Algorithmen und Komplexität Übungsblatt 7

ETH Zürich

Institut für Theoretische Informatik

Prof. Dr. Angelika Steger, Dr. Johannes Lengler Übungsleitung: Florian Meier

HS 2019 Abgabe 05.11.2019

Algorithmen und Komplexität Übungsblatt 7

Peer-Grading: Aufgabe 1

Korrektur durch die Assistenten: Aufgaben 2 und 3

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Aufgabe 1

Der MarsroborterCuriositylandet bei einer StartpositionSund will eine ZielpositionZerreichen, die sichnSchritte weiter südlich (unten) undnSchritte weiter östlich (rechts) befindet. Um Ener- gie zu sparen, darf Curiosity nur Schritte nach Süden und Osten machen (dann erreicht er das Ziel in 2nSchritten). Gleichzeitig soll er möglichst Wertvolle Gesteinsproben sammeln. Die Werte der Gesteinsproben sind in einer(n+1)×(n+1)Matrix Agegeben (a1,1 ist der Wert der Pro- be inS unda_n+1,n+1 der Wert der Probe inZ). Entwerfe einen Algorithmus, der in O(n²) _den maximal möglichen Wert der gesammelten Proben entlang eines erlaubtenS-Z-Pfades bestimmt.

Zusätzlich soll er den Pfad ausgeben.

Aufgabe 2

Gegeben eine Sequenz verschiedener Zahlen x₁, . . . ,xn. Durch auslassen einiger x_i erhält man eine Teilsequenz. Geben Sie einen Algorithmus an, der in ZeitO n²

eine längste monoton stei- gende Teilsequenz einer gegebenen Sequenzx₁, . . . ,xnbestimmt.

Aufgabe 3

Aus der Vorlesung kennen Sie das RUCKSACKPROBLEM:

Gegeben sind eine Kapazität B ∈ _NundnObjekte mit Gewichtenw₁, . . . ,wn ∈ _N und Profitenp₁, . . . ,pn ∈_N.

Gesucht ist einI⊆ {1, . . . ,n}mit∑i∈Iw_i ≤Bund

∑

p_i=maxn

i∈I

∑

p_i| I⁰⊆ {1, . . . ,n}mit

∑

i∈I⁰

w_i ≤Bo .

Wir nehmen hier zusätzlich an, dass die Gewichte beschränkt sind:w_i ≤n²für allei. Beachten Sie, dass die Profite unbeschränkt sind!

(a) Formulieren Sie einen Algorithmus, der in polynomieller Zeit den Wert∑i∈Ip_ieiner optima- len Lösung berechnet und beweisen Sie die Korrektheit des Algorithmus.

(b) Wie muss Ihr Algorithmus modifiziert werden, um auch die LösungIzu berechnen?

A

H

V

05.11.2019.

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