Klausurtraining Klausur 1 (Musterlösungen) Aufgabe 1:

Klausurtraining Klausur 1 (Musterlösungen)

Aufgabe 1: Ordnen Sie der Größe nach:

5 2,

15 7 ,

3 1,

10 7 ,

25 14,

5 3

Entweder durch Division und Vergleich der Dezimalzahlen oder durch Umformung auf Hauptnenner und Vergleich der Zähler:

150 60 5

2  ,

150 70 15

7  ,

150 50 3

1 ,

150 105 10

7  ,

150 84 25

14  ,

150 90 5 3

50 < 60 < 70 < 84 < 90 < 105 also:

10 7 5 3 25 14 15

7 5 2 3

1    

Aufgabe 2: Berechnen Sie in reiner Bruchrechnung, Ergebnis so weit wie möglich kürzen:

a)

6 1 6 5 5 4 4 3 3 2 2

1    

b)

60 213 60

50 48 45 40 30 6 5 5 4 4 3 3 2 2

1         

c)

60 37 60

50 48 45 40 30 6 5 5 4 4 3 3 2 2

1         

d)

60 53 60

43 60 10 60 43 6 ) 1 60

50 48 (45 6

4 ) 3 6 5 5 4 4 (3 3 2 2

1             

e)

24 1 24

16 17 6 4 24 17 6 4 12

9 8 2 1 6 5 5 ) 4 4 3 3 (2 2

1  







 













f)

144 11 6

1 24 11 6

5 120

11 6

] 5 120

96 [85 6 ] 5 5 4 24 [17 6 ] 5 5 4 12

9 8 2 [1 6 ] 5 5 ) 4 4 3 3 (2 2

[1                   

g)

120 31 20

31 6 1 20

16 15 6

4 ) 3 5 4 4 (3 3) 2 2

(1         

h)

48 37 6 1 8 37 6 5 40 37 6 ] 5 40

32 [ 5 6 ] 5 5 4 8 [ 1 6 ] 5 5 4 4 1 2 [ 1 6 ] 5 5 4 4 3 6 [ 1 6 ] 5 5 4 4 ) 3 3 2 2

[(1                          

i)

24 7 24

15 8 8 5 3 1 2 5 4 1 3 1 6 5 4 3 3 2 2

1          

Aufgabe 3: Welche Werte von x sind in den folgenden Bruchtermen „verboten“? Warum?

a) x

1 b) ₂ x

1 c)

x 2 1

1



 d) x 4

1

 e) ₂

x 1

1

 f) ₂

x 1

1

 Der Nenner darf nicht ‘0’ sein, daher:

a) x0 b) x0 c) 2

x 1 d) x4 e) x1 f) alle x erlaubt

Aufgabe 4: Die Kosten für ein Produkt teilen sich auf in 12

5 Materialkosten, 6

1 Energiekosten, 5 2 Lohnkosten, der Rest sind Transportkosten. Wie groß ist der Anteil (als Bruch!) der Transportkosten?

60 59 60

24 10 25 5 2 6 1 12

5       und der Rest zum Ganzen (1) ist dann

60 1 60 59 60 60 60

159    .

Aufgabe 5: Sie haben 1200 € auf Ihrem Sparbuch und erhalten 10 % Zinsen pro Jahr.

a) Wie groß ist Ihr Guthaben dann nach einem Jahr?

€ 1320 10

,

€ 1

1200  

b) Wie groß ist Ihr Guthaben nach zwei Jahren, wenn Sie kein Geld von dem Konto abheben?

€ 1452 10

,

€ 1

1320  

c) Um wie viel Prozent hat sich Ihr Guthaben in diesen zwei Jahren insgesamt vermehrt?

€

€ 252

€ 1200

1452   , 100% 21%

€ 1200

€

252  

oder alternativ: 1,101,101,21, also ebenfalls 21%.

Aufgabe 6: Ein Mantel kostet 100 €. Im Winterschlussverkauf wird der Kaufpreis um 20 % reduziert.

Nach dem Winterschlussverkauf wird der aktuelle Preis wieder um 20 % erhöht. Wie teuer ist der Mantel dann?

€ 80 80 ,

€ 0

100   , 80€1,2096€

Aufgabe 7: Berechnen Sie jeweils den Wert des Ausdrucks:

a) 5 5 25

5

5 _{100009998 2}

9998 10000





 ^

b) ^{2 1 2 2}

3 2003 2004 119 121 119 2004 3 2003

121

a 20 1 a 5 b 2

b a a 5 5 2 2 2

b a 5 b a 5

2            

Aufgabe 8: Schreiben Sie ohne Klammern und so einfach wie möglich (n{1,2,3,}):

2n ist immer „gerade“ (2, 4, 6, 8, …), 2n-1 ist immer „ungerade“ (1, 3, 5, 7, …):

a) (1)^2n 1 b) (1)^2n11 c) (a)² a² d) (a)⁵ a⁵ Aufgabe 9:

Rechnen Sie so weit wie möglich aus:

a) 2x3y4x5y6x3z12x8y3z

b) 4x²3x2x² 4x6x² x

c) 4x²54(2x²3)4x²58x²1212x²17 d) (x2)(x5)x²5x2x10x²3x10

e) (x2)²(x1)²x²4x4x²2x12x²2x5

f) 4x²8(2x3)(2x3)4x²8(4x²9)4x²84x²917

Aufgabe 10: Wandeln Sie die folgenden Produkte bzw. Potenzen in Summen um:

a) (1a)(2a)2a2aa² 2aa² b) (1a)(1a)1a²

c) (2x3)² 4x²12x9 d) (x5)² x² 10x25 e) (3x² 2)² 9x⁴12x² 4

Aufgabe 11: Lösen Sie die folgenden Gleichungen:

a) 16x2 / +x x 2

16  / -2 x

14 14 x

b) 3x42x10 / -2x 10

4

x  / -4 14

x

c) 2(x1)3x1 1 x 3 2 x

2    / -2x 1

x

2  / -1 x

1 1 x

d) (1x)(2x)1x²

2

2 1 x

x x 2 x

2    

2

2 1 x

x x

2    / x² 1

x

2  / -2 1

x

e) (x1)² (x2)²

4 x 4 x 1 x 2

x²   ²  / x² 4

x 4 1 x

2   

 / +4x

4 1 x

2   / -1 3

x

2  / :2 2

x 3

f) (x1)²(x1)² 4

4 ) 1 x 2 x ( 1 x 2

x²   ²  

4 1 x 2 x 1 x 2

x²   ²   4

x

4  / :4 1

x

g) (x2)(x3)(x1)(x4)12x x 2 1 ) 4 x x 4 x ( 6 x 2 x 3

x²    ²    

x 2 1 4 x x 4 x 6 x 2 x 3

x²    ²     x

2 1

2  / +2x 1

x 2

2  / -2 1

x

2  / :2 2 x1

Aufgabe 12: Ein Zahlenspiel für größere Kinder:

Ich denke mir eine Zahl, die ich Ihnen nicht verrate! 

Nun lassen Sie mich diese geheime Zahl mit 5 multiplizieren.  Danach fordern Sie mich auf, zum Ergebnis 6 hinzu zu addieren.  Nachdem ich dann noch einmal alles mit 4 multipliziert habe , soll ich noch 4 abziehen  und schließlich wieder mit 5 multiplizieren .

Nun fragen Sie mich nach meinem Ergebnis, und ich antworte wahrheitsgemäß: 1400.

Dann teilen Sie mir nach kurzer Überlegung mit, welche Zahl ich mir ursprünglich gedacht habe. Also, welche Zahl war es???

 x

 5x

 5x6

 4(5x6)

 4(5x6)4

 ⁵









5   





5  

E 100 x

100   100 E x 100  

100 100 x E

 oder 1

100 x E 

Für E=1400 war die gesuchte Zahl also 1 14 1 13 100

x1400    .

Aufgabe 13: Lösen Sie mit dem jeweils naheliegenden Verfahren die folgenden Gleichungssysteme:

a) 2x6y4 und 2x4y2 (Additionsverfahren: Addiere beide Gleichungen) 4

y 6 x

2  



2 y 4 x 2  

2 y 2 

 und daraus folgt y1

Einsetzen von y1 zum Beispiel in die zweite Gleichung liefert 2

1 4 x

2    2 4 x

2  

2 x 2 

1 x

Lösung also: x1, y1

b) 44y2x und 2x11y (Gleichsetzungsverfahren 2x= …) y

11 y 4

4  



11 y 5 4 

 15 y 5 

3 y

Einsetzen von y1 zum Beispiel in die zweite Gleichung liefert 2x1138 Lösung also: x4, y3

c) x₂¹y3 und ₂¹y1 (Einsetzungsverfahren, hier besonders einfacher Fall) Aus ₂¹y1 folgt y2 und Einsetzen in die erste Gleichung liefert x13 Lösung also: x2, y2

Aufgabe 14: Zeichnen Sie die zugehörigen Graphen in ein geeignetes Koordinatensystem!

a) yf(x)2x3 b) x 4 2 ) 3 x ( f

y   c) yf(x)2 d) x 3 ) 2 x ( f

y 

-4 -3 -2 -1 0 1

y

0 -1

x

-2 -3

-4 1 2 3 4

2 3 4

a b

c

d

Aufgabe 15: Siehe Abbildung rechts!

Ermitteln Sie die zugehörigen Geraden-

gleichungen. Heben Sie zunächst die eigentlichen Koordinatenachsen im Gitternetz farblich hervor!

Gerade 1:

2 x 3 8 y3 

Gerade 2: x 5 y3

Gerade 3: x 2 3 y4 

Gerade 4: x 2 3 y2 

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 -5

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

4

2 3 1

y

x

Aufgabe 16: Berechnen(!) Sie die Gleichung der Geraden, die durch die Punkte P(_{ }3| 3)

1 y 1 x

1   und

 |5) 1 ( P

2 2 y x

2 verläuft.

Allgemeine Geradengleichung: ymxb

Steigung: 2

4 8 1 3

5 3 x

x y m y

2 1

2

1 



 











 

Bisher also bekannt: y2xb

Einsetzen der Koordinaten entweder von Punkt 1 oder von Punkt 2 liefert Gleichung für b:

b 1 2

5   , so dass b3

Insgesamt also: y2x3 (wird von einer „Kontrollzeichnung“ bestätigt)

-4 -3 -2 -1 0 1

y

0 -1

x

-2 -3

-4 1 2 3 4

2 3 4

P²

P¹

b = 3