Stochastik 2
SS 2019, FSU Jena
Prof. Schmalfuÿ Verena Köpp
Ausgabetermin: 11.04.2019
Abgabetermin: 18.04.2019
1. Übungsblatt
Aufgabe 1. SeiAn,n≥1, eine Folge von Teilmengen vonΩ. a) Zeigen Sie, dasslim infAn⊂lim supAn.
b) Zeigen Sie: Ist die FolgeAn monoton, so gilt
lim infAn= lim supAn.
c) Seien An, n ≥ 1 deniert durch A1 := (0,1], A2 = (0,12], A3 = (12,1], A4 = (0,13], A5 = (13,23], A6= (23,1]usw. Bestimmen Sielim infAn undlim supAn.
Aufgabe 2. Für jede natürliche Zahln∈NbezeichneAndieσ-Algebra, welche vom SystemEnder Mengen {1},{2}, . . . ,{n} erzeugt wird.
a) Zeigen Sie, dassAn aus allen MengenA⊂Nbesteht, welche entwederA⊂ {1, . . . , n} oderm∈Afür alle m≥n+ 1erfüllen.
b) Zeigen Sie, dassAn ⊂ An+1. c) IstA:= S
n∈N
An eineσ-Algebra inN?
Aufgabe 3 (3 Punkte). Beweisen Sie:
a) Es seiA⊂B⊂C, dann giltC\A= (C\B)∪(B\A). b) Es giltA∆B= (A∪B)\(A∩B).
c) Es gilt(A∩B)∪(B∩C)∪(C∩A) = (A∪B)∩(B∪C)∩(C∪A).
Aufgabe 4 (5 Punkte).
a) Sei{A1, . . . , An} eine Partition vonΩ. SeiA=σ(A1, . . . , An). Berechnen Sie|A|. b) Sei{A1, . . . , An} ein beliebiges Mengensystem inΩ. Sei A=σ(A1, . . . , An).
Zeigen Sie, dass|A| ≤22n.
Aufgabe 5 (4 Punkte). Gegeben sei die Funktionf :X →Y. Beweisen Sie die Äquivalenz der Aussagen:
a) f ist injektiv,
b) A⊂X ⇒f−1(f(A)) =A,
c) A, B⊂X ⇒f(A∩B) =f(A)∩f(B),
d) (A, B⊂X)∧(A∩B=∅)⇒f(A)∩f(B) =∅.
Abgabetermin: Die mit gekennzeichneten Aufgaben sind zu bearbeiten und in der Vorlesung am Don- nerstag abzugeben. Es wird empfohlen auch die übrigen Aufgaben zu lösen. Die Übungsserien dürfen in Zweiergruppen abgegeben werden.
Bedingungen für die Teilnahme an der Klausur: 50% der Punkte aus den Übungsserien und einmaliges Vorrechnen an der Tafel.
