Prof.Dr. W.Koepf
Dipl.-Math. T.Sprenger Ubungen zur Vorlesung
Ubungsblatt 02 COMPUTERALGEBRA I 10.04.2008
Aufgabe 1: (Rationale Nullstellen ganzzahliger Polynome) Sei p(x) 2 Z[x] mit
p(x) =Xn
k=0
akxk:
Ferner sei b = rs 2 Q eine Nullstelle von p(x).
1. Zeigen Sie, dass r j a0 und s j an gilt.
2. Bestimmen Sie nun mit der Information aus 1. alle rationalen Nullstellen der folgenden Poly- nome
(a) x5+ 2x4 2x3+ x2 5x + 3
(b) x6+ 1024x5 1205x4 1227926x3+ 6235522x2+ 100003432x 6709248 (c) 90x5 159x4+ 163x3 115x2+ 43x 6.
(8 Punkte)
Aufgabe 2: (Karatsuba-Algorithmus fur Polynome)
1. Kopieren Sie die auf der Ubungshomepage zur Verfugung gestellte Implementierung des Karatsuba-Algorithmus in ihr Notebook.
2. Erlautern Sie zunachst grob die Vorgehensweise des Algorithmus. Danach gehen Sie ins Detail und beschreiben zeilenweise, was die eingesetzten Mathematica-Befehle bewirken.
3. Multiplizieren Sie nun die folgenden Polynome mit dem Karatsuba-Algorithmus und verglei- chen Sie mit der in Mathematica eingebauten Polynommultiplikation.
(a) a(x) = 4x6+ 3x5 x3+ 2x2 3x + 5 und b(x) = x7+ x5 x + 1
(b) zwei Polynome vom Grad 300 mit zufalligen Koezienten (siehe z.B. RandomInteger).
Begrunden Sie die Zeitunterschiede bei Teil (b).
(8 Punkte)
Abgabetermin: bis spatestens Donnerstag, 24.04.2008, 08.15 Uhr ansprenger@mathematik.uni-kassel.de.
