Analysis II - Vorlesungsscript FSU Jena - SS 2007

Analysis II - Vorlesungsscript FSU Jena - SS 2007

Stilianos Louca 9. November 2007

Inhaltsverzeichnis

1 Vorwort 4

1.1 Was dies ist . . . 4

1.2 Verbesserungen . . . 4

2 Analysis I - Fortsetzung 5 2.1 Uneigentliche Integrale,Γ-Funktion . . . 5

2.1.1 Definition: Uneigentliche Integrale . . . 5

2.1.2 Integralkriterium f¨ur Reihen . . . 5

2.1.3 Definition:Γ-Funktion . . . 5

2.1.4 H¨oldersche Ungleichung . . . 6

3 Analysis II - Metrische und normierte R¨aume 7 3.1 Metrische R¨aume . . . 7

3.1.1 Definition: Metrik, metrische R¨aume . . . 7

3.1.2 Cauchy-Schwarzsche Ungleichung . . . 7

3.1.3 Minkowski Ungleichung . . . 7

3.1.4 Definition: Kugel . . . 7

3.1.5 Definition: H¨aufungspunkt . . . 7

3.1.6 Definition: Innerer Punkt . . . 8

3.1.7 Definition: ¨Außerer Punkt . . . 8

3.1.8 Definition: Randpunkt . . . 8

3.1.9 Definition: Konvergente Folgen . . . 8

3.1.10 Definition: Beschr¨ankte Folgen . . . 8

3.1.11 Definition: Cauchyfolgen . . . 8

3.1.12 Definition: Vollst¨andiger metrischer Raum . . . 9

3.1.13 Definition: Grenzwerte von Funktionen . . . 9

3.1.14 Definition: Stetigkeit . . . 9

3.1.15 Definition:ε−δ−Definition von Stetigkeit . . . 9

3.1.16 Rechenregeln . . . 9

3.1.17 Definition: gleichm¨aßige Stetigkeit . . . 9

3.1.18 Definition: Offene und abgeschlossene Mengen . . . 9

3.1.19 Definition: Kompakte Menge . . . 10

3.1.20 Der Banachsche Fixpunktsatz in vollst¨andigen metrischen R¨aumen . . . 10

3.2 Normierte R¨aume . . . 11

3.2.1 Normierter Raum . . . 11

3.2.2 Definition: Banachraum . . . 11

3.2.3 Beispiele: Funktionenr¨aume . . . 11

3.2.4 Gleichm¨aßige Konvergenz und Integration . . . 12

3.2.5 Definition: Endlich dimensionale normierte R¨aume . . . 12

3.2.6 Definition: ¨Aquivalenz von Normen . . . 13

3.3 Stetige, lineare Abbildungen (Operatoren) zwischen normierten R¨aumen . . . 13

3.3.1 Definition: Lineare Abbildungen . . . 13

3.3.2 Definition: Beschr¨ankte, lineare Abbildungen . . . 13

4 Differentiation 15 4.1 Definition, Beispiele, Rechenregeln . . . 15

4.1.1 Definition: Differenzierbarkeit . . . 15

4.1.2 Definition: Ableitung, Differentiation . . . 15

4.1.3 Rechenregeln . . . 15

4.1.4 Definition: Richtungsableitung . . . 16

4.2 Differentiation vonRⁿ -R^m Funktionen . . . 16

4.2.1 Definition: Partielle Ableitung . . . 16

4.2.2 Darstellung der Ableitung vonRⁿ -R^mFunktionen. . . 17

4.2.3 Definition: Gradient . . . 17

4.2.4 Kettenregel . . . 18

5 Mittelwerts¨atze, H¨ohere Ableitungen, Taylorsche Satz, lokale Extrema 19 5.0.5 VektorwertigesR-Integral . . . 19

5.0.6 Definition: Polygonzug . . . 20

5.1 Multilineare Abbildungen & H¨ohere Ableitungen . . . 20

5.1.1 H¨ohere partielle Ableitungen vonRⁿ→R . . . 20

5.1.2 H¨ohere (totale oder Fr´ech´et) Ableitungen . . . 21

5.1.3 Definition: 2 Ableitung . . . 21

5.1.4 Bilineare Abbildung . . . 21

5.1.5 Multilineare Abbildungen . . . 22

5.2 Taylor Formel . . . 23

5.2.1 Multiindexschreibweisen der Taylorformel . . . 23

5.2.2 Taylorpolynom & Taylorreihe . . . 24

5.2.3 Eindeutigkeit von Taylorpolynom . . . 25

5.2.4 Taylorreihe . . . 25

5.3 Lokale Extrema . . . 25

5.3.1 Definition: Lokale Extrema . . . 25

5.3.2 Definition: Hesse Matrix . . . 25

5.3.3 Kriterien f¨ur positiv definite Matrixen . . . 26

5.4 Implizite Funktionen . . . 26

5.4.1 Definition: Implizite Funktion . . . 26

5.4.2 Hauptsatz ¨uber Implizite Funktionen . . . 27

5.5 Extrema mit Nebenbedingungen . . . 27

5.5.1 Definition: Extremum mit Nebenbedingungen . . . 27

5.5.2 Praktische L¨osung der Extremwertaufgaben . . . 28

5.5.3 Eine hinreichende Bedingung f¨ur das Vorliegen von lokales Extrema unter Nebenbedingungen . 29 6 Geometrische Begriffe 30 6.1 Kurven . . . 30

6.1.1 Definition: Kurve . . . 30

6.1.2 Definition: Tangentenvektor . . . 30

6.2 Fl¨achen und Tangentialebenen . . . 30

6.2.1 Definition: Fl¨ache . . . 30

6.2.2 Definition: Tangentialebene . . . 30

6.2.3 Definition: Niveaufl¨ache . . . 30

6.2.4 Niveaufl¨ache und Gradient . . . 31

7 Wegintegrale 32 7.1 Rektifizierbare Wege . . . 32

7.1.1 Definition: Weg-Kurve . . . 32

7.1.2 Definition: Rektifizierbarer Weg . . . 32

7.1.3 Definition: Rektifizierbarkeit . . . 32

7.2 Wegintegrale von Skalar- & Vektorfeldern . . . 34

7.2.1 Definition: Wegintegrale . . . 34

8 Mehrdimensionale Integrale 35 8.1 Riemansches Integral . . . 35

8.1.1 Definitionen: Zerlegungen . . . 35

8.1.2 Definition: Obersumme, Untersumme . . . 35

8.2 Riemansches Integral auf einemn-dimensionalen IntervallI⊂Rⁿ . . . 36

8.2.1 Definition: Darbouxsches Integral . . . 36

8.3 Iterierte Intervalle, Satz von Fubini . . . 36

8.3.1 Satz von Fubini . . . 36

8.4 Rieman Intervalle und beschr¨ankte Mengen imRⁿ . . . 37

8.4.1 Definition:R-Integrierbar . . . 37

8.4.2 Definition: Nullmenge . . . 37

8.4.3 Definition: J-messbare Menge . . . 38

8.4.4 Definition: Normalbereich . . . 38

8.4.5 Integration ¨uber Normalbereiche . . . 38

8.4.6 Substitutionsregel (oder Transformationsformel) f¨ur Integrale ¨uberRⁿ . . . 38

8.4.7 Prinzip von Cavaleri . . . 39

8.5 Uneigentliche Riemansche Integrale . . . 39

8.5.1 Definition: Aussch¨opfungsfolge . . . 39

8.5.2 Definition: Uneigentliches Riemansches Integral . . . 40

9 Einige Anwendungen in der Physik 41 9.1 Koordinatentransformationen . . . 41

9.1.1 Kugelkoordinaten . . . 41

9.1.2 Elliptische Koordinaten . . . 41

9.1.3 Zylinderkoordinaten . . . 42

9.1.4 Elliptische Zylinderkoordinaten . . . 42

9.2 K¨orper mit Massendichteρ= 1 . . . 43

9.2.1 Definition: Schwerpunkt . . . 43

9.2.2 Definition: Tr¨agheitsmoment . . . 43

1 Vorwort

1.1 Was dies ist

Hierbei handelt es sich um grobe Aufzeichnungen des Stoffes der im SS 2007 an der FSU Jena von Prof. Bernd Carl im Fach Analysis II gelehrt wurde. Dabei sind Beispiele und Beweise im allgemeinen nicht vorhanden da ich selber nur endlich viel Zeit habe.

1.2 Verbesserungen

Ich werde immer mal dieses Skript verbessern bzw. erweitern. Im Falle von Fehlern, ist mir Bescheid zu sagen das beste was du machen kannst da so alle davon profitieren k¨onnen. Wissen ist das einzige auf dieser Welt das vom Teilen mehr wird!

Ich bin zu erreichen unterstilianos.louca@apfel.uni-jena.de, ohne dasObst.

2 Analysis I - Fortsetzung

2.1 Uneigentliche Integrale, G -Funktion

2.1.1 Definition: Uneigentliche Integrale

• Integrationsgrenze ist unendlich

Seif : [a,∞)→R:∀R > a:f ∈ R[a, R] und lim

R→∞

Z R a

f dx existiert.

Dann heißt das Integral Z ∞

a

f dxkonvergent und man setzt Z ∞

a

f dx:= lim

R→∞

Z R a

f dx Analog definiert man

Z a

−∞

f dxf¨urf : (−∞, a]→R.

• Der Integrant ist an einer Integrationsgrenze nicht definiert Seif : (a, b] :∀0< ε < b−a:f ∈ R[a+ε, b] und lim

ε→0

Z b a+ε

f dxexistiert.

Dann heißt das Integral Z b

a

f dxkonvergent und man setzt Z b

a

f dx:= lim

ε→0

Z b a+ε

f dx

• Beide Integrationsgrenzen sind kritisch

Seif : (a, b)→R, a∈R∪ {−∞}, b∈R∪ {∞}:∀ [α, β]⊂(a, b) :f ∈ R[α, β] und seiα < c < β beliebig.

Falls:

Z c a

f dx= lim

α→a

Z c α

f dx ∧ Z b

c

f dx= lim

β→b

Z β c

f dx konvergent sind, heißt das Integral

Z b a

f dxkonvergent und man setzt Z b

a

f dx:=

Z c a

f dx+ Z b

c

f dx

2.1.2 Integralkriterium f¨ur Reihen

Satz 4.1 Seif : [1,∞)→[0,∞] monoton fallend. Die Reihe

∞

X

n=1

f(n) ist konvergent⇔ Z ∞

1

f(x)dxkonvergent.

2.1.3 Definition: Γ-Funktion F¨urx >0 setzt man

Γ(x) :=

Z ∞ 0

t^x−1e^−tdt Γ : (0,∞)→(0,∞) ist wohldefiniert.

Satz 4.2 F¨ur Γ : (0,∞)→(0,∞) gelten folgende Eigenschaften:

• Γ(1) = 1

• Γ(x+ 1) =x·Γ(x)

• Γ ist logarithmisch konvex, d.h

Γ(ϑx+ (1−ϑ)y)≤[Γ(x)]^ϑ·[Γ(y)]^1−ϑ

• Insbesondere gilt: Γ(n+ 1) =n!

Bemerkung: Erf¨ullt eine FunktionF : (0,∞)→(0,∞) die Eigenschaften (i), (ii) und (iii) vom Satz 4.2, dann ist F = Γ.

2.1.4 H¨oldersche Ungleichung Sind 1< p, q <∞, 1

p+1

q = 1. Dann gilt:

Z b a

|f(x)| · |g(x)| ·dx≤ Z b

a

|f(x)|^p·dx

!_p¹

· Z b

a

|g(x)|^q·dx

!¹_q

3 Analysis II - Metrische und normierte R¨ aume

3.1 Metrische R¨ aume

3.1.1 Definition: Metrik, metrische R¨aume

Sei∅ 6=X eine Menge. Eine Abbildungd:X×X →[0,∞) heißt Metrik aufX :⇔

• Definitheit:d(x, y) = 0 ⇔ x=y

• Symmetrie: ∀x, y∈X :d(x, y) =d(y, x)

• Dreiecksungleichung:∀ x, y, z∈X :d(x, y)≤d(x, z) +d(z, y) Das Paar (X, d) heißtmetrischer Raum.

Beispiele

• (R, d), d(x, y) :=|x−y|

• (Rⁿ, d), x= (x1, ..., xn), y= (y1, ..., yn)∈Rⁿ – Euklidische Metrik : d(x, y) :=

n

X

i=1

|x_i−y_i|²

!¹₂

– Maximum Metrik :d(x, y) := max{|xi−yi|, i= 1, ..., n}

– Summen Metrik oder Manhattan Metrik :d(x, y) :=

n

X

i=1

|xi−yi|

3.1.2 Cauchy-Schwarzsche Ungleichung

∀n∈N:∀a1, ..., an, b1, ..., bn∈R:

n

X

i=1

aibi

≤

n

X

i=1

|aibi| ≤

n

X

i=1

|ai|²

!¹₂

·

n

X

i=1

|bi|²

!¹₂

Bemerkung: F¨ur 1< p, q <∞mit ¹_p+¹_q = 1 gilt sogar:

n

X

i=1

a_ib_i

≤

n

X

i=1

|a_ib_i| ≤

n

X

i=1

|a_i|^p

!_p¹

·

n

X

i=1

|b_i|^q

!¹_q

3.1.3 Minkowski Ungleichung F¨ur beliebigesp∈[1,∞) gilt:

∀ n∈N:∀a₁, ..., a_n, b₁, ..., b_n∈R:

n

X

i=1

|ai+b_i|^p

!¹_p

≤

n

X

i=1

|ai|^p

!¹_p +

n

X

i=1

|bi|^p

!¹_p

3.1.4 Definition: Kugel

Sei (X, d) ein metrischer Raum,a∈X, r≥0. Dann heißtBr(a) :={x∈X :d(x, a)≤r} abgeschlossene Kugel mit Mittelpunktaund Radiusr. Analog heißt

◦

Br:={x∈X :d(x, a)< r}offene Kugel mit Mittelpunktaund Radiusr.

3.1.5 Definition: H¨aufungspunkt

SeiX ein metrischer Raum undM ⊂X. Ein Punktx₀∈X heißt H¨aufungspunkt der MengeM :⇔

∀ε >0 :Bε(x0)∩(M \ {x0}) 6= ∅

3.1.6 Definition: Innerer Punkt

SeiX ein metrischer Raum undM ⊂X. Ein Punktx0∈M heisstinnerer Punkt der MengeM :⇔

∃ε >0 :Bε(x0)⊂M

DasInnere int(M) einer MengeM ist die Menge der inneren Punkte vonM.

3.1.7 Definition: ¨Außerer Punkt

SeiX eine metrischer Raum undM ⊂X. Ein Punktx0∈X\M heisst¨außerer Punkt vonM :⇔ x0 ist ein innerer Punkt vonX\M. DasAußere¨ ext(M) einer MengeM ist die Menge der ¨außeren Punkte vonM.

3.1.8 Definition: Randpunkt

SeiX ein metrischer Raum undM ⊂X. Ein Punktx₀∈X heisstRandpunkt vonM :⇔ x₀ ist weder innerer noch

¨außerer Punkt vonM, d.h

∀ε >0 : (M∩B_ε(x₀)6=∅) ∧ (B_ε(x₀)∩X\M 6=∅)

DerRand ∂M einer MengeM ist die Menge der Randpunkte vonM. Aufgrund der Symmetrie der Definition gilt

∂M =∂(X\M).

3.1.9 Definition: Konvergente Folgen

Sei (X, d) ein metrischer Raum. Eine Folge (x_n)⊂X heißt Konvergent :⇔

∃ a∈X:∀ε >0 :∃n₀(ε)∈N:∀n∈N:n≥n₀(ε) ⇒ d(x_n, a)≤ε Man sagt die Folge ist konvergent gegena.

Satz 0.1 : Grenzwert einer Folge

Sei (xn)⊂X konvergent gegen a∈X. Dann ista eindeutig bestimmt und heißtGrenzwert oderLimes der Folge (xn). Schreibweisen: lim

n→∞xn =a, xn →a.

Satz 0.2 : Teilfolgen

Sei (X, d) ein metrischer Raum. Eine Folge (xn) ⊂ X konvergiert gegen a ∈ X genau dann wenn: jede Teilfolge (xn_k)⊂(xn) gegen akonvergiert.

3.1.10 Definition: Beschr¨ankte Folgen

Sei (X, d) ein metrischer Raum. Eine Folge (x_n)⊂X heißt beschr¨ankt :⇔

∃a∈X :∃ M ≥0 :∀n∈N:d(x_n, a)≤M Alle Glieder der Folge (xn) liegen in einer KugelBM(a) mit RadiusM.

Satz 0.3: Jede konvergente Folge (xn) ist beschr¨ankt.

3.1.11 Definition: Cauchyfolgen Eine Folge (x_n)⊂X heißt Cauchyfolge :⇔

3.1.12 Definition: Vollst¨andiger metrischer Raum

Ein metrischer Raum (X, d) heißt vollst¨andig :⇔Jede Cauchyfolge inX ist konvergent.

3.1.13 Definition: Grenzwerte von Funktionen

Seien (X, d), (Y,d) metrische R¨ˆ aume und f :D ⊂X →Y eine Funktion. Dann seia∈X ein Punkt mit folgender Eigenschaft

∃(x_n)⊂D: limx_n=a Eine Funktionf :D→Y hat inadenGrenzwert c:⇔

∀(xn)⊂D: limxn=a ⇒ limf(xn) =c Schreibweisen: lim

x→af(x) =c 3.1.14 Definition: Stetigkeit

Seien (X, d), (Y,d) metrische R¨ˆ aume,f :D⊂X →Y unda∈D. Die Funktion f heißt stetig ina:⇔ lim

x→af(x) = f(a).

f heißt stetig inD:⇔f ist in jedem Punkt vonD stetig.

3.1.15 Definition: ε−δ−Definition von Stetigkeit

Seien (X, d), (Y,d) metrische R¨ˆ aume undf :D⊂X→Y eine Funktion.f ist stetig ina∈D:⇔

∀ ε >0 :∃ δε(a)>0 :∀x∈D:d(x, a)≤δε(a) ⇒ dˆ(f(x), f(a))≤ε bzw.

∀ε >0 :∃δε(a)>0 :f Bδ_ε(a)(a)∩D

⊂Bε(f(a)) Beide Definitionen sind ¨aquivalent!

3.1.16 Rechenregeln

a) Sei (X, d) ein metrischer Raum,D⊂X. Sindf, g:D→Rstetig ina∈X ⇒ f +g, f·g, λ·f (λ∈R) sind auch stetig ina.

Istg(a)6= 0 so ist auch f

g :D⁰ :={x∈D:g(x)6= 0} →Rauch stetig ina

b) SeienX, Y, Zmetrische R¨aume,D⊂X, E⊂Y, f :D→Y, g:E→Z, f(D)⊂E. Dann gilt: Istf ina∈D stetig undg inf(a) stetig⇒ g◦f ≡g(f) ist inastetig.

3.1.17 Definition: gleichm¨aßige Stetigkeit

Eine Funktionf :D⊂X →Y heißtgleichm¨aßig stetig auf D:⇔

∀ ε >0∃δε>0 :∀x, y∈D:d(x, y)≤δε ⇒ dˆ(f(x), f(y))≤ε

Istf :D⊂X →Y gleichm¨aßig stetig ⇒f ist aufDstetig. Die Umkehrung gilt im allgemeinen nicht!

3.1.18 Definition: Offene und abgeschlossene Mengen

• Die MengeO⊂X heißtoffen :⇔ ∀ x∈O:∃ε >0 :Bε(x)⊂O

• Die MengeA⊂X heißtabgeschlossen :⇔ X\A ist offen.

Satz 0.4 Eine TeilmengeA⊂X ist abgeschlossen⇔ ∀ (xn)⊂A: (xn)konvergent in X⇒ a:= limxn∈A.

Satz 0.5 SeienX, Y metrische R¨aume. Dann sind ¨aquivalent a) f :X→Y ist stetig

b) ∀ O⊂Y offen : f⁻¹(O) ist offen inX

c) ∀ A⊂Y abgeschlossen :f⁻¹(A) ist abgeschlossen inX. 3.1.19 Definition: Kompakte Menge

SeiX ein metrischer Raum. Eine MengeK⊂X heißt kompakt :⇔Jede Folge ausKenth¨alt eine inK konvergente Teilfolge, d.h

∀(x_n)⊂K:∃ (x_nk)⊂(x_n) : lim

k→∞x_nk∈K Satz 0.6 SeiK⊂X kompakt. Dann istK beschr¨ankt und abgeschlossen.

Bemerkung:Die Umkehrung gilt im allgemeinen nicht! In (R,|·|) gilt jedoch auch die Umkehrung.

Satz 0.7 SindX, Y metrische R¨aume,K⊂X kompakt undf :K→Y stetig, dann gilt a) f ist gleichm¨aßig stetig

b) f(K) ist kompakt

Satz 0.8 : Maximum und Minimum von reellwertigen Funktionen auf kompakten Mengen SeiX ein metrischer Raum,K⊂X kompakt undf :K→Rstetig. Dann gilt:

∃ p, q∈K:f(p) =sup{f(x) :x∈K}, f(q) =inf{f(x) :x∈K}

Mit anderen Worten,f nimmt aufK ihr Maximum und Minimum an.

3.1.20 Der Banachsche Fixpunktsatz in vollst¨andigen metrischen R¨aumen

Bemerkung: Eine abgeschlossene TeilmengeAeines vollst¨andigen metrischen Raumes ist ebenfalls ein vollst¨andiger metrischer Raum.

Der Banachsche Fixpunktsatz - Prinzip der kontrahierenden Abbildung: Sei (X, d) ein vollst¨andiger metrischer Raum und f : X → X eine kontrahierende Abbildung, d.h ∃ 0 ≤α < 1 :∀ x, y ∈ X : d(f(x), f(y))≤ α·d(x, y). Dann gilt:

a) ∃!a∈X :f(a) =a

b) Seix₀∈X beliebig und (x_n)⊂X eine Folge definiert als x_n+1=f(x_n). Dann gilt: limx_n=a, f(a) =a.

c) Fehlerabsch¨atzung:

d(a, x_n)≤ αⁿ

1−α·d(x₁, x₀)

3.2 Normierte R¨ aume

3.2.1 Normierter Raum

SeiEein linearer Raum (Vektorraum) ¨uberK=RoderC. Eine Funktionk·k:E→[0,∞) heißtNorm aufE, wenn f¨ur beliebigex, y∈E undα∈Kdie folgenden Eigenschaften gelten:

a) kxk ≥0 undkxk= 0⇔ x= 0 b) Homogenit¨at: kαxk=|α| · kxk

c) Dreiecksungleichung:kx+yk ≤ kxk+kyk Das Paar (E,k·k) heißtnormierter Raum.

Bemerkung Durch den Ansatz d(x, y) :=kx−yk wird auf E eine Metrik erkl¨art. Damit ist E insbesondere ein metrischer Raum.

Begriffe wiekonvergente Folge, Cauchyfolge, konvergente Reihe, offene-abgeschlossene-kompakte Mengen, vollst¨andig normierte R¨aume etc. werden mit Hilfe dieser Metrik erkl¨art.

Beispiele

• R:= [R,|·|]

•

h

Rⁿ,k·k_pi

, x= (x1, ..., xn)∈Rⁿ

kxk_p:=











n

X

i=1

|xi|^p

!_p¹

: 1≤p <∞

max{|xi|,1≤i≤n} :p=∞ 3.2.2 Definition: Banachraum

Ein vollst¨andiger, normierter (Vektor)Raum heißtBanachraum 3.2.3 Beispiele: Funktionenr¨aume

• Der normierte Raum der beschr¨ankten Funktionen auf eine Menge Ω : [B(Ω),k·k_∞] B(Ω) :={f : Ω→R:f beschr¨ankt}, kfk_∞:=sup{|f(x)|:x∈Ω}

B(Ω) ist ein normierter, linearer Raum.

• Der normierte Raum der beschr¨ankten und stetigen Funktionen auf einem metrischen Raum [X, d] : [C_β(X),k·k_∞] Cβ(X) :={f :X →R:f beschr¨ankt und stetig}, kfk_∞:=sup{|f(x)|:x∈X}

* IstX ein kompakter metrischer Raum so gilt [C(X),k·k_∞]≡[Cβ(X),k·k_∞]

• Der normierte Raum derR-Integrierbarer Funktionen : [R[a, b],k·k_∞] R[a, b] :={f ∈B[a, b] :f R −Integrierbar}

• h

C[a, b],k·k_pi

, kfk_p= Z b

a

|f(x)|^pdx

!¹_p

•

C¹,k·k_∞

, C¹[a, b] :={f ∈C[a, b] :f stetig dif f erenzierbar in(a, b)}

Bemerkung: Falls Ω ={1, ..., n}→^f Rdann gilt:

• B(Ω)∼=Rⁿ, f↔(f(1), ..., f(n)), kfk_∞=sup{|f(i)|, i∈Ω}=max{|f(i)|, i∈Ω}

• Analog: C(Ω)∼=Rⁿ

Satz 1.1 [B(Ω), k·k_∞], [Cβ(X), k·k_∞], [R[a, b], k·k_∞] sind Banachr¨aume.

Folgerung: [Rⁿ,k·k_∞] ist ein Banachraum dennB({1, ..., n})∼=Rⁿ. Bemerkung: h

C[a, b], k·k_pi , h

C¹[a, b], k·k_pi

sind keine Banachr¨aume.

Bemerkung: Die Konvergenz bzgl.k·k_∞heißt gleichm¨aßige Konvergenz von Funktionen inB(Ω), C_β(X), R[a, b] : kf_n−fk_∞→0 bzw.f_n^k·k→^∞f

⇔ ∀ε >0 :∃nε∈N:∀ n≥nε:kfn−fk_∞≤ε

⇒ ∀ε >0 :∃nε∈N:∀ x∈X ∀n≥nε:|fn(x)−f(x)| ≤ε Beachteden Unterschied zurPunktweise Konvergenz von Funktionen:fn

punktweise

→ f :⇔

∀x∈X, ∀ ε >0 :∃nε∈N:∀n≥nε:|fn(x)−f(x)| ≤ε bzw.

∀ x∈X:f_n(x)→f(x)

Aus gleichm¨aßiger Konvergenz folgt punktweise Konvergenz. Die Umkehrung gilt im allgemeinen nicht!

3.2.4 Gleichm¨aßige Konvergenz und Integration

Satz 1.2 Sei (fn)⊂ R[a, b] gleichm¨aßig konvergent gegenf,fn k·k_∞

→ f. Dann ist f ∈ R[a, b] und es gilt:

n→∞lim Z b

a

fn(x)dx= Z b

a

f(x)dx= Z b

a

n→∞lim fn(x)dx

Bemerkung:Obere Aussage gilt im allgemeinen nicht im Fall von punktweise Konvergenz von Funktionen!

3.2.5 Definition: Endlich dimensionale normierte R¨aume Ein VektorraumE uber¨ K=RoderCheißt endlich-dimensional :⇔

∃m∈N:∃x1, ..., xm∈E:∀x∈E:∃α1, ..., αn∈K:x=

n

X

i=1

αixi

Man setzt

dim E:= min (

m∈N| ∃x1, ..., xm∈E:∀x∈E:∃α1, ..., αn ∈K:x=

n

X

i=1

αixi

)

Beispiele:Rⁿ undCⁿ sindn-dimensionale Vektorr¨aume.

Satz 1.3 : Satz von Bolzano Weierstras

SeiK⊂Rⁿ. Dann gilt:K ist kompakt in [Rⁿ, k·k_∞]⇔ Kist abgeschlossen und beschr¨ankt in [Rⁿ, k·k_∞].

3.2.6 Definition: ¨Aquivalenz von Normen

SeiE ein Vektorraum undk·k_o , k·k zwei Normen aufE. k·k_oundk·kheißen ¨aquivalent :⇔

∃C0, C >0 :∀x∈E:kxk_o≤C0· kxk ∧ kxk ≤C· kxk_o

Bemerkung:Aquivalenz von Normen ist eine ¨¨ Aquivalenzrelation! Das heißt es gilt insbesondere Symmetrie, Refle- xivit¨at und Transitivit¨at.

Satz 1.4 : Auf einem endlich dimensionalen Vektorraum ¨uberRbzw. Csind alle Normen ¨aquivalent. Das heißt, istE ein endlich-dimensionaler Vektorraum ¨uberRbzw.Cund sindk·k₁, k·k₂Normen auf E, dann

∃c, C >0 :ckxk₁≤ kxk₂≤Ckxk₁ ∀x∈E Satz 1.5 :

a) Ein endlich dimensionaler normierter Raum ¨uberRoderCist ein Banachraum, d.h ein vollst¨andiger, normierter Vektorraum.

b) Bolzano Weierstrass Eigenschaft

SeiKeine Menge eines n-dimensionalen normierten Raumes. Dann gilt:Kist kompakt⇔Kist abgeschlossen und beschr¨ankt.

Bemerkung: Es gilt sogar: Sind in einem Banachraum E die beschr¨ankten und abgeschlossenen Mengen kompakt⇒So istE endlich dimensional.

3.3 Stetige, lineare Abbildungen (Operatoren) zwischen normierten R¨ aumen

3.3.1 Definition: Lineare Abbildungen

SeienE, F Vektorr¨aume ¨uberK(K=RoderC). Eine AbbildungA:E→F heißt linear :⇔

∀ α, β∈K∀x, y∈E:A(αx+βy) =αA(x) +βA(y) 3.3.2 Definition: Beschr¨ankte, lineare Abbildungen

SeienE, F normierte R¨aume. Eine lineare AbbildungA:E→F heißt beschr¨ankt :⇔

∃M ≥0 :∀ x∈E:kAxk_F ≤M · kxk_E

Es gilt: Die MengeL(E, F) :={A:E→F |A linear und beschr¨ankt} ist ein Vektorraum.

Durch kAk:= sup{kAxk_F :kxk_E≤1} wird auf L(E, F) eine Norm (Operatornorm) erkl¨art, d.h [L(E, L), k·k] ist ein normierter Raum.

Es gilt außerdem: kAxk_F ≤ kAk · kxk_E ∀ x ∈ E denn kAxk_F = A

x kxk_E

F

· kxk_E ≤ kAk · kxk_E da

x kxk_E

E

= 1

Komposition von linearen, beschr¨ankten, Operatoren SindE, F, Gnormierte R¨aume undA∈ L(E, F), E ∈ L(F, G) lineare Operatoren, dann giltBA≡B◦A∈ L(E, G) undkABk ≤ kAk · kBk.

Satz 1.6: SeienE undF normierte R¨aume. Dann gilt:

A:E→F ist linear und stetig ⇔ Aist linear und beschr¨ankt, d.hA∈ L(E, F).

Bemerkung: Ist eine lineare AbbildungA:E→F stetig in 0, so ist sie stetig∀ x₀∈E denn:

x→xlim0

Ax= lim

x→x0

[A(x−x0) +Ax0] = lim

x→0Ax+Ax0= A0

|{z}

0

+Ax0=Ax0

Satz 1.7: SeienE, F normierte R¨aume, und dim E <∞. Dann ist jede lineare AbbildungA:E→F beschr¨ankt und somit auch stetig.

Satz 1.8: SeiE ein normierter Raum, undF ein Banachraum. Dann ist [L(E, F),k·k] ein Banachraum.

4 Differentiation

4.1 Definition, Beispiele, Rechenregeln

4.1.1 Definition: Differenzierbarkeit

SeienE undF Banachr¨aume undD^o⊂E eine offene Menge.

Eine Abbildungf :D^o→F heißt inx∈D^odifferenzierbar :⇔

∃A∈ L(E, F), ∃r(h), ∃δ >0 :∀ h∈E,khk ≤δ:x+h∈D ∧ f(x+h) =f(x) +A(h) +r(h) ∧ lim

h→0

r(h) khk = 0 Bemerkung: Differentiation von f in x∈ D^o bedeutet eine Approximation durch eine affine lineare Abbildung f(x) +A(h) mit der Eigenschaft dass

h→0lim

f(x+h)−f(x)−A(h)

khk = lim

h→0

r(h) khk = 0 Setzt man

ˆ r(h) :=







r(h)

khk :h6= 0 0 :h= 0 so ist ˆrin h= 0 stetig.

Bemerkung: ¨aquivalent zur Definition der Differentiation vonf in x∈D^o ist die folgende:

∃A∈ L(E, F)∃ˆr∃δ >0 :∀ khk ≤δ:x+h∈D^o ∧ f(x+h) =f(x) +A(h) +khk ·r(h)ˆ ∧ lim

h→0r(h) = 0ˆ Satz: Es gilt:A∈ L(E, F) ist eindeutig bestimmt.

4.1.2 Definition: Ableitung, Differentiation

Seien E, F Banachr¨aume und f : D^o ⊂E → F, D^o :of f en, in x∈D^o differenzierbar. Dann heißt der eindeutig bestimmte OperatorA∈ L(E, F) mit

f(x+h) =f(x) +Ah+r(x, h), lim

khk→0

r(x, h) khk Ableitung (oder Fr´echet Ableitung) undAhDifferential der Funktionf im Punktx.

Schreibweisen:f⁰(x) := (Df)(x) :=A, f⁰(x)h:= (Df)(x)h:=Ah

Bemerkung: Sind E, F Banachr¨aume, f : D^o ⊂ E → F in D^o differenzierbar, dann ist die Ableitung eine Abbildung f⁰ :D^o→ L(E, F). Ferner ist f¨urE=F =R:L(R,R)∼=R

Satz 1.2: Seien E, F Banachr¨aume und f : D^o ⊂ E → F, D^o : of f en, in x∈ D^o differenzierbar, so ist f in x stetig.

4.1.3 Rechenregeln

a) SeienE, F Banachr¨aume,f, g:D^o⊂E→F, D^o:of f en,inxdifferenzierbar. Dann sindf+gundα·f, α∈R in x∈D^o differenzierbar, und es gilt

(f+g)⁰(x) =f⁰(x) +g⁰(x), (α·f)⁰(x) =α·f⁰(x)

b) SeiE ein Banachraum und f, g:D^o ⊂E →R, D^o :of f en,in x∈D^o differenzierbar. Dann sindf·g,^f_g f¨ur g(x)6= 0 inxdifferenzierbar, und es gilt

(f·g)⁰(x) =f⁰(x)·g(x) +f(x)·g⁰(x), f

g 0

(x) =f⁰(x)·g(x)−f(x)·g⁰(x) (g(x))²

c) Kettenregel: Seien E, F Banachr¨aume, f : D^o ⊂ E → F, in x ∈ D differenzierbar und g : ˆD^o ⊂ F → G, f(D)⊂Dˆ^oin f(x) differenzierbar. Dann istg◦f inx∈D^odifferenzierbar, und es gilt

(g◦f)⁰(x) =g⁰(f(x))◦f⁰(x) bzw.

(g◦f)⁰(x)h=g⁰(f(x))f⁰(x)h Bemerkung:

f⁰(x)∈ L(E, F), g⁰(f(x))∈ L(F, G), g⁰(f(x))◦f⁰(x)∈ L(E, G) 4.1.4 Definition: Richtungsableitung

Seien E, F Banachr¨aume und 0 6= h ∈ E . Existiert f¨ur eine Funktion f : D^o ⊂ E → F im Punkt x ∈ D^o der Grenzwert

t→0,t∈limR

f(x+th)−f(x) t

so heißt

∂f

∂h(x) := lim

t→0

f(x+th)−f(x) t

Richtungsableitung von f im Punktxin Richtungh.

Bemerkung:In der Literatur wird oft gefordert dasskhk= 1.

Satz 1.3: SeienE, F Banachr¨aume undf :D^o⊂E→F in x∈D^odifferenzierbar. Dann existiert die Richtungs- ableitung ∂f

∂h(x) f¨ur jede Richtungh6= 0 und es gilt

∂f

∂h(x) =f⁰(x)h denn

∂f

∂h(x) = lim

t→0

f(x+th)−f(x)

t = lim

t→0

f⁰(x)th+r(th)

t =f⁰(x)h+ lim

t→0

r(th) kthk · khk

| {z }

0

=f⁰(x)h

Bemerkung: Die Umkehrung gilt im Allgemeinen nicht!

Die Richtungsableitung ist also das Differential in Richtunghund liegt somit in F.

Schreibweisen:

∂f

∂h(x), ∂f(x+th)

∂t |t=0, (Dhf)(x)

4.2 Differentiation von R

- R

Funktionen

4.2.1 Definition: Partielle Ableitung

Seif :D^o⊂Rⁿ→R^meine reellwertige Funktion. Existiert im Punktx= (x1, ..., xn)∈D^o die Richtungsableitung

∂f

∂ei

(x) = lim

t→0

f(x+te_i)−f(x)

t , e_i= (0,0, ...,0,1,0, ...0,0) so heißt

∂f

∂xi

(x) := ∂f

∂ei

(x) partielle Ableitung von f nach der i-ten Koordinate im Punkt x. Anders:

Bemerkung: Die partiellen Ableitungen einer Funktionf :D^o⊂Rⁿ→R^mkann man als gew¨ohnliche Ableitungen von Funktionen eine Variablen interpretieren, indem man nach der i-ten Koordinaten differenziert und die ¨ubrigen als konstant betrachtet.

4.2.2 Darstellung der Ableitung vonRⁿ -R^m Funktionen.

Satz 2.1: Seif :=







 f1

f2

...

fm









:D^o⊂Rⁿ→R^m, fi:D^o⊂Rⁿ→Rim Punktx∈D^o differenzierbar.

Dann gilt f¨ur die Ableitung vonf die Matrixdarstellung:

f⁰(x) =











∂f₁

∂x1

(x) ... ∂f₁

∂xn

(x) ... ... ...

∂fm

∂x₁(x) ... ∂fm

∂x_n(x)











Bemerkung: Die Existenz der partiellen Ableitungen vonf :D^o⊂Rⁿ →R^mreicht im allgemeinen nicht f¨ur die differenzierbarkeit vonf aus.

Satz 2.2: Seif :=







 f1

f2

...

fm









:D^o⊂Rⁿ →R^m, fi:D^o⊂Rⁿ →Reine Funktion, so dass die partiellen Ableitungen

∂fi

∂x_j in D^o existieren und im Punktx∈D^o stetig sind. Dann ist f in xdifferenzierbar und es gilt die Formel von Satz 2.1:

f⁰(x) = ∂f_i

∂xj

(x)

i=1...m, j=1...n

Bemerkung:fi sind alle jeweils differenzierbar⇔ f ist differenzierbar.

4.2.3 Definition: Gradient

Seif :D^o⊂Rⁿ→Rso dass die partiellen Ableitungen ∂f

∂xi

(x), i= 1, ..., nin x∈D^o existieren. Dann heißt grad f(x) :=

∂f

∂x1

(x), ..., ∂f

∂xn

(x)

Gradient vonf an Stellex∈D^o. Bemerkung:

a) f muss nicht notwendigerweise inx∈D^o differenzierbar sein.

b) Istf in xdifferenzierbar, so gilt f⁰(x) = grad f(x). F¨ur die Richtungsableitung in Richtung h= (h₁, ..., h_n) gilt dann

∂f

∂h(x) =f⁰(x)h= (grad f(x))h=

n

X

i=1

∂f

∂x_i(x)·h_i

Die Richtungsableitung ist also das Standardskalarprodukt zwischen Ableitung und Richtungsvektor.

Satz 2.3: Seif :D^o⊂Rⁿ →Rin x∈D^o differenzierbar. Istgrad f(x) = 0 so verschwinden alle Richtungsablei- tungen ∂f

∂h(x) in x. Istgrad f(x)6= 0 so gibt es unter allen Richtungsableitungen mitkhk= 1 eine gr¨oßte, n¨amlich die Richtung des Gradienten mit

∂f

∂h(x) =kgrad f(x)k₂

4.2.4 Kettenregel

Seien u = (u1, ..., um) : D ⊂ Rⁿ → R^m, g : M ⊂ R^m → R, u(D) ⊂ M, f = g◦u in x ∈ D bzw. u(x) ∈ M differenzierbar. Also:

f(x) =f(x1, ..., xn)≡g(u1(x), ..., um(x)) =g(u1(x1, ..., xn), ..., um(x1, ..., xn)) Dann gilt dieKettenregel

∂f

∂xk

(x) =

m

X

i=1

∂g

∂ui

(ui(x))· ∂ui

∂xk

(x) Spezialfall:u=u(t) :R→R^m → f =f(t) :R→R. Dann gilt

f˙=df dt =

m

X

i=1

∂g

∂ui

·du_i dt =

m

X

i=1

∂g

∂ui

·u˙

5 Mittelwerts¨ atze, H¨ ohere Ableitungen, Taylorsche Satz, lokale Extre- ma

Satz 3.1 (Mittelwerts¨atze f¨ur reellwertige Funktionen) Seif :D^o ⊂Rⁿ →R und aufD^o differenzierbar.

x, x+hseien zwei Punkte ausD^oundx+th∈D^o ∀0≤t≤1. Dann existiert einϑ∈(0,1) mit f(x+h)−f(x) =f⁰(x+ϑh)h

Bemerkung: In der Version gilt der MWS f¨ur vektorwertige Funktionen nicht mehr! Beispiel:

f : [0,2π]→R², f(t) :=

cost sint

→ ¬∃0< ϑ <1 :f(2π)−f(0) =f⁰(ϑ2π)2π

5.0.5 Vektorwertiges R-Integral Seif =



 f₁

..

f_m



: [a, b]→R^m, wobeif_i: [a, b]→R, i= 1, .., mR-Integrierbar sind. Dann heißt

Z b a

f(t)dt:=





 Rb

a f1(t)dt ...

Rb

a f_m(t)dt





 dasR-Integral vonf uber [a, b].¨

Bemerkung: f ist z.b R-Integrierbar wenn f stetig ist. Analog definiert man f¨ur A : [a, b] → L(Rⁿ,R^m) das R-Integral als

Z b a

A(t)dt:=

Z b a

a_ij(t)dt

!

i=1,...,m, j=1,...,n

Ferner:

Z b a

A(t)h dt=

"

Z b a

A(t)dt

# h

Hilfssatz (∆-Ungleichung) F¨ur jede stetige Funktion f : [a, b]→Rⁿ gilt

Z b a

f(t)dt ₂

≤ Z b

a

kf(t)k₂dt Bemerkung:Diese Ungleichung gilt auch f¨ur beliebige Normenk·kaufRⁿ.

Veranschaulichung des Hilfssatzes: Stellt man sich unterf(t) die Geschwindigkeit eines Massenpunkts vor, so ist

s= Z b

a

kf(t)k₂dt der gesamte zur¨uckgelegte Weg, und

k∆~rk₂=

Z b a

f(t)dt ₂

einfach der Abstand zwischen End- und Anfangspunkt. Letzterer ist offensichtlich kleiner als der erste.

Satz 3.2 - MWS f¨ur vektorwertige Funktionen Seif :D^o⊂Rⁿ →R^mstetig differenzierbar, undx, x+h∈D^o und∀0≤t≤1 :x+th∈D^o. Dann gilt:

f(x+th)−f(x) = Z 1

0

f⁰(x+th)h dt

Veranschaulichung: Durch die Substitution~u:=x+thergibt sich f(x+h)−f(x) =

Z x+h x

f⁰(~u)d~u∼=

Z f(x+h) f(x)

df Ferner gilt:

kf(x+th)−f(x)k₂≤ sup

0≤t≤1

kf⁰(x+th)k

| {z }

Operatornorm

· khk₂

5.0.6 Definition: Polygonzug

a) SeiE ein normierter Raum und x0, x1, ..., xn∈E. Dann heißt P :=

n

[

i=1

{(1−ϑ)xi−1+ϑxi : 0≤ϑ≤1}

Polygonzug durch die Punkte x0, x1, ..., xn.

b) D ∈E heißt Polygonzugzusammenh¨angend :⇔ ∀x, y∈D :∃ein Polygonzug P ⊂D durch x₀, x₁, ..., x_n mit x₀=xundx_n=y.

Satz 3.3: Seif :D^o⊂Rⁿ→R^mdifferenzierbar,D^o polygonzugzusammenh¨angend, undf⁰= 0 auf D^o. Dann ist f =constaufD^o.

Bemerkung:Man nennt eine MengeD Gebiet :⇔ D ist offen und polygonzugzusammenh¨angend.

5.1 Multilineare Abbildungen & H¨ ohere Ableitungen

5.1.1 H¨ohere partielle Ableitungen von Rⁿ→R

Notationen: Seif :D^o⊂Rⁿ →Reine partiell differenzierbare Funktion. Sind die partiellen Ableitungen ∂f

∂xi

, i= 1, ..., n : D^o ⊂ Rⁿ → R selbst wieder differenzierbar, so heißt f zweimal partiell differenzierbar. Man kann die partiellen Ableitungen 2er Ordnung bilden:

∂²f

∂x_i∂x_j(a) = ∂

∂x_i ∂f

∂x_j

(a) f¨ura∈D^o.

Weitere Schreibweisen:

(∂_i(∂_jf)) (a) = (∂_i∂_jf) (a) F¨uri=j schreibt man

∂²f

∂x²_i(a) = ∂²f

∂xi∂xi

(a)

Allgemeiner definiert man durch Induktion: f : D^o ⊂ Rⁿ → R heißt (k+ 1)-mal partiell differenzierbar wenn sie k-mal differenzierbar ist und alle Ableitungenk-ter Ordnung ∂^kf

∂xi_k...∂xi₁

:D^o→Rpartiell differenzierbar sind. Eine Funktionf :D^o⊂Rⁿ →Rheißt k-mal stetig partiell differenzierbar wenn sie k-mal partiell differenzierbar ist und alle partiellen Ableitungen der Ordnung≤k stetig sind.

5.1.2 H¨ohere (totale oder Fr´ech´et) Ableitungen 5.1.3 Definition: 2 Ableitung

Seien E, F Banachr¨aume und f : D^o ⊂ E → F in D^o differenzierbar, d.h f⁰(x) ∈ L(E, F) existiert f¨ur jedes x ∈ D^o. Ist f⁰ : D^o ⊂ E → L(E, F) in a ∈ D^o differenzierbar, so heißt f in a zweimal differenzierbar. Es ist (f⁰)⁰(a)∈ L(E,L(E, F)) und definieren die zweite Ableitung vonf inadurch:

f⁰⁰(a)(k, h) := ((f⁰)⁰(a)k)h fur k, h¨ ∈E Somit ist

f⁰⁰:D^o⊂E→ L(E,L(E, F)) Beispiele:

a)

f :D⊂R→R^m, f =



 f₁

..

f_m



, f_i:D⊂R→R

f⁰(x) =







 f₁⁰(x) f₂⁰(x)

..

f_m⁰ (x)









∈ L(R,R^m), f⁰(x)h∈R^m, f⁰ :D⊂R→ L(R,R^m)∼=R^m

f⁰⁰:D⊂R→R^m, f⁰⁰=



 f₁⁰⁰(x)

..

f_m⁰⁰(x)



, f⁰⁰(x)(k, h) =





f₁⁰⁰(x)kh ..

f_m⁰⁰(x)kh



 b)

f :D⊂Rⁿ →R, f(x) =f(x₁, ..., x_n), f⁰(x) = grad f(x) = (∂₁(x), ..., ∂_n(x))∈ L(Rⁿ,R)

f⁰(x)h=

n

X

i=1

∂f

∂xi

(x)hi∈R

(f⁰(a+k)−f⁰(a))h=

n

X

i=1

[∂_if(a+k)−∂_if(a)]h_i=

n

X

i=1





n

X

j=1

∂²f

∂xj∂xi

(a)k_j+r(k)



h_i

=

n

X

i=1





n

X

j=1

∂²f

∂x_i∂x_j(a)kjhi



+

n

X

i=1

r(k)hi

⇒ f⁰⁰(k, h) = ((f⁰)⁰(a)k)h=

n

X

i=1 n

X

j=1

∂²f

∂xj∂xi

(a)kjhi

(f⁰)⁰(a)∈ L(Rⁿ,L(Rⁿ,R)), (f⁰)⁰ :D⊂Rⁿ→ L(Rⁿ,L(Rⁿ,R))∼=L(Rⁿ,Rⁿ)

5.1.4 Bilineare Abbildung

SeienE, F, GBanachr¨aume undA∈ L(E,L(F, G)). Durch B(x, y) := (Ax)y∈Gf¨urx∈E, y∈F wird eine stetige bilineare Abbildung B:E×F →Gerkl¨art, wobei eine Norm aufE×F durchk(x, y)k:= max{kxk,kyk}gegeben ist undE×F zum Banachraum wird.

Bemerkung: B heißt bilinear, wennB in jeder Komponente eine lineare Abbildung ist, d.hB(·, b) :E→Gund B(a,·) :F →Gsind lineare Abbildungen∀a∈E, b∈F.

Ferner gilt:

kBk:= sup{kB(x, y)k:kxk ≤1, kyk ≤1}= sup

kxk≤1

sup

kyk≤1

k(Ax)yk= sup

kxk≤1

kAxk_L(F,G)=kAkL(E,L(F,G))

Beschr¨anktheit: Eine bilineare AbbildungB:E×F →Gheißt beschr¨ankt, fallskBk<∞. Dann wird die Menge L(E×F, G) := {B : E×F → G : B beschr¨ankt und bilinear} und kBk zu einem Banachraum. Es gilt B ist beschr¨ankt⇔ B ist stetig⇔ ∃M ≥0 ∀(x, y)∈E×F :kB(x, y)k ≤M· kxk · kyk

Isometrie: Durch ϕ(A)(k, h) := (Ak)h wird eine lineare Isometrie von L(E,L(F, G)) auf L(E×F, G) definiert, d.hϕist linear und es gilt

kϕ(A)k=kAk Damit ist die 2e Ableitung eine stetige bilineare Abbildung, mit

f⁰⁰(a)∈ L(E×E, F)∼=L(E,L(E, F)), f⁰⁰(a)(k, h) = (f⁰)⁰(a)kh 5.1.5 Multilineare Abbildungen

Analog wird eine k-Lineare AbbildungT :E1×...×Ek →F als eine in jede Komponente lineare Abbildung definiert.

Sie ist stetig fallskTk:= sup{kT(x1, ..., xk)k:kx1k, ...,kxkk ≤1}<∞.

L(E1×...×Ek, F) :={T :E1×...×Ek→F :T stetig k−linear}

SeienE, F Banachr¨aume undD^o⊂E. F¨urk∈Nwird rekursivC^k(D^o, F) :={f ∈C¹(D^o, F) :f⁰∈C^k−1(D^o, F)}

wobei C¹(D^o, F) :={f :D^o→F, f stetig dif f erenzierbar in D^o}. ¨Ahnlich wie im Fallk= 2 wird f¨urC^k(D^o, F) die k-te Ableitungf^(k)(a)∈ L(E^k, F), E^k :=E×...×E als stetige k-lineare Abbildungf^(k)(a) : E^k →F erkl¨art, die durchf^(k)(a)(h1, ..., hk) := f^(k−1)0

(a)(h1)(h2, ..., hk) definiert ist, wobei f^(k−1)0

(a)∈ L(E,L(E^k−1, F)).

Satz 3.2 : Schwarz : SeienE =Rⁿ, F =R^m, D^o ⊂E undf ∈C¹(D^o,R^m) so dass f⁰ in a∈D^o differenzierbar ist. Dann gilt:

f⁰⁰(a)(k, h) =f⁰⁰(a)(h, k)∀k, h∈Rⁿ

Seif :D^o ⊂Rⁿ→Rstetig partiell differenzierbar und existieren s¨amtliche partielle Ableitungen 2er Ordnung und sind diese Ableitungen stetig ina∈D^o, so gilt

∂²f

∂x_i∂x_j(a) = ∂²f

∂x_j∂x_i(a), i, j= 1, ..., n Bemerkung:Der Satz von Schwarz ist ohne die stetige Bedingung von ∂²f

∂xi∂xj

in a∈D^oi.a nicht richtig.

Folgerung: Istf ∈C^k(D^o⊂Rⁿ,R^m), so gilt

∂^kf

∂x_i1...∂x_ik = ∂^kf

∂x_iπ(1)...∂x_iπ(k) f¨ur jede Permutationπ.

5.2 Taylor Formel

Die Taylor-Formel f¨ur reelle Funktionenf :D⊂R→Rmit Lagrange-Restglied lautet:

f(a+h) =f(a) +f⁰(a)h+...+f^(k)

k! (a)h^k+ f^(k+1)

(k+ 1)!(a+ϑh)h^k+1 f¨ur ein 0≤ϑ≤1, oder Integralrestglied

f(a+h) =f(a) +f⁰(a)h+...+f^(k)

k! (a)h^k+ 1 k! ·

Z 1 0

(1−t)^kf^(k+1)(a+th)h^k+1dt

| {z }

(R^a_kf)(h)

Motiviert durch die Taylorformel f¨ur reelle Funktionen entwickeln wir eine Taylor-Formel f¨urRⁿ−R^mFunktionen.

Sei f ∈ C^k(D^o ⊂ E, F) wobei E, F Banachr¨aume sind. Dann ist die k-te Ableitung f^(k)(a) ∈ L(E^k, F) eine k-lineare Abbildung und aus dem Satz von Schwarz ergibt sich induktiv auch die Symmetrie von f^(k)(a), d.h die k-lineare Abbildung ist gegen Permutationenπihrer Argumente invariant, d.h

f^(k)(a)(h1, ..., hk) =f^(k)(hπ(1)...hπ(k)) F¨urT ∈ L(E^k, F) wird die folgende Notation benutzt:

T(h^k) :=T(h, ..., h), h∈E

Satz 3.5: Satz von Taylor: SeiD^o⊂Rⁿ und [a, a+h] :={a+th: 0≤t≤1} ⊂D^o. F¨urf ∈C^k+1(D^o,R^m) gilt dann die Taylor-Formel

f(a+h) =f(a) +f⁰(a)h+f⁰⁰(a)

2! (h²) +...+f^(k)(a)

k! (h^k) + 1 k!·

Z 1 0

(1−t)^kf^(k+1)(a+th)(h^k+1)dt Zur Ordnung von Funktionen: SeienE, F Banachr¨aume,r:D⊂E→F eine Funktion mit der Eigenschaft

lim

h→0

kr(h)k_F

khk^K_E = 0 ⇔ lim

h→0

r(h)

khk^K_E = 0 (K∈N) so sagt manr(h) geht von h¨oherer Ordnung alskhk^K gegen 0.

Schreibweise:r(h) =o(khk^K)Klein o von khk^K.

Folgerung 3.5a: SeiD^o⊂Rⁿ undf ∈C^K(D^o,R^m). Dann gilt f¨ur ein a∈D^omit [a, a+h]⊂D^odie qualitative Version der Taylorformel.

f(a+h) =

k

X

j=0

1

j!f^(j)(a)(h^j) +o(khk^k)

5.2.1 Multiindexschreibweisen der Taylorformel

Unter einem Multiindex versteht man einen Vektorα= (α1, ..., αn)∈Nⁿ0. Seine Ordnung wird definiert als |α|:=

n

X

i=1

αi. Ferner setzt man α! :=

n

Y

i=1

αi! und |α|

α

:= |α|!

α! als den so genannten Polynomialkoeffizienten. F¨ur x = (x1, ..., xn)∈Rⁿ, α= (α1, ..., αn)∈Nⁿ0 seix^α:=

n

Y

i=1

x^α_iⁱ.

Sei α= (α1, ..., αn) ein Multiindex undA eine Menge von |α| Elementen: cardA=|α|. Dann existieren |α|

α verschiedene Abbildungen die genauαj Elemente vonAaufjAbbilden,j = 1,2, ..., n. F¨urx= (x1, ..., xn)∈Rⁿ und p∈Ngilt die so genannte Polynomialformel

(x₁+x₂+...+x_n)^p= X

|α|=p

p α

·x^α

Bemerkung:F¨urn= 2 ist dies die Binomialformel.

Diese Formel ist eine Motivation f¨ur eine weitere Schreibweise der Taylorformel. F¨urf ∈C^α(D⊂Rⁿ,R^m) schreiben wir die partiellen Ableitungen in der Form

∂^αf =∂^{(α1,...,αn)}f :=∂₁^α1∂₂^α2...∂_n^αnf = ∂^|α|

∂x^α₁¹...∂x^αnⁿ

Nach dem Satz von Schwarz kommt es dabei auf die Reihenfolge der Differentiation nicht an!

Seif ∈C^k(D^o⊂Rⁿ,R^m). Die Koordinaten der k-ten Ableitung bzgl. der kanonischen Basis des RaumesL((Rⁿ)^k,R^m) der k-linearen Abbildungen sind die k-ten partiellen Ableitungen, d.h f¨ur Vektorenh^(j)= (h^(j)₁ , ..., h^(j)n )∈Rⁿ:

f^(k)(a)(h¹, h², ..., h^k) =

n

X

i1=1 n

X

i2=1

...

n

X

ik=1

∂^kf

∂xi₁...∂xi_k

(a)h⁽¹⁾_i

1 ...h^(k)_i

k

Insbesondere gilt:

f^(k)(a)(ei₁, ..., ei_k) = ∂^kf

∂x_i1...∂x_ik, ei_j ∈Rⁿ

Sind alle Argumente gleich, d.h h⁽¹⁾ = h⁽²⁾... = h^(k) = h = (h1, ..., hn), so kann man wegen der Symmetrie der k-linearen Abbildungf^(k)(a) einige diesern^k Summanden zusammenfassen:

∂^αf(a)h^α=∂₁^α1...∂_n^αnf(a)h^α Damit ergibt sich

f^(k)(a)(h^k) = X

|α|=k

k α

∂^αf(a)h^α, k

α

= k!

α!

bzw.

1

k!f^(k)(h^k) = X

|α|=k

1

α!∂^αf(a)h^α= X

|α|=k

1

α1!·...·αn! · ∂^k

∂x^α₁¹...∂x^αnⁿ

f(a)h^α₁¹·...·h^α_nⁿ Die Taylor-Formel von Satz 3.5 kann dann wie folgt geschrieben werden:

f(a+h) =

k

X

|α|=0

1

α!·∂^αf(a)h^α+ (k+ 1)· Z 1

0

(1−t)^k X

|α|=k+1

1

α!·∂^αf(a+th)h^α dt

5.2.2 Taylorpolynom & Taylorreihe F¨urf ∈C^k(D^o⊂Rⁿ,R^m) heißt

(T_k^af)(h) =

k

X

j=1

1

j!f^(j)(a)(h^j) = X

|α|≤k

1

α! ·∂^αf(a)h^α∼=

k

X

j=0

1 j!

n

X

i=1

hi

∂

∂x_i

!j

f(a)

dasTaylorpolynom (in h) zuf vom Gradkina∈D. Damit lautet die qualitative Version der Taylorformel:

f(a+h) = (T_k^af) (h) +o(khk^k)

Die Differenz (R^a_kf)(h) :=f(a+h)−(T_k^af)(h) heißt das k-teRestglied. Das Taylorpolynom ist dasjenige, eindeutig bestimmte Polynom vom Gradkdas an der Stelleamitf(a) und allen Ableitungenf^(j)(a), j= 1, ..., k¨ubereinstimmt!

Es gilt

h→0lim

f(a+h)−(T_k^af)(h) khk^k = 0 F¨urm= 1 ergibt sich das Lagrange Restglied als

5.2.3 Eindeutigkeit von Taylorpolynom

Ist f ∈C^k(D^o ⊂Rⁿ,R) undP ein Polynom von Gradk mit der Eigenschaft f(a+h) =P(h) +o(khk^k), dann ist P(h) = (T_k^af)(h).

5.2.4 Taylorreihe

Seif ∈C^∞(D^o⊂Rⁿ,R^m) :=T∞

k=1C^k(D,R^m). Dann heißt (T_k^af)(h) :=

∞

X

k=0

f^(k)(a)

k! (h^k) = X

α∈Nⁿ0

∂^αf α! (a)h^α dieTaylorreihe vonf ina∈D. Es gilt

f(a+h) = lim

k→∞(T_k^af)(h)⇔ lim

k→∞(R^a_kf)(h) = 0

5.3 Lokale Extrema

5.3.1 Definition: Lokale Extrema

a) SeiD^o⊂X eine offene Menge eines metrischen RaumesX. Eine reelwertige Funktionf :D^o→Rbesitzt in a∈D^o einlokales Maximum bzw. Minimum, falls es eineε-Kugel Bε(a)⊂D^o,ε > 0 gibt und∀x∈Bε(a) : f(x)≤f(a) bzw.f(x)≥f(a). Es liegt einisolierteslokales Maximum bzw. Minimum vor fallsf(x)6=f(a) f¨ur x6=agilt.

b) Eine reelwertige Funktion f : X →Rauf eine Menge X besitzt ina∈ X ein globales (absolutes) Maximum bzw. Minimum falls∀x∈X :f(x)≤f(a) bzw.f(x)≥f(a). Es liegt ina∈D^oein isoliertes globales Maximum bzw. Minimum vor fallsf(x)6=f(a)∀x6=agilt.

c) EinExtremum ist ein (lokales) Maximum bzw. Minimum.

Satz 3.7: Notwendige Bedingung f¨ur ein lokales Extremum. Seif :D^o∈Rⁿ→Reine partiell differenzier- bare Funktion. Dann gilt: Besitztf ina∈D^o ein lokales Extremum, dann ist∇f(a) = 0, d.h

∂f

∂x_i(a) = 0, i= 1, ..., n

5.3.2 Definition: Hesse Matrix

SeiD^o⊂Rⁿ undf ∈C²(D^o,R). DieHesse Matrix vonf im Punkta∈D^oist durch Hf(a) :=

∂²f

∂xi∂xj

ⁿ

i,j=1

definiert. Nach dem Satz von Schwarz istH_f(a) eine symmetrische Matrix.

Satz 3.8: Definitheit der Hesse-Matrix Seif ∈C²(D^o⊂Rⁿ,R) mit∇f(a) = 0. Dann gilt:

a) Istf⁰⁰(a) =H_f(a) positiv (negativ) definit, so hatf ina∈D^o ein isoliertes lokales Minimum bzw. Maximum.

b) Istf⁰⁰(a) =Hf(a) indefinit, so besitztf in a∈D^okeinlokales Extremum.

c) Istf⁰⁰(a) semidefinit, so kann im allgemeinen keine Aussage gemacht werden.