Richtungsableitung
Die Ableitung einer Funktionf : Rn3D→Rin Richtung eines Vektors v = (v1, . . . ,vn)t im Punktx ist die Steigung der univariaten Funktion t 7→f(x+tv) an der Stellet = 0:
∂vf(x1, . . . ,xn) = lim
t→0
f(x+tv)−f(x)
t =
d
dtf(x+tv)
t=0
. Speziell ist ∂ekf mitek demk-ten Einheitsvektor die partielle Ableitung bzgl. der k-ten Koordinate.
Aufgrund der Kettenregel gilt
∂vf(x) = (gradf(x))tv=∂1f(x)v1+· · ·+∂nf(x)vn. Die lokale ¨Anderung von f ist somit maximal (minimal) f¨ur v =sgradf(x) mits >0 (s <0).
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Die Richtungsableitung kann allgemeiner auch f¨ur eine vektorwertige Funktion f : Rn3D →Rm definiert werden. Bei der Berechnung ist dann der Gradient durch die Jacobi-Matrix zu ersetzen:
∂vf(x) =f0(x)v.
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Beispiel
Berechnung der Richtungsableitung der Funktion f(x,y) =x2y3 im Punkt (x,y) = (2,−1)
Gradient
gradf(x,y)|(2,−1) =
2xy3
3x2y2
(2,−1)
=
−4
12
Richtungableitung
∂vf(2,−1) = (−4,12) v1
v2
=−4v1+ 12v2
maximal f¨ur
v =s
−4
12
mits >0, also z.B. f¨urv = (−1,3)
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N¨aherung (lineare Taylor-Approximation) f¨ur den gr¨oßten lokalen Anstieg von f:
f(2−t,−1 + 3t) ≈ f(2,−1) +t∂vf(2,−1)
= −4 +t(−4,12)
−1
3
= −4 + 40t f¨ur kleine Werte von t
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