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6.1.1 Skalar- und Vektorfelder

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Academic year: 2021

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6.1 Differentiation

6.1.1 Skalar- und Vektorfelder

Skalarfeld

R

3

3 P 7→ U (P ) ∈ R alternative Schreibweisen: U = U (x, y, z) = U (~r)

Visualisierung durch Niveaumengen oder Einschr¨ankungen auf achsenparallele Ebenen Vektorfeld

R

3

3 P 7→ F ~ (P ) ∈ R

3

alternative Schreibweisen: F ~ = F ~ (x, y, z) = F ~ (~r)

Komponenten bzgl. eines kartesischen Koordinatensystems: F

x

, F

y

, F

z

Visualisierung als Richtungsfeld oder mit Hilfe von Feldlinien Vektorfelder in Polarkoordinaten

auf den Punkt (x, y) = (r cos ϕ, r sin ϕ) bezogene orthonormale Basis

~e

r

=

 

 cos ϕ sin ϕ

 

 , ~e

ϕ

=

 

− sin ϕ cos ϕ

 

Darstellung

F ~ (x, y) = F ~ (r, ϕ) = F

r

~e

r

+ F

ϕ

~e

ϕ

, F

r

= F ~ · ~e

r

, F

ϕ

= F ~ · ~e

ϕ

ϕ r

~e

ϕ

~e

r

x y

119

(2)

Vektorfelder in Zylinderkoordinaten

auf den Punkt (x, y, z) = (% cos ϕ, % sin ϕ, z) bezogene orthonormale Basis

~e

%

=

 

 

 

 cos ϕ sin ϕ

0

 

 

 

, ~e

ϕ

=

 

 

 

− sin ϕ cos ϕ

0

 

 

 

, ~e

z

=

 

 

 

 0 0 1

 

 

 

Darstellung

F ~ (x, y, z) = F ~ (%, ϕ, z) = F

%

~e

%

+ F

ϕ

~e

ϕ

+ F

z

~e

z

mit

F

%

= F ~ · ~e

%

, F

ϕ

= F ~ · ~e

ϕ

, F

z

= F ~ · ~e

z

O

x-Achse

y-Achse z-Achse

P

ϕ

̺

z

~e

̺

~e

ϕ

~e

z

Vektorfelder in Kugelkoordinaten

auf den Punkt (x, y, z) = (r cos ϕ sin ϑ, r sin ϕ sin ϑ, r cos ϑ) bezogene orthonormale Basis

~e

r

=

 

 

 

cos ϕ sin ϑ sin ϕ sin ϑ cos ϑ

 

 

 

, ~e

ϑ

=

 

 

 

cos ϕ cos ϑ sin ϕ cos ϑ

− sin ϑ

 

 

 

, ~e

ϕ

=

 

 

 

− sin ϕ cos ϕ

0

 

 

 

Darstellung

F ~ (x, y, z) = F ~ (r, ϑ, ϕ) = F

r

~e

r

+ F

ϑ

~e

ϑ

+ F

ϕ

~e

ϕ

mit

F

r

= F ~ · ~e

r

, F

ϑ

= F ~ · ~e

ϑ

, F

ϕ

= F ~ · ~e

ϕ

120

(3)

x-Achse

y-Achse z-Achse

P ϕ

ϑ r

~e

r

~e

ϑ

~e

ϕ

121

Referenzen

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