ldenktatssat-teindenlig.Bsp.io II

Det f f _holomorph

,

dawn

heist f analytics

^che

Fortsetzung

^von

^{faut ti}

^{, wenn}

gilt

^:

f-

^2-EU:

flz

^{) =}

f-

^{(z) .}

Bein

Gibt ^{es in U} einen

Hoiufungspunkt

^{, dann ist die}

aualytrsche Fortsetzung

nach dem

ldenktatssat-teindenlig.Bsp.io f

^G)i=

⇐ o

^{e" ist holo}

^{morph auf}

^Ui--

^f

^{Ze G}

^/

^later

^}

^.

f-

^{Lz) (t-z)-' ist}

analytes

^{che Fort}

setting

^von

^{f auf Ellis}

^.

°

Die

^"

Riemann

'sche Zeta^-Funklion^" ist durch

GH

^:--

II ^{¥ auf}

U^:--

Tze GI

^{Retz)> t}

) defruiwt

^und

holomorph

^.

^Sie

^{besitzt eine}

analyksohe Fortsetzuug ^{auf Elf )}

^.

Def

^.:

osei

^{isolierte12--zo|UeE (¢}

^Singular

^0,

^often

^{E) =\,und:tat2-EU,}

^fiU→

^{weun1 Fe}

^holomorph

^{>0: . Zoe 1}

^{\U heipt}

^u

÷i :b :YrI

.us?I:iteitIamIsaHQ#ZoansFortsetzunganfUufzBbes;tzt.9esPart

° Pol

,

wenn zo nicht hebbar ist and

ein new

exiskert

_, so dass _zo

hebbare Singular

^{'tat von}

zt^>

(

z^.zo)^"

flz

^{) ist.}

Das

kleinste

derwtrge

ⁿ

heipt

Ordnung

^{des Pols.}

° wesentliche

Singular

^itat

falls

^{sie Weder hebbw noch ein}

^Pol

^ist.

sin (z)

Bsp

^{.: °}

f

^{: 2- '→ Z hat oils}

ant

⁶¹

^to} holomorphe

^{Fkt. eine} hebbwe isoliwte

Singnlaritat

bei -20=0 .

Aualytische Fortsetzung ^auf

^{¢ ist : z to}

n£g

^C-A"(

^{2¥ "n}

^,,

° 1st

g

^{: U→ 1}

holomorph

, Zoe U und

glzo

^{) FO , daun hat}

^flzsi

^: ₍

§ . ↳ }oy

bei zo linen

Pol

n^.ter

Ordunng

^.

° z 1->

e%

ist

holomorph ^auf

¹

^{Ito }}

^{und hat bei zo :O eiue}

wesentliche

Singulwitat ⁽

^Bewes's

^{spotter )}

^.

Satz

:

(

Riemann^'scher

Hebbwkeitssatz )

Eine isolierte

Singular

^{'tat zoEU von}

^f

^:Ultzo

^}

^{→ 6 ist}

genan

^{dann hebbw,}

weun

f

^{in einer}

punktierteu _Umgbuug

^{non zo} beschroinkt ist

, d. h.

7.⁽C-R 7e >0 ^: lz^-2-ol E (⁰,E)

If

^{G)Ie c} .

Bewis

^{: o}

^Besitzt f

^line

analytisohe Fortsetzung ^{anf Uutzo }}

^{, so ist disc bei zo}

stelrg

^{and damit in einw}

Umgebung

^{non zo} beschroinkt.

) ^(z.zo)'

flz

⁾, zt

Zoo

^{Far die}

^{Umkehrung definite g}

^{: U→ E ,}

^{gl ÷} |

^{o , z=zo .}

Da Lin lost^'-540^'t = him /z^.

zollflz

^{)I = 0} , 2-→zo I 2-^-Zo/ z→zo

ist g

holomorph

^{bei zo unit}

glzo

⁾⁼

_g

^'Go):O.

Daher

gilt

^:

glz

^{) =}

⇐

_, ^cu(z-zo)" , so dass ^{Z '→}

⇐ z

^{Cn (2--to)"" die}

aualytrsche Fortsetzuug

^non

^{f anf}

^{Uutzo} ist.}

D

Ben

^{.: ° D.h. eine isolate}

Singular

^'tat

^isthebbar

^,

genan

^{dann wenn sie}

"

gntwtrg

^{" in Sinne von} besahiauktist. 1st die

Singulwitat

^{bei zo}

^dagegcn

wesentlich _, daun ^ist

f

^a

beliebig

^{wild" in ihrer}

Umgebung

^{: Nach dem}

^Satz

von Picard nimmt

f

ⁱⁿ

jedu Umgebung

^{um zo}

^jeden

^{Wert in Clan, unit}

hochsteus einer Ausuahme. Z.B.

gilt

^:

He

^{>0V.WE 6140}: Fze¢: Izl<En}

eh

⁼ W.

Def

^{.: Fir}

koelfizieuteu

^{cc G#und}

^zizoec heipt

^{die Reihe}

• -h

H^:-. I c._n (2-^-to)

tlanptteil

^und

h=|

N^{: :}

Ego

^{cn (z- Zo)" Nebeuteil der} Ldurentreihe

⇐

_←^cn(Z-Zo)

"

:= H+ N

.

Diese

heipt (

^absolut,

gleiohniapig

^{, ...}

⁾ konvergent

^{, weun dies}

for

N und H

zntrifft

^.

Ben

^{.: °}

^{1st F}

^{E [0in]}

konvergenzradius

^von

II

^{c.uz" und}

^Re

^{[0, a}

^]

konvergenzradius

^von

⇐ ocuz

^{" , dann}

konvergiert

^die

Lanreutreihe auf

^dem

^Kreis _ring

knrlzo

^{) :=}

^{

^{2-e ¢}

^/

^{1.2.zol e (r,R)}

}

und ist dart

holomorph

^.

•Zo

•Zo ^•Zo

Nebenteil

konvergiert

Lanrentreihe

konrergiert

Hanptteil kouvergiert

Lemma

^:

kouvergiert ^flzsi

^'s

^{-2 cult}

^-to

⁾

"

ant knrlzo

^{) , damn}

gilt

^unit

ht 2

y^{:[ on ] → ¢ , t H}

zo+5e2tit

, Sc- (^r_,R) :

a⁼

IF §

^,

^¥¥oy+i

^{dz truck}

Beweis

^:

§

⁽

z.tl?gn+id2 =p ^{track §}

^(2.→

^OF

^{"" dt =}

gun

gl

^.

konuvgeut

^-

=

⇐

_, ^cu

)o

"

( ^sdtit )

"^'""

ziisiriitdt

^{= za:}

In a.) ^{( siuit )}

^""at

= Ziti Cn ^.

D

Satti ( Lanrentreiheueutwicklung ⁾

er

1st

f

^: knrlzo^{)→ 6}

holomorph

^{, dauu}

gilt

it

^{r R}

flz

^{) =}

§¥cn

^{(Z-to)" unit cu wie oben. %}

frei

homotop ^zu

Beweis

^{; Sci} y^{:[ oil]→}

knrlzo

⁾ ,

ylt

^{).z + Ee}

'"'t

, e^s0.

Naoh dem

Cauchy

^'schen

lnlegralsatt gilt

^: _L

ziti

faith ; ^{'t a} .tn#ft4if...ifH

^.

^"

^{' °Zo}

stuff 'hii÷ok+f;¥I+Yh'¥H ^"

^"

Einsetzen du

geometrischen ^Reihe liefertdaun

^die

Laurentreihe

.

D

rokar: 1st

flz

^):

^[

^{cn G-to)}

"

konvergint ^{ant karlto}

^{), r '0 unit isolierter}

nE7-

Singwlarikat

^{be: zo , dann}

gilt

^:

zo ^ist hebbar ⇐7

Hanptteilverschwindet

zoist ^Pol

^n.ter

Orduuug

^⇐>

Hanptteilbnichtab

^{unit c.}

into

^{^ VK> n:c.k:O.}

zo ist wesenthich ⇐>

Hauptteil

^{bricht nioht ab}, d. h.

V.

NEW Fksn^{: c.}

k¥0

^.

1

=

^

- 1

Bsp

^{. : °}

ftz

^{) =} z ( z^. y

)

^{z -n 2}

oo

= ^-

tz

^-

^[

^z"

anf Kon

^1°

⁾

h= O

oo

1 1

= ^-

a.a.^z

,

= z^.

}

^-

^[

^(at)"

^{anf Ko}

^,.cn)

z ^- y _n=O

to

_.''"

y\#••µ¢

^{0 ^}

^konl

^"

spiegelnsioh ^Pole

^enter

^Ordung

wider durch^be: c^ooey.,-tO &

c.n=O tn^>1.

°

flzs

^:

eh

⁼

⇐ ^I

^{: z'"}

^{auf kaoo}

^{(o) hat}

^wesentkche Singulwitatbei

zo :O

, da

Homptteil

^{wicht abbricht.}

Lemma

^:

konuvgiert

flzsi

^.

^-2

^{NEZ cn (z-zo)"}

^{anf kr ,rGo}

^{) unit reR , dann}

^gilt

^;

c._, ⁼ 0

f

^besitet

ant knrlzo

^{) line}

holomorphe Stannmfnnkkon

^.

Bewu

^{'s: Flz).'}

^[

(

{ In

^{, (z.zo}

⁾

^{" F}

'=f

^.

NEZY^-n} ^D