Wirtschaftsmathematik Seminar 19 1
Wirtschaftsmathematik
Seminar 19: Iterative Nullstellenbestimmung
Allgemeine Voraussetzung:
) (x f
f = ist eine in [a, b] stetige Funktion mit f a f b( )⋅ ( ) 0< . Bisektionsverfahren (Intervallschachtelung)
Start: Setze [a1,b1] = [a,b]. O. B. d. A. sei f(a)<0.
(Bei f (a) = 0 fertig; ist f(a) >0, so ersetze f furch –f )
Iteration (für k = 1,2,...):
: k 2 k
k
b
m a +
= .
Falls f (mk) = 0, so fertig; mk ist Nullstelle.
Falls f (mk) < 0: Setze ak+1 = mk und bk+1 =bk. Falls f (mk) > 0: Setze ak+1 = ak und bk+1 = mk.
Abbruch: wenn bk −ak <ε , wobei ε eine vorgegebene Genauigkeit ist. Wähle mk als Näherungslösung der Nullstelle.
S19
f(x)
b2
a1 m1 x
ξ f(b1)
f(a1)
f(x)
b1
a2 m2
Wirtschaftsmathematik Seminar 19 2
Regula falsi (Sekantenverfahren)
Start: Setze [a1,b1] = [a,b]. O. B. d. A. sei f(a)<0.
(Bei f (a) = 0 fertig; ist f(a) >0, so ersetze f furch –f )
Iteration (für k = 1,2,...):
) ( ) (
) ( )
: (
k k
k k k
k
k f b f a
a f b b
f m a
−
= − .
Falls f (mk) = 0, so fertig; mk ist Nullstelle.
Falls f (mk) < 0: Setze ak+1 = mk und bk+1 =bk. Falls f (mk) > 0: Setze ak+1 = ak und bk+1 = mk.
Abbruch: wenn f(mk) <ε, wobei ε eine vorgegebene Genauigkeit ist. Wähle mk als Näherungslösung der Nullstelle.
f(x)
b2
a1 m1 x
ξ f(b1)
f(a1)
f(x)
b1
a2 m2
f(a2)
Wirtschaftsmathematik Seminar 19 3
NEWTON-Verfahren (Tangentenverfahren) Zusätzliche Voraussetzung:
) (x f
f = ist im Intervall [a,b] differenzierbare Funktion mit 0
) ( )
(a ⋅ f b <
f (an Intervallenden einseitig differenzierbar).
Start: Wähle x1 Œ [a,b]. O. B. d. A. sei f′(x1) ≠ 0. (sonst x1 etwas verschieben)
Iteration (für k = 1,2,...):
) (
) : (
1
k k k
k f x
x x f
x + = − ′ .
(Falls f′(xk)= 0, sonst xk etwas verschieben)
Abbruch: wenn f(mk) <ε, wobei ε eine vorgegebene Genauigkeit ist. Wähle mk als Näherungslösung der Nullstelle.
f(x)
x2 x
ξ f(x1)
f(x2)
f(x)
x3 x1
Wirtschaftsmathematik Seminar 19 4
Aufgaben:
1. Gegeben sei die (überall stetige und differenzierbare) Funktion 1
3 )
(x = x2e−x −
f . Bestimmen Sie eine Nullstelle im Intervall [0,1]
a) mittels Bisektion!
b) mittels Regula Falsi!
c) mittels NEWTON-Verfahren (Startwert selbst wählen)!
Versuchen Sie diesmal, durch verschiedene Startwerte alle Nullstellen von f zu finden!
2. Gleiche Aufgabe wie 1., diesmal aber mit dem Polynom
4 3
( ) 5 20 16
f x = x − x + x− .
3. Beweisen Sie die Iterationsformel der Regula falsi!
Gehen Sie dabei von der geometrischen Interpretation für mk als Nullstelle der Sekante aus!
