2.3 Lineare Systeme

23

2.3 Lineare Systeme

Wir wollen Systeme von linearen Differentialgleichungen 1. Ordnung ¨ uber einem offenen Intervall I ⊂ R untersuchen:

y

= y · A(t)

+ b(t),

mit stetigen Abbildungen A : I → M

( R ) und b : I → R

. Wie im Falle li- nearer Gleichungen beginnt man mit dem homogenen Fall b(t) ≡ 0. Die stetige Abbildung

F(t, y) := y · A(t)

ist auf ganz I × R

definiert und gen¨ ugt dort lokal einer Lipschitz-Bedingung, denn es ist

kF(t, y

) − F(t, y

)k = k(y

− y

) · A(t)

k ≤ ky

− y

k · kA(t)k

.

3.1. Der L¨ osungsraum einer homogenen linearen DGL

Ist die lineare DGL y

= F(t, y) ¨ uber I = (a, b) definiert, so ist auch jede ma- ximale L¨ osung ¨ uber I definiert, und die Menge aller maximalen L¨ osungen bildet einen reellen Vektorraum.

Beweis: Sei J = (t

, t

) ⊂ I, t

∈ J und ϕ : J → R

eine maximale L¨ osung mit ϕ(t

) = y

. Wir nehmen an, es sei t

< b. Dann ist kA(t)k

auf [t

, t

] beschr¨ ankt, etwa durch eine Zahl k > 0. Wir wenden die fundamentale Absch¨ atzung auf die beiden L¨ osungen ϕ und ψ(x) ≡ 0 an. Damit ist kϕ(t)k ≤ ky

k·e

, bleibt also auf [t

, t

) beschr¨ ankt. Das bedeutet, dass die Integralkurve t 7→ (t, ϕ(t)) im Innern von I × R

endet, und das kann nicht sein. Also muss t

= b (und entsprechend dann auch t

= a) sein.

Dass die Menge aller (maximalen) L¨ osungen dann einen Vektorraum bildet, ist trivial.

Sei L der (reelle) Vektorraum aller L¨ osungen ¨ uber I. F¨ ur ein festes t

∈ I sei E : L → R

definiert durch E(ϕ) := ϕ(t

).

Dann ist E offensichtlich linear, und aus dem globalen Existenz- und Eindeutigkeitssatz und dem obigen Resultat folgt, dass E bijektiv ist, also ein Isomorphismus von L auf R

. Daraus folgt:

Der L¨ osungsraum L eines homogenen linearen Systems y

= y · A(t)

in I × R

ist ein n-dimensionaler R -Untervektorraum von C

(I, R

).

Eine Basis {ϕ

, . . . , ϕ

} von L bezeichnet man auch als Fundamentalsystem (von L¨ osungen), die Matrix

1

”E“ steht f¨urevaluate (auswerten).

X(t) := ϕ

(t), . . . , ϕ

(t) nennt man Fundamentalmatrix. Sie erf¨ ullt die Gleichung

X

(t) = A(t) · X(t).

Wir erinnern uns an einige Tatsachen aus der Determinantentheorie. Sei A ∈ M

( R ) und S

(A) die Streichungsmatrix, die durch Streichen der i-ten Zeile und der j-ten Spalte aus A entsteht. Dann wird die Zahl A

:= (−1)

det S

(A) als Cofaktor, algebraisches Komplement oder Adjunkte bezeichnet, und der La- place’sche Entwicklungssatz besagt: F¨ ur beliebiges k und beliebiges l ist

det(A) =

n

X

i=1

a

· A

=

n

X

j=1

a

· A

.

Man beachte: Sind a

, . . . , a

die Zeilen der Matrix A, so ist A

= det a

, . . . , a

, e

, a

, . . . , a

, und die Koeffizienten a

, . . . , a

kommen in A

nicht vor.

Die Matrix ad(A) :=

A

i = 1, . . . , n j = 1, . . . , n

heißt adjungierte Matrix zu A.

3.2. Hilfssatz

1. Ist A ∈ M

( R ), so ist (det A) · E

= A · ad(A)

. 2. Ist t 7→ A(t) ∈ M

( R ) differenzierbar, so ist

(det ◦A)

(t) = X

i,j

a

(t) · A

(t).

Beweis: 1) Seien a

, . . . , a

die Zeilen der Matrix A. Dann ist A · ad(A)

ij

=

n

X

k=1

a

A

=

n

X

k=1

a

det(a

, . . . , a

, e

, a

, . . . , a

)

= det(a

, . . . , a

,

n

X

k=1

a

e

, a

, . . . , a

)

= det(a

, . . . , a

, a

, a

, . . . , a

)

= δ

· det A.

2) Weil A

von a

nicht abh¨ angt, folgt mit dem Entwicklungssatz

2.3 Lineare Systeme 25

∂ det

∂a

(A) = ∂

∂a

n

X

k=1

a

· A

!

=

n

X

k=1

δ

A

= A

, nach Kettenregel also

(det ◦A)

(t) = X

i,j

∂ det

∂a

(A(t)) · a

(t) = X

i,j

a

(t) · A

(t).

Definition

Sind ϕ

, . . . , ϕ

: I → R

irgendwelche (differenzierbare) Funktionen, so nennt man

W (ϕ

, . . . , ϕ

)(t) := det(ϕ

(t), . . . , ϕ

(t)) die Wronski-Determinante von ϕ

, . . . , ϕ

.

3.3. Die Formel von Liouville

Die Wronski-Determinante W (t) eines Systems von L¨ osungen der DGL y

= y · A(t)

erf¨ ullt die gew¨ ohnliche Differentialgleichung

z

= z · SpurA(t) .

Ist W (t) sogar die Wronski-Determinante einer Fundamentalmatrix, so ist W (t) 6= 0 f¨ ur alle t ∈ I, und f¨ ur beliebiges (festes) t

∈ R ist

W (t) = W (t

) · exp Z

t0

SpurA(s) ds

.

Beweis: Sei X(t) = (x

(t)) = (ϕ

(t), . . . , ϕ

(t)) und W (t) = det X(t). Dann ist

W

(t) = (det ◦X)

(t)

= X

i,j

x

(t) · (ad(X))

(t)

=

n

X

i=1

(X

(t) · ad(X)

(t))

= Spur X

(t) · ad(X)

(t) . Da die Spalten von X(t) L¨ osungen der DGL sind, ist

X

(t) = A(t) · X(t),

also

W

(t) = Spur A(t) · X(t) · ad(X)

(t)

= Spur A(t) · (det X(t) · E

)

= W (t) · SpurA(t).

Sei X(t) = ϕ

(t), . . . , ϕ

(t)

eine Fundamentalmatrix. Gibt es ein t

∈ I mit W (t

) = 0, so gibt es reelle Zahlen c

, nicht alle = 0, so dass P

ν

c

ϕ

(t

) = 0 ist.

Die Funktion ϕ := P

ν

c

ϕ

ist L¨ osung der DGL und verschwindet in t

. Nach dem Eindeutigkeitssatz muss dann ϕ(t) ≡ 0 sein. Also sind ϕ

, . . . , ϕ

linear abh¨ angig und k¨ onnen kein Fundamentalsystem sein. Widerspruch!

Also ist W (t) 6= 0 und X(t) invertierbar f¨ ur alle t ∈ I. Außerdem ist (ln ◦W )

(t) = W

(t)

W (t) = SpurA(t), also

ln W (t) W (t

)

= ln W (t) − ln W (t

) = Z

t0

SpurA(s) ds.

Wendet man exp an, so erh¨ alt man die Liouville-Formel.

3.4. Die Fundamentall¨ osung

Sei A : I → M

( R ) stetig.

1. Zu jedem t

∈ I gibt es genau eine Fundamentalmatrix X

der DGL y

= y · A(t)

mit X

(t

) = E

(= n-reihige Einheitsmatrix).

F¨ ur t ∈ I wird dann C(t, t

) := X

(t) ∈ M

( R ) gesetzt.

2. Ist y

∈ R

, so ist ϕ(t) := y

· C(t, t

)

die eindeutig bestimmte L¨ osung mit ϕ(t

) = y

.

3. Die Matrix C(t, t

) ist stets invertierbar, und f¨ ur s, t, u ∈ I gilt:

(a) C(s, t) · C(t, u) = C(s, u).

(b) C(t, t) = E

, (c) C(s, t)

= C(t, s).

4. Ist {a

, . . . , a

} eine Basis des R

, so wird durch ϕ

(t) := a

· C(t, t

)

ein Fundamentalsystem von L¨ osungen mit ϕ

(t

) = a

definiert.

Beweis: 1) Es gibt eindeutig bestimmte L¨ osungen ϕ

, . . . , ϕ

, so dass ϕ

(t

) =

e

der ν-te Einheitsvektor ist. Da die Einheitsvektoren eine Basis des R

bilden

und die Evaluationsabbildung E ein Isomorphismus ist, bilden die ϕ

eine Basis

2.3 Lineare Systeme 27

des L¨ osungsraumes. X

:= (ϕ

, . . . , ϕ

) ist dann die (eindeutig bestimmte) Fun- damentalmatrix mit X

(t

) = E

.

2) Da X

(t) = C(t, t

) eine Fundamentalmatrix ist, erf¨ ullt ϕ(t) := y

· C(t, t

)

die DGL. Es ist n¨ amlich

ϕ

(t) = y

· X

(t)

= y

· X

(t) · A

(t)

= ϕ(t) · A

(t).

Nach Konstruktion ist C(t

, t

) = E

, also ϕ(t

) = y

.

3) Weil W (t) = det C(t, t

) nirgends verschwindet, ist C(t, t

) immer invertierbar.

Sei y beliebig, t, u ∈ I beliebig, aber fest, sowie s ∈ I beliebig (variabel). Wir setzen ϕ(s) := y · C(s, u)

und ψ(s) := ϕ(t) · C(s, t)

. Dann ist ψ(t) = ϕ(t), also auch ψ(s) = ϕ(s) f¨ ur alle s ∈ I. Daraus folgt:

y · C(s, u)

= ϕ(s) = ψ(s)

= ϕ(t) · C(s, t)

= y · C(t, u)

· C(s, t)

= y · C(s, t) · C(t, u)

.

Weil C(s, u) invertierbar ist, folgt die Gleichung C(s, u) = C(s, t) · C(t, u).

4) ist trivial.

Leider ist es im allgemeinen nicht m¨ oglich, die L¨ osungen eines homo- genen linearen Systems explizit anzugeben! In Einzelf¨ allen kann es aber durchaus L¨ osungsmethoden geben.

Wir betrachten nun den inhomogenen Fall y

= y · A(t)

+ b(t). Wie im homo- genen Fall kann man zeigen, dass alle L¨ osungen ¨ uber ganz I definiert sind. Da die Differenz zweier L¨ osungen der inhomogenen Gleichung eine L¨ osung der homogenen Gleichung ist, bilden die L¨ osungen der inhomogenen Gleichung einen affinen Raum, und es gen¨ ugt, eine partikul¨ are L¨ osung des inhomogenen Systems zu finden. Wir benutzen hier wieder (wie im Falle einer Gleichung erster Ordnung) die Methode der Variation der Kostanten.

Ist X(t) = (ϕ

(t), . . . , ϕ

(t)) eine Fundamentalmatrix, so ist die L¨ osungsgesamt- heit des homogenen Systems die Menge der Linearkombinationen

c

· ϕ

(t) + · · · + c

· ϕ

(t).

F¨ ur eine partikul¨ are L¨ osung der inhomogenen Gleichung machen wir den Ansatz ϕ

(t) := c

(t) · ϕ

(t) + · · · + c

(t) · ϕ

(t) = c(t) · X(t)

.

Dann ist

ϕ

(t) = c

(t) · X(t)

+ c(t) · X

(t)

= c

(t) · X(t)

+ c(t) · A(t) · X(t)

= c

(t) · X(t)

+ ϕ

(t) · A(t)

.

Also gilt:

ϕ

(t) ist L¨ osung ⇐⇒ ϕ

(t) = ϕ

(t) · A(t)

+ b(t)

⇐⇒ c

(t) · X(t)

= b(t)

⇐⇒ c

(t) = b(t) · (X(t)

)

⇐⇒ c(t) = c(t

) + Z

t0

b(s) · (X(s)

)

ds . Ist X(t) = C(t, t

), also X(t

) = E

, so ist

ϕ

(t) = c(t) · X(t)

=

y

+ Z

t0

b(s) · C(t

, s)

ds

· C(t, t

)

die partikul¨ are L¨ osung ϕ

mit ϕ

(t

) = y

.

Eine homogene lineare DGL n-ter Ordnung hat die Gestalt y

+ a

(x)y

+ · · · + a

(x)y

+ a

(x)y = 0 .

Das zugeordnete lineare System hat dann – in Spaltenschreibweise – die Form









 y

.. . .. . y











=











0 1 · · · 0

.. . . .. .. .

0 0 · · · 1

−a

(t) −a

(t) · · · −a

(t)











·









 y

.. . .. . y









 .

Ist {f

, . . . , f

} eine Basis des L¨ osungsraumes der DGL n-ter Ordnung, so erhalten wir f¨ ur das System die Fundamentalmatrix

X(t) =











f

f

· · · f

f

f

· · · f

.. . .. . .. . f

f

· · · f









 .

3.5. Beispiel

Wir betrachten eine gew¨ ohnliche inhomogene lineare DGL 2. Grades, y

+ a

(x)y

+ a

(x)y = r(x).

Dem entspricht das lineare System y

= y · A(t)

+ b(t) mit A(t) =

0 1

−a

(t) −a

(t)

und b(t) = (0, r(t)).

29

Eine Fundamentalmatrix hat die Gestalt X(t) =

y

(t) y

(t) y

(t) y

(t)

.

Dann ist W (t) = det X(t) = y

(t)y

(t)−y

(t)y

(t) die Wronski-Determinante, und die Matrix X(t)

kann durch die Formel

X(t)

= 1 W (t) ·

y

(t) −y

(t)

−y

(t) y

(t)

berechnet werden. Also ist

b(s) · (X(s)

)

= 1

W (s) (0, r(s)) ·

y

(s) −y

(s)

−y

(s) y

(s)

= 1

W (s) −y

(s)r(s), y

(s)r(s) ,

und ϕ

(t) = Z

t0

b(s) · (X(s)

)

ds

· X(t)

ist eine partikul¨ are L¨ osung des (inhomogenen) Systems mit ϕ

(t

) = 0. Die 1. Komponente davon ist L¨ osung der gew¨ ohnlichen Differentialgleichung 2. Ordnung. Das ist

ϕ(t) = y

(t) · Z

t0

−y

(s)r(s)

W (s) ds + y

(t) · Z

t0

y

(s)r(s) W (s) ds , und ϕ = (ϕ, ϕ

) ist L¨ osung des Systems.

Die Funktion G(s, t) := y

(t)y

(s) − y

(t)y

(s)

W (s)

bezeichnet man auch als Green’sche Funktion. Offensichtlich ist ϕ(t) =

Z

G(s, t)r(s) ds.

Im Falle der konkreten DGL y

+ y

− 2y = e

l¨ osen ϕ

(x) := e

und ϕ

(x) :=

e

die zugeh¨ orige homogene Gleichung. Weil W (x) = det

ϕ

(x) ϕ

(x) ϕ

(x) ϕ

(x)

= det

e

e

e

−2e

= −3e

6= 0 ist, bilden ϕ

und ϕ

sogar eine Basis des L¨ osungsraumes. Man berechnet dann

G(s, t) = 1

3 e

e

− e

e

und erh¨ alt als L¨ osung der inhomogenen Gleichung

ϕ(t) = Z

t0

G(s, t)r(s) ds = 1 3

Z

e

− e

e

ds = 1

3 te

− 1

9 e

.

2.4 Systeme mit konstanten Koeffizienten

Wir erinnern uns: Ist (X

) eine Folge von Matrizen in M

( R ), so gilt:

Ist

∞

X

n=0

kX

k

< ∞, so konvergiert

∞

X

n=0

X

in M

( R ).

4.1. Beispiel

Sei A ∈ M := M

( R ). Dann ist A

:= E

(= Einheitsmatrix) und A

:=

A · . . . · A

| {z }

n-mal

, und die Reihe

∞

X

n=0

1

n! kAk

konvergiert in R (gegen e

). Daher konvergiert auch die Reihe

∞

X

n=0

1

n! A

in M . Den Grenzwert der Reihe

∞

X

n=0

1

n! A

bezeichnen wir mit e

.

Sei nun I ⊂ R ein abgeschlossenes Intervall, und f¨ ur jedes n ∈ N sei F

: I → M eine stetige Funktion. Gibt es eine Folge positiver reeller Zahlen (a

), so dass P

n=0

a

< ∞ und kF

(t)k

≤ a

f¨ ur alle n und alle t ∈ I ist, so konvergiert die Reihe P

n=0

F

(t) auf I gleichm¨ aßig gegen eine stetige Funktion F (t).

4.2. Satz

Ist A ∈ M, so ist f : R → M mit f (t) := e

eine differenzierbare Funktion und f

(t) = A · e

.

Beweis: Es sei S

(t) :=

N

X

n=0

1

n! (At)

. Dann konvergiert die Folge der S

auf jedem abgeschlossenen Intervall gleichm¨ aßig gegen die Funktion f (t). Weiter ist S

differenzierbar und

S

(t) =

N

X

n=1

1

(n − 1)! A

t

= A ·

N−1

X

n=0

1 n! A

t

.

Offensichtlich konvergiert die Folge der Funktionen S

(t) (gleichm¨ aßig auf I) gegen A · e

. Aber dann ist f differenzierbar und f

(t) = lim

N→∞

S

(t) = A · e

.

Ist A ∈ M, so nennt man die DGL y

= y · A

ein lineares System mit kon-

stanten Koeffizienten. Es gilt daf¨ ur alles, was wir ¨ uber lineare Systeme gelernt

haben, und noch viel mehr.

2.4 Systeme mit konstanten Koeffizienten 31

4.3. Die L¨ osung eines Systems mit konstanten Koeffizien- ten

Sei A ∈ M

(K ). Die eindeutig bestimmte Fundamentalmatrix X(t) des linearen Systems

y

= y · A

mit X(0) = E ist gegeben durch X(t) := e

.

Beweis: Es ist X

(t) = A · X(t) und X(0) = E. Nach dem globalen Existenz- und Eindeutigkeitssatz ist damit schon alles bewiesen.

4.4. Eigenschaften der Exponentialfunktion

1. F¨ ur s, t ∈ R ist e

· e

= e

. 2. Ist A · B = B · A, so ist e

= e

· e

.

3. Die Matrix e

ist stets invertierbar. Insbesondere gilt:

det(e

) = e

. Beweis: Ist A · B = B · A, so ist

B ·

N

X

k=0

1

k! (tA)

=

N

X

k=0

1

k! B · (tA)

=

N

X

k=0

1

k! (tA)

· B, also (nach ¨ Ubergang zum Limes) B · e

= e

· B.

Wir setzen F (t) := e

− e

· e

. Dann gilt:

F

(t) = (A + B) · e

− A · e

· e

− e

· B · e

= (A + B) · (e

− e

· e

)

= (A + B) · F (t).

F (t) ist also die eindeutig bestimmte Fundamentalmatrix der DGL y

= y · (A + B)

mit F (0) = 0 .

Daher muss F (t) ≡ 0 sein, d.h.

e

= e

· e

. 2) F¨ ur t = 1 erh¨ alt man: e

= e

· e

.

1) Die Matrizen sA und tA sind nat¨ urlich vertauschbar. Also ist

e

= e

= e

· e

.

3) Es ist e

· e

= e

= E, also e

invertierbar, mit (e

)

= e

.

det(e

) ist die Wronski-Determinante der Fundamentalmatrix X(t) := e

. Aus der Liouville-Formel ergibt sich (mit t

= 0):

det(e

) = exp(

Z

Spur(A) ds) = e

. Mit t = 1 erh¨ alt man die gew¨ unschte Formel.

4.5. Folgerung

1. Die Fundamentall¨ osung C(t, t

) des Systems y

= y · A

ist gegeben durch C(t, t

) = e

.

2. Ist {y

, . . . , y

} eine Basis des R

, so bilden die Funktionen ϕ

(t) := y

· e

, ν = 1, . . . , n,

ein Fundamentalsystem von L¨ osungen.

3. Ist B invertierbar, so ist B

· e

· B = e

.

Beweis: 1) Setzt man X(t) := e

, so ist X

(t) = A · X(t) und X(t

) = E

. Also ist C(t, t

) = e

.

2) Die L¨ osung ϕ

mit ϕ

(0) = y

ist gegeben durch ϕ

(t) = y

·C(t, 0)

= y

·e

, denn es ist

(e

)

= e

.

3) X(t) := B

· e

· B und Y (t) := e

sind beides Fundamental-L¨ osungen von y

= y · (B

· A · B) mit X(0) = Y (0) = E

, denn es ist

X

(t) = B

· A · e

· B = (B

· A · B) · (B

· e

· B) = (B

· A · B) · X(t) und

Y

(t) = (B

· A · B) · e

= (B

· A · B) · Y (t) .

Aber dann muss X(t) = Y (t) f¨ ur alle t ∈ R sein, insbesondere X(1) = Y (1).

Wir versuchen nun, die Exponentialfunktion von Matrizen zu berechnen.

Wir beginnen mit dem einfachsten Fall, mit Diagonalmatrizen. F¨ ur λ

, . . . , λ

∈ R bezeichne D = ∆(λ

, . . . , λ

) die aus den λ

gebildete Diagonalmatrix. Dann ist D

= ∆(λ

, . . . , λ

) und

N

X

k=1

1

k! D

= ∆ X

k=1

1

k! λ

, . . . ,

N

X

k=1

1 k! λ

.

2.4 Systeme mit konstanten Koeffizienten 33

L¨ asst man nun N gegen Unendlich gehen, so erh¨ alt man e

= ∆(e

, . . . , e

).

Der n¨ achst-einfache Fall ist der von diagonalisierbaren Matrizen. Eine Matrix A heißt diagonalisierbar, wenn es eine invertierbare Matrix P gibt, so dass D :=

P

· A · P eine Diagonalmatrix ist. Dann ist e

= e

= P · e

· P

. F¨ ur den allgemeinen Fall m¨ ussen wir uns an die Eigenwert-Theorie erinnern.

Sei A ∈ M

( R ) und f

: R

→ R

der durch f

(x) := x · A

definierte En- domorphismus. Eine reelle Zahl λ heißt Eigenwert von A, falls es einen Vektor x

6= 0 gibt, so dass f

(x

) = λx

ist. Der Vektor x

heißt dann Eigenvek- tor von A zum Eigenwert λ. Er ist eine nichttriviale L¨ osung des Gleichungs- systems (A − λ · E

) · x

= 0

. Eine solche L¨ osung gibt es genau dann, wenn det(A − λ · E

) = 0 ist.

Die Eigenwerte von A sind daher genau die Nullstellen des charakteristischen Polynoms p

(x) := det(A − x · E

). Nach dem Fundamentalsatz der Alge- bra zerf¨ allt jedes Polynom ¨ uber C in Linearfaktoren. Also besitzt jede Matrix A ∈ M

( R ) genau n

” komplexe Eigenwerte“ (mit Vielfachheit gez¨ ahlt). Die Ei- genvektoren zu komplexen Eigenwerten sind dann allerdings Elemente des C

.

4.6. Lemma

Sei λ ein Eigenwert der Matrix A und y

ein zugeh¨ origer Eigenvektor. Dann ist ϕ(t) := e

y

eine L¨ osung der DGL y

= y · A

.

Beweis: Setzt man ϕ(t) := e

y

, so ist

ϕ

(t) = λe

y

= e

(λy

) = e

(y

· A

) = (e

y

) · A

= ϕ(t) · A

. Also ist ϕ L¨ osung der DGL.

Indem man ¨ uber C arbeitet, kann man davon ausgehen, dass das charakteristische Polynom p

(x) in Linearfaktoren zerf¨ allt. Wenn es eine Basis aus Eigenvektoren von A gibt, ist A diagonalisierbar. Das ist z.B. dann der Fall, wenn alle Nullstellen von p

(x) einfach sind. Allerdings ist diese Bedingung nicht notwendig.

Sei λ Eigenwert der Matrix A. Ein Vektor v heißt Hauptvektor von A zum Ei- genwert λ, falls es ein j ∈ N gibt, so dass gilt:

v ∈ Ker(f

− λ id)

.

Die kleinste nat¨ urliche Zahl j mit dieser Eigenschaft nennt man die Stufe von

v. Der Nullvektor ist der einzige Hauptvektor der Stufe 0, die Eigenvektoren zum

Eigenwert λ sind die Hauptvektoren der Stufe 1. Alle Hauptvektoren zum Eigenwert

λ bilden den sogenannten Hauptraum H

(λ).

Ist p

(x) = (−1)

(x − λ

)

(x − λ

)

· · · (x − λ

)

, so ist dim H

(λ

) = n

, f¨ ur i = 1, . . . , k, sowie R

= H

(λ

)⊕ . . .⊕H

(λ

). Die Hauptr¨ aume sind alle invariant unter f

: Ist n¨ amlich v ∈ H

(λ

) und j die Stufe von v, so ist

(f

− λ

id)

f

(v)

= f

◦ (f

− λ

id)

v = f

(0) = 0.

Daraus ergibt sich der Satz von der Jordan’schen Normalform. Außerdem gilt:

Ist g

:= f

− λ

id

|

, so ist (g

)

= 0, also g

” nilpotent“.

4.7. Die L¨ osung linearer DGL-Systeme

1. A besitze n verschiedene (reelle) Eigenwerte λ

, . . . , λ

(jeweils mit Viel- fachheit 1), und {y

, . . . , y

} sei eine dazu passende Basis von Eigenvek- toren von A. Dann bilden die n Funktionen ϕ

(t) := e

· y

ein Funda- mentalsystem von L¨ osungen der DGL y

= y · A

.

2. Hat A nur k verschiedene (reelle) Eigenwerte λ

, . . . , λ

mit Vielfachheiten n

, . . . , n

, so gibt es ein Fundamentalsystem von L¨ osungen, welches f¨ ur ν = 1, . . . , k aus jeweils n

Funktionen der Gestalt q

(t) · e

besteht, µ = 1, . . . , n

. Dabei ist q

(t) jeweils ein Vektor von Polynomen vom Grad ≤ n

− 1.

Beweis: 1) Auf Grund des Lemmas ist klar, dass die ϕ

L¨ osungen sind. Weil {y

, . . . , y

} eine Basis des R

ist, verschwindet die Wronski-Determinante W (t) = W (ϕ

, . . . , ϕ

)(t) nicht in t = 0. Aber dann ist W (t) 6= 0 f¨ ur alle t, und {ϕ

, . . . , ϕ

} eine Basis des L¨ osungsraumes.

2) Wir k¨ onnen annehmen, dass k = 1 ist, dass es also nur einen einzigen Eigenwert λ mit Vielfachheit n gibt. Dann ist (A − λ · E)

= 0, also A = λ · E + N , mit der nilpotenten Matrix N := A − λ · E.

Weil die Diagonalmatrix (λt)E mit jeder Matrix vertauscht werden kann, ist e

= e

= e

· e

= e

·

n−1

X

ν=0

1

ν! N

t

.

Nun sei {y

, . . . , y

} eine Basis des R

und a

:= y

· (N

)

f¨ ur ν = 0, . . . , n − 1 und µ = 1, . . . , n. Dann ist

ϕ

(t) := y

· e

= e

· y

·

n−1

X

ν=0

1

ν! (N

)

t

= e

· y

· E + t(A

− λE ) + t

2 (A

− λE)

+ · · ·

= e

· q

(t), wobei q

(t) :=

n−1

X

ν=0

t

ν! · a

ein Vektor von Polynomen vom Grad ≤ n − 1 ist.

2.4 Systeme mit konstanten Koeffizienten 35

Eine L¨ osungsmethode besteht nun darin, die Polynome mit unbestimmten Koeffi- zienten anzusetzen, das Ergebnis in die DGL einzusetzen und auf den Koeffizien- tenvergleich zu hoffen.

4.8. Beispiel

Sei A :=





0 1 −1

−2 3 −1

−1 1 1



. Wir wollen die DGL y

= y · A

l¨ osen.

Zun¨ achst bestimmen wir die Eigenwerte von A als Nullstellen des charakte- ristischen Polynoms. Nach Laplace ergibt die Entwicklung nach der ersten Zeile:

p

(t) = det(A − tE ) = (−t)[(3 − t)(1 − t) + 1] − [(−2)(1 − t) − 1]

− [−2 + (3 − t)]

= (−t)(t

− 4t + 4) − (2t − 3) − (1 − t)

= −t

+ 4t

− 5t + 2 = −(t − 1)

(t − 2).

Der Eigenwert λ = 2 hat die Vielfachheit 1. Man findet sofort einen Eigen- vektor dazu, n¨ amlich u := (0, 1, 1). Das ergibt die erste L¨ osung

ϕ

(t) := (0, 1, 1) · e

.

Der Eigenwert λ = 1 hat die (algebraische) Vielfachheit 2, aber der Eigen- raum hat nur die Dimension 1, eine Basis bildet der Eigenvektor v := (1, 1, 0).

Das ergibt

ϕ

(t) := (1, 1, 0) · e

.

Da A nicht diagonalisierbar ist, machen wir f¨ ur eine dritte L¨ osung den Ansatz ϕ

(t) = (q

+ p

t, q

+ p

t, q

+ p

t)e

.

Weil mit ϕ

, ϕ

und ϕ

auch die L¨ osungen ϕ

, ϕ

und ϕ

− cϕ

eine Basis bilden, k¨ onnen wir annehmen, dass q

= 0 ist.

Setzt manϕ₃(t) in die DGL ein, so erh¨alt man die Beziehung p1+p1t,(p2+q2) +p2t,(p3+q3) +p3t

=

= (p1t, q2+p2t, q3+p3t)·





0 1 −1

−2 3 −1

−1 1 1





>

= (q2−q3) + (p2−p3)t,(3q2−q3) + (−2p1+ 3p2−p3)t,(q2+q3) + (−p1+p2+p3)t ,

also

p

+ p

t = (q

− q

) + (p

− p

)t,

(q

+ p

) + p

t = (3q

− q

) + (−2p

+ 3p

− p

)t,

(q

+ p

) + p

t = (q

+ q

) + (−p

+ p

+ p

)t.

Der Vergleich der Koeffizienten bei t liefert

p

= p

− p

und p

= p

, also p

= 0.

Setzen wir α := p

= p

, so ergibt der Vergleich der Koeffizienten bei 1 : q

− q

= α, 2q

− q

= α und daher q

= 0 und q

= −α.

So erhalten wir

ϕ

(t) = αt, αt, −α e

.

Nat¨ urlich k¨ onnen wir jetzt α = 1 setzen, also ϕ

(t) := (t, t, −1)e

. Eine weitere Methode benutzt direkt die Darstellung A = λE

+ N :

Sei λ Eigenwert der Matrix A mit Vielfachheit k, der Eigenraum habe die Dimen- sion 1, v

sei ein Eigenvektor. Dann ist v

· (A

− λE

) = 0 und ϕ

(t) := e

v

eine L¨ osung.

Ist k > 1, so muss es einen Vektor v

6= 0 mit

v

· (A

− λE

) 6= 0, aber v

· (A

− λE

)

= 0

geben. Nat¨ urlich ist auch ϕ

(t) := v

· e

eine L¨ osung (mit ϕ

(0) = v

). Dabei ist

e

= e

k−1

X

ν=0

t

ν! (A

− λE)

. Ist v

· (A

− λE

)

= 0, so ist

ϕ

(t) = e

v

· e

= e

v

+ tv

· (A

− λE

) .

Ist {v

, v

} eine Basis des Raumes {v ∈ R

: v · (A

− λE

)

= 0} und k > 2, so gibt es einen Vektor v

6= 0 mit

v

· (A

− λE

)

6= 0, aber v

· (A

− λE

)

= 0.

Ist v

· (A

− λE

)

= 0, so ist

ϕ

(t) = e

v

· e

= e

v

+ tv

· (A

− λE

) + t

2 v

· (A

− λE

)

. Bei 3 × 3-Matrizen kommt man damit immer aus.

4.9. Beispiele

A. Wir betrachten noch einmal die DGL y

= y ·





0 1 −1

−2 3 −1

−1 1 1





>

.

2.4 Systeme mit konstanten Koeffizienten 37

Wir wissen schon, dass 2 ein Eigenwert der Vielfachheit 1 und 1 ein Eigenwert der Vielfachheit 2 ist, und dass

ϕ

(t) := e

(0, 1, 1) und ϕ

(t) := e

(1, 1, 0) L¨ osungen sind. Außerdem ist

A − E

=





−1 1 −1

−2 2 −1

−1 1 0



 und (A − E

)

=





0 0 0

−1 1 0

−1 1 0



 .

Der Vektor v

:= (0, 0, 1) ist kein Eigenvektor, aber L¨ osung der Gleichung v · (A

− E

)

= 0. Das liefert die L¨ osung

ϕ

(t) := e

(v

+ tv

(A

− E

)) = e

(−t, −t, 1),

und das ist – bis auf’s Vorzeichen – die L¨ osung, die wir auch mit der Koeffi- zientenvergleichsmethode gefunden haben.

B. Bisher haben wir nur den Fall reeller Eigenwerte betrachtet. Den Fall kom- plexer Eigenwerte kann man aber auf den reellen Fall zur¨ uckf¨ uhren. Ist ϕ(t) = g(t)+ i h(t) eine komplexe L¨ osung, so sind g = Re(ϕ) und h = Im(ϕ) reelle L¨ osungen, denn es ist

g

(t) + i h

(t) = ϕ

(t) = ϕ(t) · A

= g(t) · A

+ i h(t) · A

.

Sei ϕ(t) = e

z komplexe L¨ osung einer DGL, mit λ = α + i β und z = v+ i w.

Dann ist

ϕ(t) = e

e

(v + i w)

= e

(cos(βt)v − sin(βt)w) + i (sin(βt)v + cos(βt)w)

.

Real- und Imagin¨ arteil sind reelle L¨ osungen.