Alle Ergebnisse aus Vorlesung/Übung dürfen verwendet werden.

(1)

Klausur Mathematik f¨ur Ingenieure C3, Bachelor WiSe ’16/’17 Mittwoch, 04.10.2017

Prof. Dr. S. Kr¨autle Dauer: 90 min

Alle Ergebnisse aus Vorlesung/ ¨Ubung d¨urfen verwendet werden.

A1) (Extremwertaufgabe ohne Nebenbedingungen)

Wir betrachten die folgende Funktion f : R×R⁺ →R, (x, y) 7→f(x, y):

f(x, y) := e^x²⁻^2x+y² −lny

a) Berechnen Sie den Gradienten und die Hesse-Matrix von f. b) Ist f konvex? (kurze Begr¨undung erforderlich)

c) Bestimmen Sie (sofern existent) – alle lokalen Minimalstellen, – alle lokalen Maximalstellen von f auf R×R⁺.

Bemerkung: Es ist nichtgefordert, den/die zugeh¨origen Extremwerte aus- zurechnen.

d) (i) Hat f eine globale Maximalstelle?

(ii) Hat f eine globale Minimalstelle?

(Jeweils Antwort ’ja’ oder ’nein’ reicht, keine Begr¨undung erforderlich) Zur Erinnerung: Eine Stelle (x₀, y₀)∈D_f⊆R² heißt globale Maximalstelle von f : D_f → R, falls f(x₀, y₀) ≥ f(x, y) f¨ur alle (x, y)∈D_f.

(3+1+2+2=8 Punkte)

A2) (Extremwertaufgabe mit Nebenbedingungen) F¨ur die auf R² definierte Funktion

f(x, y) := x²y³

finden Sie das Maximum und das Minimum unter der Nebenbedingung x² + 3y² = 5.

Hinweis: Ein Vorschlag zum L¨osen des Lagrange-Systems: Multiplizieren Sie eine der Gleichungen mit xund eine der Gleichungen mit einem Vielfachen von y, so dass Sie anschließend per Differenzbildung den Lagrange-Parameterλ eliminieren k¨onnen.

(8 Punkte)

(2)

A3) (Fixpunktsatz)

Sei a∈R⁺ vorgegeben. Wir interessieren uns f¨ur L¨osungen x der Gleichung 1 + 1

a x⁵ = x (∗) auf dem Intervall

M := [0,2].

Obige Gleichung (*) hat offensichtlich Fixpunktform f(x) =x mit f(x) := 1 + 1

ax⁵.

Im folgenden soll u.a. untersucht werden, ob der Fixpunktsatz von Banach anwendbar ist.

a) Zeigen Sie, dass f, sofern a hinreichend groß ist, auf dem Intervall M eine Selbstabbildung ist: f(M)⊆M.

Wie groß muss a dazu mindestens sein?

b) Zeigen Sie, dass f, sofern a hinreichend groß ist, auf dem Intervall M eine Kontraktion ist. Wie groß muss a dazu mindestens sein?

c) F¨uhren Sie f¨ur obiges Problem (*) und a := 100 und Startwert x₀ := 0 die ersten zwei Schritte einer Fixpunktiteration durch.

d) Alternativ zu c) kann man das Problem (*) auch mittels Newton-Verfahren l¨osen. Stellen Sie die Iterationsvorschrift zum L¨osen von (*) per Newton- Verfahren auf.

(2+2+2+2=8 Punkte)

A4) (Differentialgleichungen)

a) Berechnen Sie die L¨osung y(t) des Anfangswertproblems y⁰ = 1 +t

y ·exp(y²), y(0) = −1.

b) (i) Berechnen Sie alle L¨osungen der Differentialgleichung y⁰⁰⁰ −y⁰⁰ −y⁰ +y = 0. (#)

(ii) Geben Sie diejenige(n) L¨osung(en) von (#) an, die die Anfangsbedin- gung y(0) = 0 erf¨ullen.

(4+4=8 Punkte)

**** **** Bitte wenden **** ****

(3)

A5) (Algebra)

a) Geben Sie (falls existent) die Inversen (bzgl. Multiplikation) der folgenden Elemente an:

[4]₁₁, [4]₅, [4]₈ b) Geben Sie die Elemente der Gruppe Z^∗12 an.

c) Ist (Z⁴⁹\{[0]₄₉}, ·) eine Gruppe? (kurze Begr¨undung erforderlich) d) Ist (Z⁴⁹\{[0]₄₉},+) eine Gruppe? (kurze Begr¨undung erforderlich)

e) Stellen Sie die vom Element [4]₇ erzeugte Untergruppe der Gruppe Z^∗7 auf.

f) Warum kann die Gruppe (Z⁶×Z⁴,+) keine 10-elementige Untergruppe haben?

(3+1+1+1+1+1=8 Punkte) (Summe: 40 Punkte)

(4)

Klausur Mathematik f¨ur Ingenieure C3, Bachelor WiSe ’16/’17 Donnerstag, 13.04.2017

Wir betrachten die folgende Funktion f : R² → R, (x, y) 7→f(x, y):

f(x, y) := 2

x− 3 4

2

+ 5y² − x³ 3 − y³

3

a) Berechnen Sie alle station¨aren Punkte (=die kritischen Stellen) von f. b) Bestimmen Sie, welche der station¨aren Punkte lokale Maximalstellen

und welche lokale Minimalstellen sind.

Bemerkung: Es ist nicht gefordert, die zugeh¨origen Extremwerte auszu- rechnen.

c) Hat f eine globale Maximalstelle? (’ja’ oder ’nein’ reicht, keine Be- gr¨undung erforderlich)

Zur Erinnerung: Eine Stelle (x₀, y₀)∈R² heißt globale Maximalstelle von f :R² → R, falls f(x₀, y₀) ≥ f(x, y) f¨ur alle (x, y)∈R².

(3+3+1=7 Punkte)

A2) (Extremwertaufgabe mit Nebenbedingungen) F¨ur die auf dem R³ definierte Funktion

f(x, y, z) := x² +y

finden Sie das Maximum und das Minimum unter der Nebenbedingung x² + y² +z² = 1.

Hinweis: Vorschlag zum L¨osen des Lagrange-Systems: Machen Sie eine Fall- unterscheidung, basierend auf einer Ihrer Gleichungen, die die Form ”Produkt ist gleich null” hat.

(8 Punkte)

(5)

A3) (Fixpunktsatz)

Wir interessieren uns f¨ur L¨osungen der Gleichung e^−x+e^−x² = 4x (∗) auf dem Intervall

M := [0,1].

Dazu bringen wir diese Gleichung auf die Fixpunktform f(x) =x mit f(x) := 1

4(e^−x+e^−x²).

a) Zeigen Sie, dass f auf dem Intervall M eine Selbstabbildung ist:

f(M)⊆M

b) Zeigen Sie, dass f auf dem Intervall M eine Kontraktion ist. Geben Sie eine Kontraktionskonstante k an.

c) Wie viele L¨osungen hat die Gleichung (*) im Intervall M? (kurze Be- gr¨undung)

(2+2+1=5 Punkte) A4) (Differentialgleichungen)

a) Berechnen Sie die L¨osung des Anfangswertproblems y⁰(t) = e^t

2 + 2y(t), y(0) = 1.

b) Berechnen Sie die allgemeine L¨osung der inhomogenen linearen Differen- tialgleichung

y⁰(t) = y(t) + e^2t +e^tcost .

c) Bestimmen Sie ein Fundamentalsystem f¨ur das Differentialgleichungs- system

~y⁰(t) =A ~y(t) mit A:=

5 1

−1 3

.

Zur Kontrolle: Der/Die Eigenwert(e) von A ist/sind ganzzahlig.

(4+3+4=11 Punkte)

**** **** Bitte wenden **** ****

(6)

A5) (Algebra)

a) Berechnen Sie (falls existent) die Inversen in (Zⁿ,·). Falls ein Inverses nicht existiert, begr¨unden Sie dies kurz:

[5]30, [3]26, [1]7

b) (i) Zeigen Sie: Im Ring (Zⁿ,+,·) ist [a]_n ist zu [b]_n genau dann invers (bzgl. Multiplikation), wenn [n−a]_n zu [n−b]_n invers ist.

(ii) Verwenden Sie die Aussage von b), um [996]⁻¹₉₉₇ zu berechnen.

c) Wir betrachten die Pr¨ufgleichung

4

X

i=1

g_id_i ≡ 0 (mod 25)

f¨ur den Datensatz (d₁, d₂, d₃|d₄) mit den Gewichten g₁, g₂, g₃, g₄.

(i) Sind bei der Wahl (g₁, g₂, g₃, g₄) := (8,1,2,1) sowohl Einzelfehler als auch Nachbarvertauschungsfehler jeweils sicher erkennbar? (Be- gr¨undung)

(ii) Geben Sie g₁, g₂, g₃, g₄ ∈ {1,2, ...,24} an, so dass sowohl jeder Ein- zelfehler als auch jeder beliebige Vertauschungsfehler sicher erkannt wird (mit kurzer Erl¨auterung).

(3+3+3=9 Punkte) (Summe: 40 Punkte)

(7)

Klausur Mathematik f¨ur Ingenieure C3, Bachelor WiSe ’15/’16 Mittwoch, 05.10.2016

Jede Teilaufgabe erfordert eine Rechnung oder Begr¨undung; es sei denn, die Aufgabenstellung besagt ausdr¨ucklich, dass das nicht erforderlich ist.

Wir betrachten die folgende Funktion f : R² → R, (x, y) 7→ f(x, y), die von einem Parameter α ∈ R\{0} abh¨angt:

f(x, y) := (x² + α y)e^y

a) Berechnen Sie (in Abh¨angigkeit von α ∈ R\ {0}) den Gradienten und die Hesse-Matrix von f.

b) Bestimmen Sie (in Abh¨angigkeit von α ∈ R\{0}) den station¨aren Punkt (=die kritische Stelle) von f.

Bemerkung: Es gibt genau einen.

c) (i) Bestimmen Sie die Menge aller α6= 0, f¨ur die f eine lokale Minimal- stelle besitzt.

(ii) Gibt es α6= 0, f¨ur das f eine lokale Maximalstelle hat?

(Begr¨undung?)

(3+1+3=7 Punkte)

A2) (Extremwertaufgabe mit Nebenbedingungen) Finden Sie das Maximum und das Minimum der Funktion

f(x, y) := x y² unter der Nebenbedingung

x² +y² = 3.

(6 Punkte)

(8)

a) Berechnen Sie die L¨osung des Anfangswertproblems y⁰(t) =e^−2y(t) cost , y(0) = 1

2.

b) Bestimmen Sie die allgemeine L¨osung der folgenden linearen Differenti- algleichung vierter Ordnung:

y⁰⁰⁰⁰ −9y⁰⁰ = 0

c) Bestimmen Sie ein Fundamentalsystem f¨ur das Differentialgleichungs- system

~

y⁰(t) =A ~y(t) mit A :=





2 1 1

0 3 −1 0 −1 3



 .

(4+2+7=13 Punkte)

A4) (Algebra)

a) Wie allgemein ¨ublich statten wir Zⁿ = {[0]_n, ...,[n−1]_n} mit der Multi- plikation modulo n aus.

(i) Welche der folgenden Elemente besitzen ein Inverses?

[2]₁₇,[1]₁₉,[3]₃₆,[14]₃₆

Hinweis: Kurze Begr¨undung erforderlich. Angabe der Inversen ist nicht erforderlich.

(ii) Berechnen Sie [7]⁻¹₉ .

(iii) Geben Sie alle Elemente der multiplikativen Gruppe Z^∗9 an.

Hinweis: Angabe des Ergebnisses reicht.

(iv) Wie viele Elemente hat die multiplikative Gruppe Z^∗168?

b) Es sei (G,∗) eine Gruppe mit 4 Elementen: G= {e, a, b, c}, wobei e das neutrale Element sei. Ferner sei bekannt, dass a⁻¹ = a und b⁻¹ = b.

Berechnen Sie a∗a∗a und a∗b.

Hinweis: Jeweils Rechnung oder Begr¨undung erforderlich.

(2+2+1+2+2=9 Punkte) (Summe: 35 Punkte)

(9)

Klausur Mathematik f¨ur Ingenieure C3, Bachelor WiSe ’15/’16 Montag, 04.04.2016

Jede Teilaufgabe erfordert eine Rechnung oder Begr¨undung.

A1) (Extremwertaufgabe mit Nebenbedingungen) Finden Sie das Maximum und das Minimum der Funktion

f(x, y) := x² + xy+ y² +x unter der Nebenbedingung

x² +y² = 1. Hinweis:

Ein Vorschlag zum L¨osen des Lagrange-Systems: Multiplizieren Sie eine der Gleichungen mit x und eine der Gleichungen mit y, so dass Sie anschließend per Differenzbildung den Lagrange-Parameter λ eliminieren k¨onnen.

(7 Punkte)

A2) (Kurvenintegral)

Wir betrachten die Kurve Γ mit der Parametrisierung

~γ(t) :=

cost sint

, t ∈

−^π₂,+^π₂ .

Ferner sei das Vektorfeld

V~(x, y) := (x² +y²)y x² + 2x+y²

!

gegeben. Berechnen Sie das Kurvenintegral zweiter Art Z

Γ

V~ ·d~s .

Hinweis: Sie d¨urfen verwenden:

+^π₂

Z

−^π₂

cos²t dt=

+^π₂

Z

−^π₂

sin²t dt = π 2

(5 Punkte)

(10)

A3) (Lokale Aufl¨osungsfunktionen, lokale Umkehrfunktionen) a) Sei

f(x, y) := 2e^x−y −(x² +y²).

(i) Berechnen Sie die partiellen Ableitungen ∂₁f(x, y), ∂₂f(x, y).

(ii) Es sei x₀ := 1, y₀ := 1.

Es ist offensichtlich f(x₀, y₀) = 2·e⁰ −(1 + 1) = 0, d.h. der Punkt (x₀, y₀) liegt auf der Kurve, die durch die Gleichung

f(x, y) = 0 (∗) beschrieben wird.

Untersuchen Sie, ob man mit dem Satz ¨uber implizite Funktionen an der Stelle (x₀, y₀) darauf schließen kann, dass

(I.) die Gleichung (*) lokal nach y aufl¨osbar ist, es also eine lokale Aufl¨osungsfunktionktion y = y(x) gibt;

(II.) die Gleichung (*) lokal nach x aufl¨osbar ist, es also eine lokale Aufl¨osungsfunktionktion x = x(y) gibt.

b) Sei g : R² → R² definiert durch g(x, y) :=

e^x+e^−y e^x+y

. (i) Berechnen Sie die Jacobi-Matrix J g(x, y).

(ii) Zeigen Sie, dass g : R² → R² an jeder Stelle (x₀, y₀) ∈ R² lokal umkehrbar ist, dass es also eine Umgebung D von (x₀, y₀) gibt, so dass g|_D : D →g(D) eine Umkehrfunktion hat.

(3 + 4 = 7 Punkte) A4) (Differentialgleichungen)

a) Berechnen Sie die L¨osung des Anfangswertproblems y⁰(t) = t²y(t)

(lny(t))² , y(1) = e .

b) Bestimmen Sie ein Fundamentalsystem f¨ur das Differentialgleichungs- system

~y⁰(t) =A ~y(t) mit A:=

1 −1 4 5

.

(4+5=9 Punkte)

**** **** Bitte wenden **** ****

(11)

A5) (Algebra)

a) (i) Geben Sie die vom Element [8]₂₀ erzeugte Untergruppe der additiven Gruppe (Z²⁰,+) an.

(ii) Geben Sie das Inverse von [8]₂₀ in (Z²⁰,+) an.

b) (i) Geben Sie die vom Element [7]₂₀ erzeugte Untergruppe der multiplikativen Gruppe (Z^∗20,·) an.

(ii) Geben Sie das Inverse von [7]₂₀ in (Z^∗20,·) an.

c) Hat die multiplikative Gruppe (Z^∗150,·) eine Untergruppe mit genau 25 Elementen? Warum bzw. warum nicht?

d) Ist die folgende Behauptung ¨uber (Z⁵,+,·) wahr oder falsch?

“ F¨ur alle [a]₅,[b]₅ ∈ Z⁵ gilt: ([a]₅ + [b]₅)⁵ = [a]₅⁵ + [b]₅⁵ ” Beweis oder Gegenbeispiel!

(2+3+2+2=9 Punkte) (Summe: 37 Punkte)

(12)

Mathematik f¨ur Ingenieure C3, Bachelor Klausur PD Dr. S. Kr¨autle

Dienstag, 01.10.2013 Dauer: 90 min

I.A. erfordert jede Teilaufgabe eine Rechnung oder Begr¨undung (es sei denn, die Aufgabenstellung besagt ausdr¨ucklich, dass die Angabe des Ergebnisses reicht).

A1) (Extremwerte)

a) Es sei u : R² →R definiert durch

u(x, y) =e^x+y².

(i) Berechnen Sie Gradienten und Hesse-Matrix von u.

(ii) Ist u konvex? (Kurze Begr¨undung)

(iii) Hat u eine lokale Maximalstelle? (Kurze Begr¨undung) (iv) Hat u eine globale Maximalstelle? (Kurze Begr¨undung) b) Es sei f : R² → R definiert durch

f(x, y) = x e^y.

Bestimmen Sie das Maximum und das Minimum von f unter der Neben- bedingung

x² +y² = 3 4.

Hinweis zum L¨osen des Lagrange-Gleichungssystems:

Vorschlag: Eliminieren Sie den Term e^y, indem Sie z.B. eine der Gleichun- gen mit x multiplizieren und dann von einer der anderen Gleichungen abziehen.

(2+1+1+1+7=12 Punkte) A2) (Kurvenintegral)

Es sei eine Kurve Γ ⊂ R² durch die Parametrisierung

~γ(t) =

1

3t³ + ¹₂t²

1

3t³ − ¹₂t²

!

, t∈ [0,√ 3]

gegeben.

a) Berechnen Sie die Bogenl¨ange |Γ|.

Hinweis: Falls Sie das Integral korrekt aufgestellt haben, sollte es sich mittels Substitution u := t² + 1 oder u := t² ausrechnen lassen.

b) Bestimmen Sie die Gleichung derjenigen Tangente, die die Kurve im Punkt

~γ(1) ber¨uhrt.

(6+2=8 Punkte)

(13)

a) Berechnen Sie die L¨osung des Anfangswertproblems y⁰ = cost

e^y , y(0) = 1.

b) Berechnen Sie ein Fundamentalsystem f¨ur das Differenzialgleichungssystem

~

y⁰ = A ~y, wobei

A =

5 −6 3 −4

.

Hinweis zur Kontrolle Ihrer Zwischenergebnisse: A hat nur ganzzahlige Ei- genwerte.

c) Eine lineare Differenzialgleichung sechster Ordnung habe das komplexe Fundamentalsystem

{e^it, e^−it, e^(3+2i)t, e^(3−2i)t, e^5t, e^−5t}

(i = imagin¨are Einheit). Geben Sie ein zugeh¨origes reelles Fundamental- system an. (Angabe des Ergebnisses reicht.)

(4+5+3=12 Punkte) A4) (Algebra)

a) Geben Sie die von [8]₂₀ erzeugte zyklische Untergruppe von (Z²⁰,+) an.

(Angabe des Ergebnisses reicht.) b) Hat [8]₂₀ ein Inverses

(i) in (Z²⁰,+) , (ii) in (Z²⁰, ·) ,

und, falls ja, wie lautet dieses?

(Im Falle der Existenz reicht die Angabe des Inversen; im Falle der Nicht- existenz reicht eine kurze Begr¨undung der Nichtexistenz.)

c) Ist (Z²⁰,+,·) ein K¨orper? (Kurze Begr¨undung)

d) Hat (Z¹⁰×Z³⁰,+) eine Untergruppe mit genau 200 Elementen? Warum (nicht)?

e) Wie viele Elemente hat die Gruppe (Z^∗300, ·)?

(2+2+1+1+2=8 Punkte) (Summe: 40 Punkte) Viel Erfolg!

(14)

Mathematik f¨ur Ingenieure C-III, Bachelor WS 12/13

PD Dr. S. Kr¨autle Klausur

Montag, 08.04.2013 Dauer: 90 min

I.A. erfordert jede Teilaufgabe eine Rechnung oder Begr¨undung (es sei denn, die Aufgabenstellung besagt ausdr¨ucklich, dass die Angabe des Ergebnisses reicht).

A1) (Extremwerte)

a) Es sei f : R² → R definiert durch

f(x, y) = (x−1)² +y² − 1 3y³. (i) Berechnen Sie Gradient und Hesse-Matrix von f.

(ii) Bestimmen Sie alle lokalen Maximal- und Minimalstellen von f. (Ant- wortsatz!)

(iii) Ist f konvex? (Kurze Begr¨undung)

b) Bestimmen Sie f¨ur obiges f nun das Maximum und das Minimum unter der Nebenbedingung

x² + y² = 1.

Hinweise zum L¨osen des Lagrange-Gleichungssystems:

(1.) Vorschlag: Eliminieren Sie den Lagrange-Multiplikator λ, indem Sie eine der Gleichungen mit x und eine der Gleichungen mit y multiplizieren, und dann die Gleichungen voneinander abziehen.

(2.) Sie k¨onnen im Verlauf der Rechnung verwenden: F¨ur Punkte (x, y) mit x²+y²= 1 ist immer x∈ [−1,1], y∈ [−1,1], somit xy∈[−1,1], somit insbesondere xy6= 2.

(5+8=13 Punkte) A2) (Kurvenintegral)

Es sei eine Kurve Γ ⊂ R³ durch die Parametrisierung

~γ(t) =



 sint cost

1 2 t²



, t ∈ [0,√ 3], gegeben, sowie eine Funktion f :R³ → R durch

f(x, y, z) =x² +y² −1 +p 2|z|. Berechnen Sie das Kurvenintegral erster Art

Z

Γ

f ds .

Hinweis: Falls Sie das Integral korrekt aufgestellt haben, sollte es sich mittels Substitutionsregel ausrechnen lassen.

(6 Punkte)

(15)

a) Wir betrachten die lineare Differenzialgleichung y⁰⁰⁰ +y⁰⁰ +y⁰+ y = 0. (i) Finden Sie ein reelles Fundamentalsystem.

Hinweis: Sie k¨onnen verwenden, dass x³+x²+x+1 = (x+1)(x²+1).

(ii) Finden Sie zu obiger Differenzialgleichung eine Anfangsbedingung der Form (y(0), y⁰(0), y⁰⁰(0)) = (α, β, γ), f¨ur die die L¨osung y 7→ y(t) des Anfangswertproblems die Eigenschaft lim

t→∞y(t) = 0 hat.

Hinweis: Falls Sie die L¨osung ohne lange Rechnung finden k¨onnen, reicht hier die Angabe des Ergebnisses.

b) Wandeln Sie die Differenzialgleichung

y⁰⁰⁰ −2y⁰ = sint

um in ein Differenzialgleichungssystem erster Ordnung.

c) Berechnen Sie ein Fundamentalsystem f¨ur das Differenzialgleichungssystem

~

y⁰ = A~y, wobei

A =





3 1 0 1 3 −1 0 1 3



.

Hinweis zur Kontrolle Ihrer Zwischenergebnisse: A hat nur einen Eigen- wert, und dieser liegt in N.

(4+3+8=15 Punkte)

A4) (Algebra)

a) Berechnen Sie −[9]₁₁, [3]⁻¹₁₆ und [97]₁₀₀·[98]₁₀₀ ·[99]₁₀₀. b) Existieren [2]⁻¹₃₂, [3]⁻¹₃₂ ? Warum (nicht)?

Hinweis: Berechnung dieser Elemente nicht zwingend erforderlich.

c) (i) Geben Sie die von [12]₃₀ erzeugte zyklische Untergruppe von (Z³⁰,+) an. (Angabe des Ergebnisses reicht.)

(ii) Hat (Z³⁰,+) eine Untergruppe mit genau 20 Elementen? Warum (nicht)?

(3+2+3=8 Punkte) (Summe: 42 Punkte) Viel Erfolg!

(16)

Mathematik f¨ur Ingenieure C-III, Bachelor WS 10/11

PD Dr. S. Kr¨autle Klausur

Mittwoch, 05.10.2011 Dauer: 90 min

Alle Teilaufgaben erfordern entweder eine Rechnung oder eine kurze Begr¨undung.

A1) (Extremwerte)

Es sei f : R² → R definiert durch

f(x, y) =x² + 4xy +y² + 4x.

a) Bestimmen Sie das Maximum und das Minimum von f unter der Nebenbedingung

x² +y² = 1.

Hinweis zum L¨osen des Lagrange-Gleichungssystems: Eliminieren Sie den Lagrange-Multiplikator λ, indem Sie eine der Gleichungen mit x und eine der Gleichungen mit y multiplizieren.

b) Beantworten Sie (mit ’ja’ oder ’nein’, und mit kurzer Begr¨undung!):

(i) Nimmt f auf D_f,1 = {(x, y)∈R²|x²+y²≤100} ein Minimum an?

(ii) Nimmt f auf D_f,2 = {(x, y)∈R²|x=y} ein Maximum an?

c) Zeigen Sie, dass die Funktion f : R² → R an der Stelle (0,0) weder ein lokales Maximum noch ein lokales Minimum annimmt.

(7+2+3=12 Punkte) A2) (Kurven)

Es sei eine Kurve Γ ⊂ R² durch die Parametrisierung

~γ(t) =

3

2 t² (2t+1)³²

, t ∈ [0,2], gegeben.

a) Berechnen Sie die Bogenl¨ange der Kurve.

b) Berechnen Sie die Tangente an die Kurve im Punkt (³₂,3√

3). Geben Sie die Tangentengleichung in der Form y = ax+b an.

(5+3=8 Punkte)

(17)

a) Berechnen Sie die L¨osung des Anfangswertproblems y^′ = e^y⁺²^t, y(0) = 0.

b) Berechnen Sie ein reelles Fundamentalsystem f¨ur die lineare Differen- tialgleichung

y^′′ −6y^′ + 13y = 0.

c) Bestimmen Sie die allgemeine L¨osung der linearen Differentialglei- chung

y^′+ 2y = 3e⁻²^tt².

d) Berechnen Sie ein Fundamentalsystem f¨ur das Differentialgleichungs- system ~y^′ = A~y, wobei

A=

5 4

−1 1

.

(3+3+3+3=12 Punkte)

A4) (Algebra)

a) Berechnen Sie [4]⁻15¹ und [11]⁻27¹ und [15]¹⁷·[2]⁴17. b) Welche der drei Fehlerarten

(α) Einzelfehler,

(β) Nachbarvertauschungsfehler, (γ) Vertauschungsfehler

kann mit folgender Pr¨ufgleichung sicher erkannt werden? (kurze Be- gr¨undungen!)

(i) Pr¨ufgleichung

6d¹+5d²+4d³+3d⁴+2d⁵+d6 ≡ 0 (mod 7), f¨ur einen Datensatz (d¹, ..., d5|d6),

(ii) Pr¨ufgleichung

2d1+4d2+5d3+7d4 ≡0 (mod 9), f¨ur einen Datensatz (d1, d2, d3|d4).

(3+5=8 Punkte) (Summe: 40 Punkte)

(18)

Klausur 21.04.2011 Mathematik f¨ur Ingenieure C-III, Bachelor Dauer: 90 min PD Dr. S. Kr¨autle / Dr. E. Marchand

Alle Teilaufgaben erfordern eine Rechnung oder eine Begr¨undung; das Er- gebnis alleine reicht keinesfalls. Ausnahme: Aufgaben 2-b und 4-b.

Resultate aus Vorlesung/ ¨Ubung k¨onnen verwendet werden.

A1) (Extremwerte)

Es sei f :R² →Rdefiniert durch

f(x, y) =x²y+y²+x².

a) (i) Bestimmen Sie alle kritischen Stellen (=potenziellen Extremstellen) von f im R².

Anmerkung zu (i)/(ii): Eine der kritischen Stellen liegt bei (0,0).

(ii) Pr¨ufen Sie, ob f an der Stelle (0,0) ein lokales Minimum oder ein lokales Maximum annimmt.

b) Bestimmen Sie nun f¨ur obige Funktionf das Maximum und das Minimum unter der Nebenbedingung

x²+y² = 3.

Hinweis zum L¨osen des Lagrange-Gleichungssystems: Eliminieren Sie den Lagrange- Multiplikator λ, indem Sie eine der Gleichungen mit x und eine mit y multiplizieren.

(3+2+7=12 Punkte) A2) (Lineare Programme)

a) Bringen Sie das folgende Lineare Programm (LP) auf Standard-Form:

Minimierex+y+z unter den Nebenbedingungen x+y≤0, x+z≥1, y≥0 b) Entscheiden Sie, ob die folgenden Aussagen wahr oder falsch sind.

Hinweise: Es sind keine Begr¨undungen erforderlich. Die Aussagen beziehen sich auf allgemeine LP in Standard-Form f(~x) = h~c, ~xi → min, A~x =~b, ~x ≥~0, also nicht speziell auf das LP aus (a). Jede richtige Antwort ergibt 1/2 Punkt, jede falsche 1/2 Minuspunkt. Jedoch wird eine negative Punktezahl aus A2-b nicht

¨

ubertragen auf die Gesamtpunktezahl.

(A) Ist der zulässige Bereich {~x|A~x=~b, ~x≥~0} unbeschränkt, so folgt, dass das LP keine Lösung (inR) hat.

(B) Ist der zul¨assige Bereich beschr¨ankt und nichtleer, so hat das LP mindestens eine Minimalstelle.

(19)

(C) Ist der zul¨assige Bereich beschr¨ankt und nichtleer, so hat das LP genau eine Minimalstelle.

(D) Eine zulässige Basislösung ~x0 ist genau dann eine Minimalstelle des LP, wenn für alle zulässigen Basislösungen~x gilt f(~x0)≤f(~x).

(E) Es gibt Lineare Programme, deren zul¨assiger Bereich leer ist.

(F) Sind ~x1, ~x2 Minimalstellen eines LP, so ist auch α ~x1 + (1−α)~x2 f¨ur alle α∈[0,1] Minimalstelle.

(4+3=7 Punkte) A3) (Differentialgleichungen)

a) (i) Geben Sie ein Fundamentalsystem an f¨ur die Differentialgleichung y^′′′−y^′ = 0.

(ii) L¨osen Sie die Anfangswertaufgabe

y^′′′−y^′ = 1, y(0) = 0, y^′(0) = 0, y^′′(0) = 0.

Hinweis: Es gibt eine partikul¨are L¨osung der Form y_p(t) =αt.

b) Bestimmen Sie ein Fundamentalsystem f¨ur das Differentialgleichungssystem

~

y^′ =A~y mit

A=





0 0 0 0 1 0 0 1 1





(2+6+6=14 Punkte) A4) (Algebra)

a) Wie viele Elemente hat die Multiplikative GruppeZ^∗⁴⁵?

b) Bestimmen Sie alle Elemente der Multiplikativen GruppeZ^∗¹⁸. c) Bestimmen Sie [43]³45 und [5]³18 und [5]⁻18¹.

d) Ist es m¨oglich, Gewichteg1, ..., g_n∈ {0,1, ...,17}, n≥2, anzugeben, so dass man mit der Pr¨ufgleichung

n

X

i=1

g_id_i ≡0 (mod 18)

sowohl Einzelfehler als auch Nachbarvertauschungsfehler eines Datensatzes (d¹, ..., dn), di ∈ {0,1, ...,17}, sicher erkennt? Begr¨unden Sie Ihre Antwort.

(1+1+3+2=7 Punkte)

(Summe: 40 Punkte) Viel Erfolg!