Zoo II

47

Bewis

^{: o} Besitzt

f

^line

analytisohe Fortsetzung ^{anf Uutzo} }

,

so ist disc bei _zo

stelrg

^{and damit in einw}

Umgebung

^{non zo} beschroinkt .

) ^{(z. zo)'}

flz

⁾, zt

Zoo

Far die

Umkehrung definite _g

^{: U→ E} ,

gl⇒÷ |

^{o , z=zo .}

Da Lin lost^'-540^'t = him /z^.

zollflz

^{)I = 0} ,

2-→ zo I 2- ^-Zo / _z→zo

ist g

holomorph

^{bei zo unit}

glzo

^{) =}

_g

^{'Go) :O .} Daher

gilt

^:

^glz

^{) =}

⇐

,

cu (z^-zo)^"

, so dass ^{Z ' →}

⇐z

^{Cn (2-- to)" " die}

aualytrsche

Fortsetzuug

^non

^f

^{anf Uutzo } ist.}

D

Ben

^{.: ° D. h. eine isolate}

Singular

^{' tat}

^isthebbar

^,

genan

^{dann wenn sie}

"

gntwtrg

^{" in Sinne von} besahiauktist . 1st die

Singulwitat

^{bei zo}

^dagegcn

wesentlich _, daun ^ist

f

^a

beliebig

^{wild " in ihrer}

Umgebung

^{: Nach dem}

^Satz

von Picard nimmt

f

ⁱⁿ

^jedu Umgebung

^{um zo}

jeden

^{Wert in Clan , unit}

hochsteus einer Ausuahme . Z.B.

gilt

^:

He

^{> 0 V. WE 6140}: Fze ¢ : Izl < En}

eh

⁼ W .

Def

^{.: Fir}

koelfizieuteu

^{cc G # und}

^zizoec heipt

^{die Reihe}

• - h

H ^:-. I c._n (2-^- to)

tlanptteil

^und

h=|

N ^::

Ego

^{cn (z- Zo)}

"

Nebeuteil der Ldurentreihe

⇐

←

cn (^Z- Zo)

"

:= H+ ^N .

Diese

heipt (

^absolut ,

gleiohniapig

^{, ...}

⁾ konvergent

,

weun dies

for

N und H

zntrifft

^.

Ben

^{.: °}

^{1st F}

^{E [ 0in ]}

konvergenzradius

^von

II

^{c. uz " und}

^Re

^{[0, a}

^]

konvergenzradius

^von

⇐ ^ocuz

^{" , dann}

konvergiert

^die

Lanreutreihe auf

^dem

^Kreis _ring

knrlzo

^{) :=}

^{

^{2-e ¢}

^/

^{1.2. zol e (r,R)}

}

und ist dart

holomorph

^.

48

•Zo

•Zo ^• Zo

Nebenteil

konvergiert

Lanrentreihe

konrergiert

Hanptteil kouvergiert

Lemma

^:

kouvergiert flzsi

^'s

^{-2 cult}

^{- to}

⁾

"

ant knrlzo

^{) , damn}

gilt

^unit

ht 2

y ^{:[ on ] → ¢ , t H}

zo+5e2tit

,

Sc- (^r_,R) :

a ⁼

IF § ^¥¥oy+i

^{, dz truck}

Beweis

^:

§ z.tl?gn+id2

⁽

^track =p ^§

^{(2. →}

^OF

^{" " dt =}

gun

gl

^.

konuvgeut

^-

=

⇐

,

cu

)o

"

( ^{sdtit )}

"^' " "

ziisiriitdt

^{= za :}

In a.) ^{( siuit )}

^{"" at}

= Ziti Cn .

D

Satti ( Lanrentreiheueutwicklung )

er

1st

f

^: knrlzo ^{) → 6}

holomorph

^{, dauu}

gilt

it

^{r R}

flz

^{) =}

§¥cn

^{(Z-to)" unit cu wie oben . %}

frei

homotop ^zu

Beweis

^{; Sci} y ^{:[ oil] →}

knrlzo

⁾ ,

ylt

^{) . z + Ee}

' "'t

, e ^s0 .

Naoh dem

Cauchy

^'schen

lnlegralsatt gilt

^: _L

ziti

faith ^'t ; ^a .tn#ft4if...ifH

^.

^"

^{' °Zo}

stuff 'hii÷ok+f;¥I+Yh'¥H ^"

^"

Einsetzen du

geometrischen ^Reihe liefertdaun

^die

Laurentreihe

.

D

49 rokar : 1st

flz

^{) :}

^[

^{cn G- to)}

"

konvergint ^ant karlto

⁾,

r' 0 unit isolierter

n E 7-

Singwlarikat

^{be: zo , dann}

gilt

^:

zo ^ist hebbar ⇐7

Hanptteilverschwindet

zoist Pol

^n.ter

Orduuug

^⇐>

Hanptteilbnichtab

^{unit c.}

into

^{^ VK>n :c .k :O .}

zo ist wesenthich ⇐>

Hauptteil

^{bricht nioht ab},

d. h. V. NEW Fksn ^{: c.}

k¥0

^.

1

=

^

- 1

Bsp

^{. : °}

ftz

^{) =} z ( z^{. y}

)

^{z - n 2}

oo

= ^- tz ^-

[

z

"

anf Kon

^1°

⁾

h= O

oo

1 1

= ^-

a. a. ^z

,

=

z

}

^{. -}

^[

^{( at )"}

^{anf Ko}

^,.cn)

z ^- y _n=O

to

.'

y\#••µ¢

'" ^{0 ^}

^konl

^"

spiegelnsioh ^Pole

^enter

^Ordung

^{wider durchbe: c.ooey, -tO &}

c. n=O tn ^{> 1.}

°

flzs

^:

eh

⁼

⇐ ^I

^{: z' "}

^{auf kaoo}

^{(o) hat}

^wesentkche Singulwitatbei

zo :O

, da

Homptteil

^{wicht abbricht .}

Lemma

^:

konuvgiert

flzsi

.

-2

^{cn (z- zo)}

"

anf ^{kr ,rGo}

^{) unit re R} , dann

gilt

^;

NEZ

c._, ⁼ 0 ⇒

f

^besitet

ant knrlzo

^{) line}

holomorphe Stannmfnnkkon

^.

Bewu

^{'s: Flz ) .'}

[

₍

{

^{, (z. zo}

In ⁾

^{" ⇒ ⇒ F}

'=f

^.

NEZY ^-n} ^D

50

Def

^{.: Sei}

f

^:

^Ko

^,

^,zlZo

^{) → ¢}

holomorph

^und

glt

^{) = z•+ se "tit} ,

t£[ on ]

,

Seco ,R).

Reszo

⁽

^f

^{) i=}

IT

^.

§ ^flz

^{) dz}

^heipst

^das

^Residuum

^von

^f

^{beizo .}

korollw

^:

f

^{(z) =}

§z

^on

⁽

^{z' zo}

⁾

^{" ⇒}

^Result

^{) = c. ,}

Beweis ^:

Dies folgtunmittelbar

^{aus dem} Laurentreihen ^-

Entwicklungssatz

^. D

Satz

: Sci Ue 1

offen

,

S

^:

=L

zn, ^{- ..}, zn

}

^EU und y ^{:[ on] → Uls eine}

gcschlossene

^{kurve ohne}

liberschneidungen

^{, die in U}

unlthomotop

^{ist und 5}

gegen

^den

Uhrzeigersinn

^einmal

^umkreist

^.

^Dann gilt for jede auf

^MS

holomorphe

^Funktiou

f.

^{Uls → ¢ :}

U

§ ^flz

^{) dz = Ziti}

¥ ^Reszslf

^{) c•} z_, i

Beni

^:

Ersjtte .gg#.nninetdIEsEtEg;p:knrrer:@r

• Z}

t i i

Kreis

umzj Verbindungswege

^heben

siohweg

Dam

^.'t

^ist § ^flz

^{)dz =}

§ fcz

^{)dz u}

=

IT ¥ f.

^{" " = ""}

^¥

^'

^Rest

^'s

^{'t )}

^.

"§t

• 2}

D