppe

ye

xtog

)

Assoziativität erfüllt

I auf

assoziativ

(

)

Kmt ^:D

denn _Ix

^tx

_xog

die _gesuchte

naät ^? ! ! ! ⁾

4. :& ^: :X ^: ^:D

! ! ^:D ^A. ! ! ^:D .lt :

^:D

^des

0=0 _;D

_Q _Ö _Ö

folgt ^Mt

^Mi

_Gruppe

^I ^auf

^assoziativ

⁽

⁾

öluv ⁾ (

₎

gilt ^dokuv ⁾

⁾

( ^alutü

⁾ )

Koken ⁾ ⁾ ^olaolüiu

⁾ ⁾

Distributing ^du funktionieren _analog

Krieg ²

^qb

^}

^fcxkaxtb

^ganz ^äxtb

Iftogllx ⁾ alatälxtlbtb

^addition

^K

^{a) 6)}

^b)

^fcxsaaxtb

Dann Lolflxstgcxl ⁾

⁽ ^latä ⁾

⁾ )

tag ⁶⁾

funktionieren _analog

( ^K

⁾ ^ist

⁽

^der

^FLAN )