SS 2019, FSU Jena

Stochastik 2

SS 2019, FSU Jena

Prof. Schmalfuÿ Verena Köpp

Ausgabetermin: 25.04.2019

Abgabetermin: 02.05.2019

3. Übungsblatt

Aufgabe 1. Es seiF :R→R eine Funktion, die nicht fallend und rechtsstetig ist. Zeigen Sie, dass diese Funktion auf dem RingR¹ ein Prämaÿ

µ_F((a, b]) =F(b)−F(a)

deniert. Kann dieses Prämaÿ zu einem Maÿ aufσ(R¹)fortgesetzt werden?

Aufgabe 2.

a) Seif :R→RBorel-messbar. Man zeige, dass dann auch

f^a(x) :=

(a :f(x)> a

f(x) :f(x)≤a (a∈Rfest) Borel-messbar ist.

b) Zeigen Sie, dassf(x) = sinbxcBorelmessbar ist, wobeibxcden ganzzahligen Anteil vonxbezeichnet.

c) Geben Sie eine Funktion f an, die nichtB(R)messbar,f²jedoch messbar ist.

Aufgabe 3. Zeigen Sie den Eindeutigkeitssatz: Sei E ein∩-stabiler Erzeuger einerσ-Algebra AüberΩ, in welchem eine Folge(E_n)_n∈

Nvon Mengen existiert, sodassΩ =S

n∈NE_n. Dann sind zwei Maÿeµ₁, µ₂ aufAmit

µ₁(E) =µ₂(E), für alleE∈ E µ1(En) =µ2(En)<∞, für allen∈N gleich.

Hinweis: Ein ErzeugerE heiÿt∩-stabil, falls für jeweils zwei MengenA, B∈ E gilt, dass A∩B∈ E.

Zeigen Sie zunächst, dass gilt σ(E) = δ(E), wobei δ(E) das kleinste Dynkin-System deniert, welches E enthält.

Betrachten Sie anschlieÿend für beliebigesE∈ E,µ₁(E)<∞, das Mengensystem DE :={A∈ A: µ1(A∩E) =µ2(A∩E)}.

Aufgabe 4 (5 Punkte). Seif :R→Reine monotone Funktion. Man zeige:

a) f ist Borel-messbar.

b) f besitzt höchstens abzählbar viele Unstetigkeitsstellen.

Aufgabe 5 (3 Punkte). Sei f :R→Reine Funktion mit höchstens abzählbar vielen Unstetigkeitsstellen.

Zeigen Sie, dassf Borel-messbar ist.

Aufgabe 6 (4 Punkte). Sei O = {A⊂R:Aist oen} ein System von oenen Teilmengen von R und H={[a, b)⊂R: a, b∈R, a < b} ein System halboener Teilmengen.

Zeigen Sie, dassσ(O) =σ(H) =:B(R).

Hinweis: Zeigen Sie, dass sich jede oene Teilmenge vonRals höchstens abzählbare Vereinigung von oenen Intervallen darstellen lässt.

Abgabetermin: Die mit gekennzeichneten Aufgaben sind zu bearbeiten und in der Vorlesung am Don- nerstag abzugeben. Es wird empfohlen auch die übrigen Aufgaben zu lösen. Die Übungsserien dürfen in Zweiergruppen abgegeben werden.

Bedingungen für die Teilnahme an der Klausur: 50% der Punkte aus den Übungsserien und einmaliges Vorrechnen an der Tafel.