Elementare Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik (Wiederholung)
SS 2018, FSU Jena
Prof. Schmalfuß Robert Hesse
Ausgabetermin: 08.05.2018
Abgabetermin: 15.05.2018
5. Übungsblatt
Aufgabe 1. Es seiR∼Uni(0,2)der zufällige Radius einer Kugel.
a) Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass das Volumen der KugelV nicht größer alsπist.
b) Bestimmen Sie die Verteilungsfunktionen vonV und von der Oberfläche der KugelA.
Aufgabe 2. SeiF:R→Reine Funktion definiert durch
F(x) =
0, x <0,
−12x2+bx+c, 0≤x <1,
1, 1≤x.
Bestimmen Sie alle Werte der Parameterb, c∈R, sodassF eine Verteilungsfunktion ist.
Aufgabe 3. Bestimmen Sie die KonstantenCi, sodassfi, i= 1,2, Dichtefunktionen sind.
a) f1(x) =xC2+11 , x∈R,
b) f2(x) = (√ C2
x(1−x), 0< x <1,
0, sonst.
Aufgabe 4 (4 Punkte). SeiX eine Zufallsvariable mit der DichtefX:R→Rdefiniert durch
fX(x) =
(Cxe−x2, x≥0,
0, sonst.
a) Bestimmen Sie die KonstanteC >0.
b) Bestimmen Sie die zugehörige Verteilungsfunktion FX. c) SeiY := X−12 . Bestimmen Sie die Dichte fY.
Aufgabe 5 (4 Punkte). Bestimmen Sie, ob folgende FunktionenFi:R→R,i= 1, . . . ,4, Verteilungsfunk- tionen sind.
a) F1(x) = π1arctan(x) +12, b) F2(x) =
x
R
−∞
e−|y|dy,
c) F3(x) =
0, x <0,
x2−x2 +12, 0≤x≤1,
1, 1< x,
d) F4(x) =
ex, x <−1,
1
2, −1≤x≤1,
1−e−x, 1< x.
Aufgabe 6 (4 Punkte). Die ZufallsvariableX sei gleichverteilt auf dem Intervall[0,1].
a) Wie lautet die Verteilung vonY1=aX+b, füra, b∈Rbeliebig?
b) Bestimmen Sie die Verteilungsdichte vonY2= max{X,1−X}.
Abgabetermin:Die mitgekennzeichneten Aufgaben sind zu bearbeiten und in der Vorlesung am Dienstag abzugeben. Es wird dringend empfohlen auch die übrigen Aufgaben zu lösen.
