Pool für das Jahr 2021

Gemeinsame Abituraufgabenpools der Länder

Pool für das Jahr 2021

Aufgaben für das Fach Mathematik

Kurzbeschreibung

Anforderungsniveau Prüfungsteil Sachgebiet¹ digitales Hilfsmittel

erhöht B Analysis CAS

1 Aufgabe

BE

1 Gegeben sind die in IR definierten Funktionen f : x_a −₂₅₀^a x⁴+ ₂₅¹ x³ mit a IR∈ ⁺ sowie g : x_a f x_a

( )

−³₅x. Die Abbildung 1 zeigt den Graphen von g . ₁

Abb. 1 a Berechnen Sie für den Graphen von f die Koordinaten der Schnittpunkte mit den ₁

Koordinatenachsen sowie die Koordinaten des Extrempunkts. Zeichnen Sie den Graphen von f in die Abbildung 1 ein. ₁

6

b Geben Sie an, für welche Werte von x der Graph von f oberhalb des Graphen ₁

von g verläuft und für welche unterhalb. Begründen Sie Ihre Angabe. ₁ 3

1 verwendete Abkürzungen: AG/LA - Analytische Geometrie/Lineare Algebra, AG/LA (A1) - Analytische Geomet-

1 Aufgabe

c Für jeden Wert von a gilt:

I Die Funktionsterme von f und _a g unterscheiden sich nur um den Sum-_a manden −³₅x.

II Der Graph von f hat genau zwei Wendepunkte, deren x-Koordinaten 0 _a und ⁵_a sind.

Geben Sie an, was sich aus I und II hinsichtlich der Anzahl und der Lage der Wen- depunkte des Graphen von g im Vergleich zu den Wendepunkten des Graphen _a von f folgern lässt. Begründen Sie Ihre Angabe ausgehend von I und II. _a

5

Die Tangente t an den Graphen von _f f im Punkt _a

(

⁵a| f^a

( )

⁵a

)

hat die Steigung 12

a , die Tangente t an den Graphen von _g g im Punkt _a

(

⁵a| g^a

( )

⁵a

)

die Steigung 5 3a2²

5a

− . Der Schnittpunkt dieser beiden Tangenten wird mit S bezeichnet.

d Weisen Sie nach, dass S für jeden Wert von a auf der y-Achse liegt. 3 e Die Gerade mit der Gleichung x=⁵_a schneidet t im Punkt F und _f t im Punkt G. _g

Untersuchen Sie, für welche Werte von a IR∈ ⁺ das Dreieck SGF rechtwinklig ist. 6 2 Die Abbildung 2 zeigt schematisch die Profillinie des Längsschnitts einer Skipiste in

einer Skihalle. Die Piste ist in Querrichtung nicht geneigt und durchgehend 30 m breit.

Abb. 2

Die Profillinie wird für 0 x 41,5≤ ≤ modellhaft durch den Graphen der in IR definier- ten Funktion p : x−0,000004x⁴ +0,015x²−0,1x 0,1875+ dargestellt. Im verwen- deten Koordinatensystem beschreibt die x-Achse die Horizontale; eine Längenein- heit im Koordinatensystem entspricht 10 m in der Realität.

a Berechnen Sie die Größe des größten Neigungswinkels der Piste gegenüber der

Horizontalen. 4

Über der Piste verläuft in deren Längsrichtung ein Seil. Die beiden Enden des Seils werden im Modell durch A 5 | 2,31 und

( )

B 37 |10,68 dargestellt; der Verlauf des

( )

Seils kann mithilfe einer in IR definierten Funktion h : xb c⋅ ^x mit b,c IR∈ ⁺ be- schrieben werden.

b Bestimmen Sie die Werte von b und c.

(zur Kontrolle: b 1,818 , ≈ c 1,049 ) ≈ 2 c Untersuchen Sie, in welchen Bereichen der vertikale Abstand des Seils zur Piste

mindestens 3 m beträgt. Ermitteln Sie die Höhendifferenz, um die die beiden En- den des Seils gemeinsam mindestens angehoben werden müssten, damit das Seil

6

2 Erwartungshorizont

d Die Abbildung 3 zeigt grau markiert die Schneeauflage im unteren Bereich der Piste; dazu wurde die Abbildung 2 in Richtung der y-Achse stärker vergrößert als in Richtung der x-Achse. Der Untergrund, auf dem der Schnee aufgebracht ist, wird für 0 x 5≤ ≤ durch die x-Achse dargestellt. Für den übrigen Teil der Piste soll davon ausgegangen werden, dass die in vertikaler Richtung gemessene Schnee- höhe 60 cm beträgt.

Abb. 3 Bestimmen Sie das Volumen der Schneeauflage der gesamten Piste.

5

40

2 Erwartungshorizont

Der Erwartungshorizont stellt für jede Teilaufgabe eine mögliche Lösung dar. Nicht dargestellte korrekte Lösungen sind als gleichwertig zu akzeptieren.

BE

1 a f x₁

( )

= ⇔ = ∨ =0 x 0 x 10

Die Schnittpunkte mit den Koordinaten- achsen sind

(

0 | 0 und

) (

10 | 0 .

)

( )

¹⁵

1 2

f x′ = ⇔ = ∨ =0 x 0 x ; ^f_{1 2}^′′

( )

^{15 ≠0,}

( )

^{15 135}

1 2 32

f =

Der Extrempunkt ist

(

^{15 135}₂ ^| ₃₂

)

^.

6

b Für x 0< gilt −³₅x 0> , der Graph von f verläuft also unterhalb des Graphen von ₁ g , für x 01 > gilt −³₅x 0< , der Graph von f verläuft also oberhalb des Graphen ₁ von g . ₁

3

c Der Graph von g hat die gleiche Anzahl von Wendepunkten wie der Graph _a von f . Die x-Koordinaten der Wendepunkte des Graphen von _a g stimmen mit de-_a nen der Wendepunkte des Graphen von f überein; nur für x 0_a = gilt dies auch für die y-Koordinate.

Begründung: Wegen I gilt f x_a′′

( )

=g x_a′′

( )

. Mit II ergibt sich: Der Graph von g hat _a ebenfalls genau zwei Wendepunkte, deren x-Koordinaten 0 und ⁵_a sind; wegen

35x 0 x 0

− = ⇔ = haben f und _a g nur für x 0_a = den gleichen Funktionswert.

5

3 Standardbezug

d t wird durch die Gleichung _f 12 53

a 2a

y= x− beschrieben, t durch die Gleichung _g

2

2 3

5 3a 5

5a 2a

y= ⁻ x− . Damit schneiden beide Tangenten die y-Achse im Punkt

(

^{0 |−}_2a⁵³

)

^.

3

e Für die Steigung von t gilt _{f a}¹₂ >0 für alle a IR∈ ⁺, d. h. im Eckpunkt F kann kein rechter Winkel auftreten. Wegen 3a 5 1²2 2

5a⁻ a 1

− ⋅ ≠ − für alle a IR∈ ⁺ gilt dies auch für den Eckpunkt S. Im Eckpunkt G liegt für a IR∈ ⁺ genau dann ein rechter Winkel vor, wenn 3a 5²2 1

5a⁻ 0 a 3 15

− = ⇔ = .

6

2 a Der Abbildung 2 ist zu entnehmen, dass der Punkt der Profillinie, in dem deren Steigung am größten ist, zwischen den beiden Endpunkten liegt.

Für 0 x 41,5< < gilt p x′′

( )

= ⇔ =0 x 25. tanφ p 25= ′

( )

liefert φ 22≈ °.

4

b b c⋅ ⁵ =2,31 und b c⋅ ³⁷ =10,68 liefern b 1,818≈ und c 1,049≈ . 2 c Der vertikale Abstand des Seils zur Piste kann für jeden Punkt der Profillinie mit-

hilfe der Funktion d mit d x

( )

=h x p x

( ) ( )

− angegeben werden.

Für 5 x 37≤ ≤ _liefert d x

( )

≥0,3 für die gesuchten Bereiche im Modell 5 x x≤ ≤ ₁ mit x1≈27,3 sowie x₂ ≤ ≤x 37 mit x₂≈32,6.

Für x₁< <x x₂ gilt d x′

( )

= ⇔ =0 x x₃ mit 0,3 d x−

( )

₃ ≈0,11. Die Enden des Seils müssten also um etwa 1,1 m angehoben werden.

6

d ⁵

( )

^41,5

( ( ( ) ) )

0 5

p x dx p(x) p x 0,06 dx 10 10 30 7500

 

 + − − ⋅ ⋅ ⋅ =

 



∫ ∫



Das Volumen der Schneeauflage beträgt 7500m . ³

5

40

3 Standardbezug

Teilauf-

gabe BE allgemeine mathematische Kompetenzen Anforderungsbereich

K1 K2 K3 K4 K5 K6 I II III

1 a 6 I I I X

b 3 II I X

c 5 II I II X

d 3 I II II X

e 6 III III II II X

2 a 4 I I II I X

b 2 I X

4 Bewertungshinweise

4 Bewertungshinweise

Die Bewertung der erbrachten Prüfungsleistungen hat sich für jede Teilaufgabe nach der am rechten Rand der Aufgabenstellung angegebenen Anzahl maximal erreichbarer Bewertungs- einheiten (BE) zu richten.

Für die Bewertung der Gesamtleistung eines Prüflings ist ein Bewertungsraster² vorgesehen, das angibt, wie die in den Prüfungsteilen A und B insgesamt erreichten Bewertungseinheiten in Notenpunkte umgesetzt werden.

2 Das Bewertungsraster ist Teil des Dokuments „Beschreibung der Struktur“, das auf den Internetseiten des IQB