1.1 Differentialgleichungen als mathematische Modelle . . . . 2

2 CONTENTS

Contents

1 Einf¨ uhrung und Beispiele 2

1.1 Differentialgleichungen als mathematische Modelle . . . . 2

1.2 Isoklinenmethode . . . . 6

1.3 Ein Einzigkeitssatz . . . . 8

2 Elementare L¨ osungsmethoden 11 2.1 Differentialgleichungen mit getrennten Variablen . . . 11

2.2 Differentialgleichungen mit homogenen Variablen . . . 13

2.3 Lineare Differentialgleichungen . . . 14

2.4 Exakte Differentialgleichungen und integrierender Faktor . . . 17

2.5 Anwendungsaufgaben und Prozessmodellierung . . . 21

3 Existenzs¨ atze 24 3.1 Vollst¨andige metrische R¨aume . . . 24

3.2 Der Banachsche Fixpunktsatz . . . 26

3.3 Existenzs¨atze . . . 27

4 Numerische Verfahren 36 4.1 Das Eulersche Polygonzugverfahren . . . 36

4.2 Verbessertes Euler-Verfahren, Heun-Verfahren . . . 38

4.3 Das Runge–Kutta–Verfahren . . . 39

5 Lineare Systeme und lineare DGL n -ter Ordnung 42 5.1 Picard-Lindel¨of f¨ur Systeme . . . 42

5.2 Lineare Systeme und Fundamentalsysteme . . . 43

5.3 Die Reduktionsmethode . . . 48

5.4 Lineare Systeme mit konstanten Koeffizienten . . . 51

5.5 Differentialgleichungen n –ter Ordnung . . . 59

5.6 Partikul¨are L¨osungen und Faltungen . . . 61

5.7 Die Schwingungsgleichung . . . 65

5.8 Die Wellengleichung und die Besselsche Differentialgleichung . . . 70

5.9 Ber¨uhmte Differentialgleichungen 2. Ordnung . . . 73

CONTENTS 3

6 Qualitative Theorie und dynamische Systeme 76

6.1 Autonome Systeme und Phasenraum . . . 76

6.2 Invariante Mengen und Klassifizierung kritischer Punkte . . . 81

6.3 Stabilit¨atsanalyse . . . 83

6.4 Stabilit¨atsanalyse mittels Ljapunov-Funktion . . . 86

6.5 Chaotische Attraktoren . . . 90

7 Randwertprobleme zweiter Ordnung 92 7.1 Einf¨uhrende Beispiele . . . 92

7.2 Wer braucht Randwertprobleme? . . . 93

7.3 Der inhomogene harmonische Oszillator als Testmodell . . . 94

7.4 Das Sturmsche Randwertproblem . . . 97

7.5 Reduktion des allgemeinen RWP auf ein S-RWP . . . 100

7.6 Eigenwertprobleme . . . 103

7.7 Sturmsche Eigenwertprobleme . . . 104

7.8 Sturm-Liouvillesche EWP und Orthogonalsysteme . . . 107

7.9 Spektraldarstellung symm. Integraloperatoren in L

[ a, b ] . . . 110