Der statische Auftrieb
Der Schweredruck
Eine Flüssigkeitssäule mit der Höhe z und dem Querschnitt A hat das Gewicht
zA g
G
Fl= ρ
FlEntsprechend übt sie auf ihren Boden den Schweredruck
z g p = ρ
Flaus.
F dr A dr
F dr A dr
Die auf ein Oberflächenelement eines Körpers wirkende Kraft r ergibt sich zu
A dr
F
r
d
A zd g
A pd F
d r
FLr
ρ
=
=
Die gesamte auf einen Körper infolge des Schweredruckes wirkende Kraft erhält man durch Integration über die gesamte Oberfläche zu
∫
= pd A
F r r
Die Auftriebskraft
Der resultierende Betrag der in z-Richtung wirkenden Kraft heißt Auftriebskraft. Man erhält ihn mittels
kr
A d k z g A
d k ) z ( p F
k ) z (
F
Ar r r r
Flr r
∫ = ∫ ρ
=
∗
=
.Durch Anwendung des Gauß’schen Satzes für ein beliebiges Vektor- feld
r
B
∫
=∫
VK
dV B div A
d
Br r r
,
wobei VK das von der Oberfläche A eingeschlossene Volumen ist, er- gibt sich mittels Substitution von r
durch r (r
: Einheitsvektor in z-Richtung)
B zk k
( )
KV V
V dV dV
k z div A
d k z
K K
=
=
=
∫
∫
r r∫
rMit dieser Identität folgt für die Auftriebskraft:
K Fl
A
g V
F = ρ
Für die x- und y- Komponente der Kraft erhält man den Betrag Null.
Dies folgt aus div
( ) ( )
zri =div zrj =0.Die Auftriebskraft ist dem Betrag nach gleich dem Gewicht der Flüs- sigkeit vom Volumen Vk. Dies entspricht der Aussage des
Archimedischen Prinzips:
Der Auftrieb ist gleich dem Gewicht der verdrängten Flüssigkeitsmenge.
