UWIS, Systemanalyse, Zusammenfassung 1
1 lineare Modelle (S. 43ff, Kaptiel 4 und 5)
1.1 1 Variable (S. 43ff )
Jin Jout
R =krM M
1.1.1 Massenbilanz (S. 50ff )
dM
dt = QCin
| {z }
Jin
−Q VM
| {z }
QC
−krM | · 1 V
dC
dt = Q
VCin−Q
VC−krC dC
dt = kwCin−ktotC
1.1.2 Station¨arzustand C∞ berechnen (S. 50, Beispiel S. 52) dC
dt = 0 1.1.3 L¨osung der DGL (S. 54)
C(t) = C0e−kt
| {z }
Auswaschkurve
+C∞
1−e−kt
| {z }
Einwachskurve
1.1.4 Anpassungszeit (S. 56)
τκ= −lnκ k Halbwertszeit
τ1/2= −ln (0.5)
k ≈ 0.69
k ⇒k= 0.69 τ1/2 5%-Zeit
τ5% = −ln (0.05)
k ≈ 3
k
UWIS, Systemanalyse, Zusammenfassung 2
1.2 2 Variablen (S. 80ff, Kapitel 5)
QCA QCB Jin=QCin
MA MB kB kA
1.2.1 Station¨arzustand C∞ berechnen
dCA
dt = 0
dCB
dt = 0
1.2.2 Anpassungszeit (S. 90)
DGL in Matrixschreibweise schreiben (S. 82):
dCA
dCdtB
dt
= RA
RB
p11 p12 p21 p22
| {z } Koeffizientenmatrix
CA CB
Eigenwerte (λi) der Koeffizientenmatrix berechnen (S. 84) ⇒ betragsm¨assig kleinster Ei- genwert min|λi|zur Berechnung vonτκ verwenden.
τκ =− lnκ min|λi|
Beachte: Falls die Koeffizientenmatrix eine Dreiecksmatrix ist stehen die Eigenwerte in der Diagonalen (S. 95):
a 0 b c
⇒λ={a, c}
1.2.3 Stabilit¨atsbeurteilung (S. 87)
Aus den Eigenwerten folgt die Stabilit¨atseigenschaft siehe Tabelle S. 87.
UWIS, Systemanalyse, Zusammenfassung 3
2 nichtlineare Modele
2.1 1 Variable (S. 127) 2.1.1 Fixpunkt
Wie Station¨arzustand (1.1.2) (S. 130) dC
dt = 0 ⇒Fixpunkte 2.1.2 Stabilit¨atsberurteilung der Fixpunkte (S. 133f )
d dt
dC dt
<0 : stabil
>0 : instabil
= 0 : h¨ohere Ableitungen betrachten
stabil stabil stabil
instabil
instabil instabil
C(t)
∂C
∂t
2.2 mehrere Variablen (S. 146) 2.2.1 Fixpunkte (S. 147f )
dC1
dt = 0
dC2
dt = 0
... ... ... dCn
dt = 0
AlleCk∞bestimmen.
2.2.2 Stabilit¨atsberurteilung der Fixpunkte (S. 150) Jaccobi-Matrix (S. 148) berechnen:
dC1
dCdt2
dt...
dCn
dt
=
g1
g2 ... gn
⇒J =
dg1
dC1
dg1
dC2 · · · dCdg1
dg2 n
dC1
dg2
dC2 · · · dCdg2 .. n
. . .. ...
dgn
dC1 · · · dCdgn
n
Fixpunkte in Jaccobi-Matrix (J) einsetzen, die Eigenwerte dieser Matrix berechnen (event.
kleine Eintr¨age = 0 setzen). Verhalten der Fixpunkte auf Seite 150 ablesen.
