Funktionentheorie FSU Jena - SS 08 Vorlesungsscript

Funktionentheorie

FSU Jena - SS 08 Vorlesungsscript

Stilianos Louca 30. Juli 2008

Inhaltsverzeichnis

1 Vorwort 3

1.1 Was dies ist . . . 3

1.2 Verbesserungen . . . 3

2 Holomorphe Funktionen 4 2.1 Allgemeine Begriffe . . . 4

2.1.1 Definition: Gebiet . . . 4

2.1.2 Definition: Komplexe Funktion . . . 4

2.1.3 Definition: Grenzwert . . . 4

2.1.4 Satz über Grenzwerte von Funktionen . . . 5

2.1.5 Definition: Stetigkeit . . . 5

2.2 Differenzierung . . . 5

2.2.1 Definition: Komplexe Differenzierbarkeit . . . 5

2.2.2 Satz über Kombinationen von differenzierbaren Funktionen . . . 6

2.2.3 Definition: Holomorphe Funktion . . . 6

2.2.4 Satz: Kombinationen holomorpher Funktionen . . . 7

2.2.5 Satz über holomorphe Funktionen . . . 7

2.2.6 Satz über konstante, holomorphe Funktionen . . . 8

2.3 Komplexe Kurvenintegrale . . . 8

2.3.1 Kettenregel . . . 9

2.3.2 Definition: Komplexes Integral . . . 9

2.3.3 Hauptsatz der Integralrechnung . . . 10

2.3.4 Definition: Komplexes Kurvenintegral . . . 10

2.3.5 Satz: Integralabschätzung . . . 10

2.3.6 Zurückführung auf Kurvenintegrale imR² . . . 11

2.3.7 Folgerung: Grundformeln der Funktionentheorie . . . 11

2.3.8 Satz über Stammfunktionen . . . 12

2.3.9 Definition: Komplexer Logarithmus. . . 12

2.3.10 Definition: Zweig des Logarithmus . . . 13

2.3.11 Satz über Zweige des Logarithmus . . . 13

2.3.12 Definition: Kompakte Konvergenz . . . 14

2.3.13 Satz über kompakte Konvergenz . . . 14

2.4 Analytische Funktionen . . . 15

2.4.1 Satz über Potenzreihen . . . 15

2.4.2 Definition: Analytische Funktion . . . 15

2.4.3 Identitätssatz für analytische Funktionen . . . 15

2.4.4 Nullstellen analytischer Funktionen. . . 16

2.4.5 Cauchyscher Integralsatz für einfache Gebiete . . . 16

2.4.6 Homologiesatz . . . 18

2.4.7 Definition: Homologe Wege . . . 18

2.5 Cauchysche Integralformel . . . 18

2.5.1 Cauchysche Integralformel für Kreise . . . 18

2.5.2 Cauchysche Integralformel für einfach, positiv umlaufende Wege . . . 19

2.5.3 Potenzreihenentwicklung holomorpher Funktionen . . . 19

2.5.4 Identitätssatz für holomorphe Funktionen . . . 20

2.5.5 Definition: Ganze Funktion . . . 21

2.5.6 Satz über Potenzreihen . . . 21

2.5.7 Satz von Liouville . . . 22

2.5.8 Fundamentalsatz der Algebra . . . 22

2.5.9 Satz von Morera . . . 23

2.5.10 Satz über Vertauschung von Differentiation und Grenzübergang. . . 23

2.5.11 Zusammenfassung der Hauptsätze . . . 24

3 Laurent-Entwicklungen 25 3.1 Singularitäten . . . 25

3.1.1 Definition: Isolierte Singularität. . . 25

3.1.2 Definition: Laurent-Reihe . . . 26

3.1.3 Satz über den singulären Teil der Laurent-Reihe . . . 27

3.1.4 Satz: Gleichmäßige Konvergenz der Laurent-Reihe . . . 28

3.1.5 Identitätssatz für Laurent-Reihen . . . 28

3.1.6 Satz über die Laurentreihen-Entwickelbarkeit . . . 28

3.1.7 Satz über die Abschätzung der Koeffizienten einer Laurent-Reihe . . . 29

3.1.8 Satz von Riemann . . . 29

3.1.9 Charakterisierung von Polstellen . . . 29

3.1.10 Kriterium für Pole . . . 29

3.1.11 Definition: Ganz transzendente Funktion. . . 30

3.1.12 Satz von Casorati-Weierstraß . . . 30

3.1.13 Satz von Casorati-Weierstraß für ganz-transzendente Funktionen . . . 30

3.1.14 Satz von Picard. . . 30

3.2 Residuenkalkül . . . 30

3.2.1 Definition: Residuum. . . 30

3.2.2 Satz über das Residuum . . . 31

3.2.3 Residuensatz . . . 32

3.2.4 Satz über rationale Funktionen . . . 33

3.2.5 Satz: Berechnung reeller Integrale. . . 33

3.2.6 Satz: Berechnung von Fourierintegralen . . . 35

3.3 Konforme Abbildungen. . . 36

3.3.1 Satz über analytische Abbildung: Erhaltung der Winkel . . . 36

3.3.2 Satz über analytische Funktionen: Erhaltung der Verzerrung . . . 36

3.3.3 Definition: Konforme Abbildung . . . 36

1 Vorwort

1.1 Was dies ist

Hierbei handelt es sich um Aufzeichnungen des Stoffes der im SS 2008 an der FSU Jena von Prof. Albin Weber im Fach Funktionentheorie gelehrt wurde.

1.2 Verbesserungen

Ich werde immer mal dieses Skript verbessern bzw. erweitern. Im Falle von Fehlern, ist mir Bescheid zu sagen das beste was du machen kannst da so alle davon profitieren können. Wissen ist das einzige auf dieser Welt das vom Teilen mehr wird!

Ich bin zu erreichen unterstilianos.louca@apfel.uni-jena.de, ohne das Obst.

Bemerkungen Danken möchte ich:

• Jens Kubieziel für seine zahlreichen Korrekturvorschläge.

2 Holomorphe Funktionen

2.1 Allgemeine Begriffe

2.1.1 Definition: Gebiet

Eine offene, zusammenhängende UntermengeΩ⊂CheißtGebiet inC. 2.1.2 Definition: Komplexe Funktion

Wir nennenf : Ω→C, z→f(z)eine komplexe Funktion, also:

x+iy 7→^f u(x, y) +iv(x, y), u, v:R²→R

2.1.3 Definition: Grenzwert

Der Raum(C,|·|,+) ist ein normierter Raum, mit derBetragsfunktion

|z|=|x+iy|=p x²+y²

U sei eine Umgebung vona∈CmitU\ {a} ⊂D(f)bzw.aHäufungspunkt vonD(f). Dann schreiben wir lim

z→af(z) =b:⇔

∀(z_n)⊂U\ {a}mit z_n→a: lim

n→∞f(z_n) =b Bemerkungen:

a) Es ist lim

z→af(z) =bfür einen HäufungspunktavonD(f), genau dann wenn:

∀ ε >0 :∃ δ >0 :|f(z)−b|< εfür0<|z−a|< δ b) Ist lim

z→af(z) =b, so folgt insbesondere lim

h→0h∈R

f(a+h) =b ∧ lim

h→0h∈R

f(a+ih) =b

Die Umkehrung gilt allgemein nicht!

Beispiele:

• Betrachten die Funktion

f :C→ {0,1} ⊂C, f(x) =







0 :y= 0 oderx= 0 1 :sonst

Es ist

h→0lim

h∈R

f(0 +h) = lim

h→0h∈R

f(0 +ih) = 0 doch der Grenzwert lim

z→0f(z)existiert allgemein nicht!

• Es ist

z→0lim e^z−1

z = 1 denn

e^z:=

∞

X

k=0

z^k k! →

e^z−1 z −1

=

e^z−1−z z

=

∞

X

k=2

z^k−1 k!

≤

∞

X

k=2

z^k−1 ≤

∞

X

k=1

z^k =

∞

X

k=1

|z|^k =

|z|<1

|z|

1− |z|

z→0−→0

2.1.4 Satz über Grenzwerte von Funktionen Seienf : Ω→Cmit lim

z→af(z) =b , lim

z→ag(a) =c. Dann gilt:

a) lim

z→a|f(z)|=|b|

b) lim

z→a<f(z) =<b , lim=f(z) ==b c) lim

z→a(αf(z) +βg(z)) =αb+βc d) lim

z→af(z)·g(z) =bc e) lim

z→a

f(z) g(z) =b

c fürc6= 0

Beweis:Für Folgenw_n=u_n+iv_n, t_n ∈Cundv_n, u_n∈Rgilt zum einen:

w_n→w ⇔ u_n →u∧v_n →v (vgl. Analysis I) und zum anderen

wn→w , tn →t⇒ wntn→wt , wn

tn

→w

t fürt6= 0 Andere Eigenschaften: allgemein für normierte Räume.

2.1.5 Definition: Stetigkeit

Seif : Ω→Cunda∈Ω.f heißt an der Stelleastetig :⇔ ∀(z_n)⊂Ωmit z_n→agilt:f(z_n)→f(a).

Bemerkungen:

a) Es gilt auch hier die Äquivalenz zur Definition: f heißt an der Stelleastetig:⇔

∀ε >0 :∃δ >0 :|f(z)−f(a)|< εfür |z−a|< δ , z∈Ω b) Sindf, gin astetig, so folgt:<f, =f, |f|, αf+βg, f·g, f

g (fallsg6= 0) sind inastetig.

c) Istf inaundg inf(a)stetig, so ist auchg◦f inastetig.

2.2 Differenzierung

2.2.1 Definition: Komplexe Differenzierbarkeit

Sei Ω ⊂ C ein Gebiet (offene, zusammenhängende Menge) und f : Ω → C. Dann ist f an der Stelle a ∈ Ω (komplex) differenzierbar :⇔Es existiert der Grenzwert

z→alim

f(z)−f(a) z−a = lim

h→0

f(a+h)−f(a)

h =:f⁰(a) =: df

dz(a) :komplexe Ableitung

Bemerkung:Die komplexe Differenzierung unterscheidet sich grundsätzlich von der Differenzierung imR², denn

h→0lim

f(a+h)−f(a) h 6= lim

h→0

f(a+h)−f(a)

|h|

2.2.2 Satz über Kombinationen von differenzierbaren Funktionen Die Funktionenf, g: Ω→Cseien an der Stellea∈Ωdifferenzierbar. Dann gilt:

a) f ist inastetig.

b) Die Linearkombination (αf+βg), α, β∈Cist inadifferenzierbar, und es ist(αf+βg)⁰(a) =αf⁰(a) +βg⁰(a) c) Produktregel:(f·g)⁰(a) =f⁰(a)g(a) +f(a)g⁰(a)

d) Für g6= 0ist

f g

0

(a) = f⁰(a)g(a)−f(a)g⁰(a) g(a)²

Istg: Ω→Ω⁰ inadifferenzierbar undf : Ω⁰ →Cing(a)differenzierbar, so istf◦g: Ω→Cinadifferenzierbar, und es gilt die Kettenregel:

(f◦g)⁰(a) =f⁰(g(a))·g⁰(a) Beweis:Analog zum Reellen.

Weitere Regeln zur Differenzierung:

a) f(z) =c∈C → f⁰(z) = 0

b) f(z) =z → f⁰(z) = 1das heißtz⁰= 1 c) Für Polynomef ∈C[X], f(z) =

n

X

k=0

akz^k ist

n

X

k=0

akz^k

!0

=

n

X

k=0

ak·k·z^k−1

d) d dz

1 z

=−1

z² fürz6= 0. Ferner sogar:

z⁻ⁿ⁰

=−nz⁻ⁿ⁻¹ , z6= 0 , n∈N Zusammen mit der vorigen Eigenschaft also fürn∈Z:(zⁿ)⁰ =nzⁿ⁻¹ e) (e^z)⁰ =e^z

Beweis:Wie im Reellen, z.B

1 zⁿ

0

= 0·zⁿ−nzⁿ⁻¹

z²ⁿ =−nz⁻ⁿ⁻¹ Bemerke: Im Reellen ist fürα∈R(im entsprechenden Intervall) allgemein:

(x^α)⁰=αx^α−1 denn

(x^α)⁰= e^αlnx0

=e^αlnxα x =αx^α

x =αx^α−1

Doch diese Eigenschaft ist im Komplexen allgemein nicht gültig! Dennlnx hat fürx∈ Cunendlich viele Werte. Dement- sprechend kannx^αnicht mehr als eindeutige Funktion definiert werden!

2.2.3 Definition: Holomorphe Funktion

Eine Funktionf : Ω→C, Ω : Gebiet, heißt inΩholomorph :⇔f ist in jeder Stelle vonΩstetig differenzierbar, das heißt f ∈ C¹(Ω).

Bemerkungen:

• Alle Funktionen aus den Ableitungsregeln sind holomorph.

• Im Reellen wird grundsätzlich zwischen differenzierbaren und stetig differenzierbaren Funktionen unterschieden. Zum Beispiel ist die Funktionf :R→Rdefiniert als

f(x) :=







x²sinα

x :x6= 0, α >0

0 :x= 0

in ganz R stetig und sogar differenzierbar. Zwar existiert für bestimmte αder Grenzwert lim

x→0f⁰(x)und es ist sogar

x→0limf⁰(x) =f⁰(0) = 0. Doch ebenso gibt esα >0 mit@lim

x→0f⁰(x)das heißtf ist nicht überall stetig differenzierbar.

Doch: Im C ergibt sich die Äquivalenz zwischen Differenzierbarkeit und stetiger Differenzierbarkeit, das heißt jede differenzierbare Funktion f : Ω → C ist sogar stetig differenzierbar! Somit kann in der Definition für holomorphe Funktionen die Forderung der stetigen Differenzierbarkeit auch weggelassen werden.

2.2.4 Satz: Kombinationen holomorpher Funktionen

Seienf, g: Ω→C. Dann sind

αf+βg (α, β∈C), f·g, f

g (außerhalb der Nullstellen von g) holomorph.

Beweis:Ableitungsregelen.

2.2.5 Satz über holomorphe Funktionen: die Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen

Die Funktionf : z =x+iy 7→ u(x, y) +iv(x, y)ist in Ωholomorph ⇔ u, v als reellwertige Funktionen auf Ω⊂ R² sind stetig differenzierbar und

∂u

∂x =∂v

∂y , ∂u

∂y =−∂v

∂x (Cauchy-Riemannsche Differentialgleichungen) Insbesondere gilt:

f⁰(z) =f⁰(x+iy) = ∂u

∂x+i∂v

∂x = ∂v

∂y −i∂u

∂y Beweis:Sei zunächstf holomorph. Also

f⁰(z) = lim

h→0

u(x+h, y)−u(x, y)

h +iv(x+h, y)−v(x, y) h

= lim∗ h→0h∈R

u(x+h, y)−u(x, y)

h +ilim

h→0h∈R

v(x+h, y)−v(x, y)

h =ux(x, y) +ivx(x, y)

(∗)Denn, existiertlim(g+ih)so existiert auchlimg undlimhfürg, hreelle Funktionen Analog:

f⁰(z) = lim

h→0h∈R

u(x, y+h)−u(x, y)

ih +ilim

h→0h∈R

v(x, y+h)−v(x, y)

ih =−iu_y(x, y) +v_y(x, y)

Gleichsetzen und Vergleich von Imaginärteil und Realteil ergibt genau die Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen (C.R. DGL). Außerdem folgt ausf⁰∈ C(Ω)auch

ux, vx, uy, vy∈ C(Ω) → u, v∈ C¹(Ω)

Sei nunu, v ∈ C¹(Ω) und die C.R. DGL seien erfüllt. Für

z=x+iy, h=s+it, |s|,|t|<<1 folgt

f(z+h) =u(x+s, y+t) +iv(x+s, y+t)

=u(x, y) +Dxu(x, y)s+Dyu(x, y)t+r1(s, t) +i[v(x, y) +Dxv(x, y)s+Dyv(x, y)t+r2(s, t)]

mit lim

h→0

r1(s, t)

|h| = lim

h→0

r2(s, t)

|h| = 0 (Satz von Taylor) Setzen jetzt:r(s+it

| {z }

h

) :=r1(s, t) +ir(s, t), woraus, mit Hilfe der C.R. DGL, folgt

f(z+h) =f(z) + [ux(x, y) +ivx(x, y)] (s+it) +r(h), lim

h→0

r(h) h = 0

→ f(z+h)−f(z)

h =ux(x, y) +ivx(x, y) +r(h) h

→ f⁰(z) = lim

h→0[u_x(x, y) +iv_x(x, y)] + lim

h→0

r(h) h

| {z }

0

=u_x+iv_x=v_y−iu_y

Bemerkungen:

a) Nicht jedesubzw.vgehört zu einer holomorphen Funktion w=u+iv.

b) Sindu, v 2-mal stetig differenzierbar, so ist

∆u=uxx+uyy=vyx−vxy= 0 und analog

∆v=v_xx+v_yy =−uyx= +u_xy= 0 (Notwendige Bedingung!).

Tip: Es stellt sich heraus, für holomorphe Funktionen sindu, v∈ C².

c) Beispiel:u=x²gehört zu keiner holomorphen Funktionw=u+iv denn∆u= 26= 0.

2.2.6 Satz über konstante, holomorphe Funktionen

Eine holomorphe Funktionf : Ω→Cist im GebietΩgenau dann konstant, wenn f⁰(z) = 0 inΩist.

Beweis:

f =u+iv → f⁰=u_x+iv_x=v_y−iu_y= 0 → u_x=u_y=v_x=v_y = 0 → u, v:const

2.3 Komplexe Kurvenintegrale

Seiγ: [a, b]→C, t7→z(t) =x(t) +iy(t)ein stückweise glatter Jordanweg, das heißtz∈ C¹ undz⁰ 6= 0auf Teilintervallen undγ Doppelpunktfrei.

Bemerkungen:

• Jede positive Umparametrisierung sei ebenfalls mit γ bezeichnet und schließlich sei γ außerdem identifiziert mit der entsprechenden Kurve.

• Also:γ: orientierte Kurve (aus C_s¹, d.h stückweise, stetig differenzierbar).

• −γ: umgekehrt durchlaufene Kurve (negative Umparametrisierung).

• Sei

L(γ) =

b

Z

a

q

(x⁰(t))²+ (y⁰(t))² dt=

b

Z

a

|z⁰(t)| dt , z⁰(t) :=x⁰(t) +iy⁰(t) :Tangentialvektor

• Im folgenden: Kurve oder Weg, sei immer positiv orientiert,∈ C_s¹. Beispiel: Die Kurve

Cr(z0) : t7→z0+re^it , 0≤t≤2π

bezeichnet die positiv orientierte Kreislinie mit Radiusr um den Punktz0. Dabei wird die Punktmengez mit |z−z0|=r in positiver Richtung (gegen den Uhrzeigersinn) durchlaufen.

Analog durchläuft−Cr(z₀)die gleiche Punktmenge im Urzeigersinn.

2.3.1 Kettenregel

Seif ∈ C¹(Ω) holomorph undz:I⊂R→Ωstetig differenzierbar. Dann gilt:

d

dtf(z(t)) =f⁰(z(t))·z⁰(t)

Beweis:Seif =u+iv holomorph undz(t) =x(t) +iy(t)stetig differenzierbar. Dann gilt:

d

dtf(z(t)) = d

dt[u(x(t), y(t)) +iv(x(t), y(t))] =ux·x⁰+ uy

|{z}−vx

·y⁰+i(vx·x⁰+ vy

|{z}

ux

·y⁰)

= (ux+ivx) (x⁰+iy⁰) =f⁰(z(t))·z⁰(t)

2.3.2 Definition: Komplexes Integral

SeiF(t) =U(t) +iV(t), U, V ∈ C[a, b]. Dann definiert man

b

Z

a

F(t)dt:=

b

Z

a

U(t)dt+i

b

Z

a

V(t)dt

2.3.3 Hauptsatz der Integralrechnung Es seiF =U+iV, U, V ∈ C¹[a, b]. Dann ist:

b

Z

a

F⁰(t)dt=F(b)−F(a)

2.3.4 Definition: Komplexes Kurvenintegral

Seif ∈ C(Ω), γ eineC¹Kurve,z: [a, b]→Ceine Parametrisierung mitγ= imagez. Dann ist definiert:

Z

γ

f(z)dz:=

b

Z

a

f(z(t))·z⁰(t)dt

Bemerkungen:

• Oberes Integral ist unabhängig von der Parametrisierung, analog zum Reellen.

• Istγ=γ1⊕ · · · ⊕γn ein stückweise stetig differenzierbarer Weg (Kurve). Dann sei:

Z

γ

f(z)dz:=

n

X

i=1

Z

γ_i

f(z)dz

• Linearität:

Z

γ

(af+bg)dz=a Z

γ

f dz+b Z

γ

g dz

2.3.5 Satz: Integralabschätzung Ist|f(z)| ≤M aufγ so gilt:

Z

γ

f(z)dz

≤M·L(γ)

Beweis:Sei o.B.d.AγeineC¹-Kurve undF(t) :=f(z(t))·z⁰(t) =U(t) +iV(t). Dann ist:

Z

γ

f(z)dz=^∗ re^iϕ

⇒ Z

γ

f(z)dz

=

b

Z

a

F(t)dt

=r=<r=^∗ <



e^−iϕ

b

Z

a

F(t)dt



=

b

Z

a

< e^−iϕF(t) dt

≤

b

Z

a

e^−iϕF(t) dt=

b

Z

a

|F(t)| dt=

b

Z

a

|f(z(t))·z⁰(t)| dt≤

b

Z

a

M|z⁰(t)| dt=M ·L(γ)

2.3.6 Zurückführung auf Kurvenintegrale imR² Seif stetig,γ eine stückweiseC¹-Kurve. Dann gilt:

a) Z

γ

f(z)dz= Z

γ

(udx−vdy) +i Z

γ

(vdx+udy) = Z

γ

g·d(x, y) +i Z

γ

h·d(x, y)mit g= (u,−v), h= (v, u)

b) Istf holomorph inΩ⇒ Die Vektorfelder g, herfüllen die Integrabilitätsbedingung in Ω, das heißt auf sternförmigen (sogar einfach zusammenhängendem) GebietΩ gilt:g undh sind Gradientenfelder (es existiert eine Stammfunktion) und es folgt die Wegunabhängigkeit.

Erinerung:F :Rⁿ→Rheißt Stammfunktion vonf :Rⁿ→Rⁿ wennF⁰= gradF =f gilt.

Beweis:

a) Merkregel:

Z

γ

(u+iv)(dx+idy) = Z

γ

(udx−vdy) +i Z

γ

(vdx+udy) Eigentlicher Beweis:

Z

γ

(u+iv)

| {z }

f

dz=

b

Z

a

[u(x(t), y(t)

| {z }

z(t)

) +iv(x(t), y(t))]·[x⁰(t) +iy⁰(t)]

| {z }

z⁰(t)

dt

=

b

Z

a

{u(x(t), y(t))·x⁰(t)−v(x(t), y(t))·y⁰(t)} dt+i

b

Z

a

{u(x(t), y(t))·y⁰(t) +v(x(t), y(t))·x⁰(t)} dt

=

b

Z

a

u(x(t), y(t))·x⁰(t)dt

| {z }

u dx

−

b

Z

a

v(x(t), y(t))·y⁰(t)dt

| {z }

v dy

+i

b

Z

a

u(x(t), y(t))·y⁰(t)dt

| {z }

u dy

+i

b

Z

a

v(x(t), y(t))·x⁰(t)dt

| {z }

v dx

b) Seif holomorph. Dann istux=vy, uy=−vx. Also

∂g1

∂y =uy=−vx= ∂g2

∂x

∂h1

∂y =v_y=u_x= ∂h2

∂x

Somit erfülleng, hdie Integrabilitätsbedingung von Schwarz (vgl. reelle Analysis).

2.3.7 Folgerung: Grundformeln der Funktionentheorie Z

C_r(z₀)

dz

z−z₀ = 2πi , Z

C_r(z₀)

(z−z0)ⁿdz= 0, n∈Z\ {−1}

Beweis:

Z

Cr(z0)

(z−z₀)ⁿ

| {z }

f(z)

dz=^∗

2π

Z

0

re^itn

ire^itdt=irⁿ⁺¹

2π

Z

0

e^it(n+1)dt

=irⁿ⁺¹

2π

Z

0

[cos(n+ 1)t+isin(n+ 1)t] dt=

(0 :n+ 16= 0 2πi :n+ 1 = 0

(∗) :Sub:z=z₀+re^it → z⁰=r(−sint+icost) =ir(cost+isint) =ire^it

2.3.8 Satz über Stammfunktionen

SeiΩein Gebiet, und f : Ω→Cstetig und jedes Kurvenintegral vonf sei wegunabhängig, das heißt Z

γ

f(z)dz hängt nur von Anfangs- und Endpunkt ab. Sei

F(z) :=

z

Z

z₀

f(w)dw= Z

γ

f(w)dw , γ Weg von z₀ nachz für festesz₀

Dann istF holomorph und Stammfunktion von f, das heißt F⁰ =f. Beweis:SeiF(x+iy) =U(x, y) +iV(x, y). Dann gilt:

F =

z

Z

z₀

f(w)dw=

z

Z

z₀

(udx−vdy)

| {z }

U

+i

z

Z

z₀

(vdx+udy)

| {z }

V

Da beide rechte Integrale wegunabhängig sind, folgt dassU zu(u,−v),V zu(v, u)Stammfunktionen sind. Also Ux=u , Uy=−v , Vx=v , Vy =u

⇒ U, V ∈ C¹ ∧ Cauchy-Riemannsche DGL

⇒ F holomorph, F^0(2.2.5)= Ux+iVx=u+iv=f

Folgerung: Sei Ω ein sternförmiges Gebiet (oder einfaches Gebiet, das heißt C²-diffeomorphes Bild eines sternförmiges Gebietes),f holomorph inΩ. Dann besitztf eine StammfunktionF inΩ, und es ist

I

γ

f(z)dz= 0

für jeden geschlossenen Wegγin Ω.

Beweis: f = u+iv erfüllt die C-R-DGL, das heißt die Vektorfelder (u,−v), (v, u) erfüllen die Integrabilitätsbedingun- gen. DaΩsternförmig ist, ist

Z

γ

f(z)dz= Z

(udx−vdy) +i Z

(vdx+udy) wegunabhängig. Somit existiert eine StammfunktionF.

2.3.9 Definition: Komplexer Logarithmus Sei Ω := C\R− =

z=re^iϕ|r >0, −π < ϕ < π die geschlitzte Ebene (sternförmig), f(z) = 1

z in Ω holomorph. Dann existiert nach vorigem Satz eine StammfunktionF inΩmit F(1) = 0:

F(z) =

z

Z

1

dz z

r:=|z|

=

r

Z

1

dz z +

z

Z

r

dz z

=∗ r

Z

1

dt t +

arg(z)

Z

0

ire^it

re^it dt= lnr+iarg(z) :Stammfunktion zu f

(∗) :Substitution im 2. Integral:z(t) :=re^it

Somit Definition vonln:

lnz:=

z

Z

1

dw

w = lnr

|{z}

reeller ln

+iϕ für z=re^iϕ , r >0 , −π < ϕ < π

heißtHauptzweig des Logarithmus, und ist Stammfunktion zu 1

z mitln 1 = 0.

Bemerke:Es wird oft ”log” anstelle von ”ln” geschrieben.

Bemerkungen:

a) e^lnz=z, z∈C\R− denn

e^lnz=e^lnreiϕ =e^lnr+iϕ=re^iϕ b) lne^w=wfür|=w|< π(folgt aus Definition vonln)

2.3.10 Definition: Zweig des Logarithmus

SeiΩein einfaches Gebiet,0∈/ Ω,F holomorph inΩ.F heißtZweig des Logarithmus, wenn gilt:

e^F(z)=z , z∈Ω

2.3.11 Satz über Zweige des Logarithmus

Zi jedem einfachen GebietΩmit0∈/Ωgibt es unendlich viele Zweige des Logarithmus. Sie unterscheiden sich um ganzzahlige Vielfache von2πi.

Erläuterung:

a) Ωgeschlossene Ebene. Dann hat

F(z) = lnz die Eigenschaft

e^F(z)=e^lnz=z das heißt der Hauptzweig ist auch Zweig des Logarithmus.

b) Für

F(z) = lnz+ 2kπi folgt

e^F(z)=e^lnz+2kπi=e^lnz·e^2kπi

| {z }

1

=z

das heißtF ist Zweig des Logarithmus ingeschichteter Ebene (vgl. Riemann-Schichten).

Bemerkung zu den Zweigen der Quadratwurzel: Zu Ω =C\R− gibt es genau zwei holomorphe Funktionen f₁, f₂ mitf_k²(z) =z, k= 1,2:

f²(z) =z → f(z) =√

z=z¹² =e^12lnz=^∗ e^12(lnr+iϕ)=√ re^iϕ2

(∗) :Oder:f(z) =e¹²(lnr+iϕ+2πi)=√ re^iϕ2+iπ

Bemerkungen zu eindeutigen bzw. mehrdeutigen Funktionen:

a) Funktionen der Form z^k(k ∈Z), e^z, trigonometrische und hyperbolische Funktionen (sin,cos,tan,cot,sinh, . . .) sind eindeutige Funktionen.

b) lnz, die allgemeine Exponentialfunktion

a^z:=e^zlna, a∈C\ {0}

und die allgemeine Potenzfunktion

z^α:=e^lnzα=e^αlnz, α∈C

sind nicht eindeutig, das heißt zu ihnen gehören mehrere Zweige (im allgemeinen unendlich viele). Speziell hat

√n

z=zⁿ¹ , n∈N\ {0}

genaunZweige.

c) Doch füra=eist (per Konvention)

e^z:=

∞

X

n=0

zⁿ n!

eindeutig definiert (Ausnahme). Entsprechend sind dann sinhz:= e^z−e^−z

2 , coshz:= e^z+e^−z 2

sinz:= e^iz−e^−iz

2i , cosz:= e^iz+e^−iz 2 eindeutig. Analog definiert man fürk∈Zdie eindeutige Potenzfunktion:

z^k:=z·z· · · · ·z

| {z }

k mal

6=e^klnz

2.3.12 Definition: Kompakte Konvergenz

Für ein Gebiet Ω ⊂ C, stetige Funktionen f_n : Ω → C, die gleichmäßig auf jeder kompakten Teilmenge von Ω gegen f streben:fn

gleichmäßig

−→ f, sagt man:fn streben gegen f inΩim Sinne derkompakten Konvergenz.

2.3.13 Satz über kompakte Konvergenz

Seienfn stetig, die inΩgegenf im Sinne der kompakten Konvergenz streben. Dann istf in Ωstetig, und für jeden Wegγ inΩgilt:

Z

γ

fn(z)dz ^n→∞−→

Z

γ

f(z)dz

2.4 Analytische Funktionen

2.4.1 Satz über Potenzreihen Sei

f(z) =

∞

X

n=0

an(z−z0)ⁿ : |z−z0|< R, 0< R≤ ∞

Dann istf beliebig oft differenzierbar, und man erhält die Ableitungen durch gliedweise Differentiation.

2.4.2 Definition: Analytische Funktion

Eine Funktionf : Ω→Cheißtanalytisch :⇔

∀ z0∈Ω :∃R >0 :f in B_R^o(z0)als Potenzreihe darstellbar:f(z) =

∞

X

n=0

an(z−z0)ⁿ

Bemerkungen:

(i) Istf analytisch inΩ, so istf ∈ C^∞(Ω)und die Potenzreihenkoeffizientenan sind eindeutig gegeben durch an= f⁽ⁿ⁾(z0)

n! ∀n∈N⁰ denn für|z−z0|< Rist:

f⁽ⁿ⁾(z) =

∞

X

k=0

k(k−1). . .(k−n+ 1)ak(z−z0)^k−n → f⁽ⁿ⁾(z0) =n!an

(ii) Sind f undganalytisch inΩ, so sind auchλf+µg, f·g analytisch inΩ, mitλ, µ∈C.

2.4.3 Identitätssatz für analytische Funktionen

Seienf, ganalytisch auf dem GebietΩundf(z_n) =g(z_n)für eine bestimmte Folge (zn)⊂Ω, zn →z0∈Ω, zn6=z0

Dann istf ≡g.

Erläuterung: Die Übereinstimmung auf einer einzigen, in Ω konvergierenden Folge zn → z0, zn 6= z0 reicht für analy- tische Funktionen aus, um die vollständige Übereinstimmung aufΩzu schließen.

Alternative Formulierung:Analog kann man fordern:fundgmögen übereinstimmen auf einer abzählbaren (unendlichen) Punktmenge inΩ, die mindestens einen Häufungspunkt inΩbesitzt. Dann istf ≡g in Ω

Beispiele a) f(z) = 1

w−z ist analytisch inΩ =C\ {w}.

Beweis: Seiz0∈Ω: für|z−z0|< R:=|w−z0|ist:

1

w−z = 1

w−z0+z0−z = 1 w−z0

· 1

1−_w−z^z−z0

0

=∗

∞

X

n=0

(z−z0)ⁿ (w−z0)ⁿ⁺¹

(∗) :Für |q|<1 : 1 1−q =

∞

X

n=0

qⁿ

b) Die Exponentialfunktione^z ist analytisch inC, denn e^z=e^z0e^z−z0 =

∞

X

n=0

e^z0

n!(z−z0)ⁿ

c) Analog sind auch alle trigonometrischen und hyperbolischen Funktionen analytisch.

2.4.4 Nullstellen analytischer Funktionen Seif auf Ωanalytisch und nicht konstant. Dann gilt:

a) Istf(z₀) = 0, z₀∈Ω, so existiert eink∈Nund eine UmgebungU(z₀)umz₀, so dass:

f(z) = (z−z0)^kg(z), g(z)6= 0

inU(z₀)ist. Diese (eindeutig bestimmte) Zahl knennt manOrdnung der Nullstellez₀. b) f hat an der Stellez0 Nullstellek-ter Ordnung⇔

f(z0) =f⁰(z0) =..=f^(k−1)(z0) = 0, f^(k)(z0)6= 0 c) Zu jeder kompakten Teilmenge vonΩhatf höchstens endlich viele Nullstellen.

Beweis:Folgt aus den letzten Sätzen.

2.4.5 Cauchyscher Integralsatz für einfache Gebiete

Seif holomorph in einem sternförmigen (allgemeiner: einfachen) Gebiet Ω, γein geschlossener Weg. Dann ist Z

γ

f(z)dz= 0 (∗)

Folgerung 1: Obere Gleichung (*) gilt auch für einfach gelagerten Weg, das heißtγ∈Ω⁰ ⊂Ω, Ω⁰ einfach.

Bemerkungen:

(i) Betrachten den Kreisring: dies ist kein einfaches Gebiet, denn Z

Cγ(0)

dz

z = 2πi6= 0

(ii) Der Cauchysche Integralsatz gilt auch für holomorphe Funktionenf auf allgemeineren Gebieten Ω, z.B

Z

∂M

f(z)dz= 0

(iii) Seif inΩ\ {z0} holomorph. Dann ist Z

γ

f(z)dz− Z

C_r(z₀)

f(z)dz= Z

γ

f(z)dz+ Z

−Cr(z₀)

f(z)dz= Z

∂M

f(z)dz= 0

⇒ Z

γ

f(z)dz= Z

Cr(z0)

f(z)dz

Hierbei:γ umläuftz₀einfach positiv, das heißt

z₀+te^iϕ:t≥0

trifft z(t) (Parametrisierung von γ) in genau einem Punkt. Im folgenden Bild umläuft zum Beispiel γ den Punkt z0

nicht einfach.

(iv) Beispiel: Fürγ geschlossen umz0 (analog zu oben) Z

γ

1 z−z0

dz^(2.3.7)= 2πi

2.4.6 Homologiesatz

SeiΩein Gebiet, f inΩ\ {z0} holomorph,γumlaufez0 einfach positiv. Dann ist Z

γ

f(z)dz= Z

C_r(z₀)

f(z)dz

falls dasInnere von γundCr(z0)inΩsind.

2.4.7 Definition: Homologe Wege

Zwei geschlossene Wegeγ₁, γ₂ heißenhomolog :⇔

Z

γ₁

f dz= Z

γ₂

f dz ∀f ∈ C¹(Ω)

Zum Beispiel waren die im Homologiesatz erwähnten WegeγundC_r(z₀)homolog in Ω\ {z₀}.

2.5 Cauchysche Integralformel

2.5.1 Cauchysche Integralformel für Kreise

Seif holomorph in Ω, undB_r(z₀)⊂Ωeine abgeschlossene Kugel inΩ. Dann ist f(z) = 1

2πi Z

C_ρ(z₀)

f(w)

w−z dw ∀z∈Bρ(z0), ρ≤r

2.5.2 Cauchysche Integralformel für einfach, positiv umlaufende Wege

Es seiγein geschlossener Weg, der jeden von ihm umschlossenen Punkt einfach positiv umläuft.γund sein Inneres sei in Ω enthalten. Istf inΩholomorph, so gilt:

f(z) = 1 2πi

Z

γ

f(w)

w−z dw ∀ zim Inneren von γ

Beweis:Betrachtenz im Inneren vonγ. Dann∃ε >0 so dassCε(z)undγhomolog bezüglichΩ\ {z}. Daraus folgt 1

2πi Z

γ

f(w)

w−z dw= 1 2πi

Z

Cε(z)

f(w)

w−z =f(z)

2.5.3 Potenzreihenentwicklung holomorpher Funktionen Seif in Ωholomorph. Dann gilt:

a) f ist inΩanalytisch. Somit ist insbesonderef ∈ C^∞(Ω) b) Seif(z) =

∞

X

k=0

an(z−z0)ⁿdie Potenzreihenentwicklung umz0∈Ω. Dann ist der Konvergenzradius der Reihe mindestens R:= dist(z0, ∂Ω)

und

an= f⁽ⁿ⁾(z₀)

n! = 1

2πi Z

Cr(z0)

f(z)

(z−z0)ⁿ⁺¹ dz ∀ 0< r < R (Cauchy-Formeln)

Erläuterung:Der Konvergenzradius der Potenzreihenentwicklung vonf um einen Punktz0 ist immer mindestens so groß wie der Abstand vonz0 zum Rand∂Ω.

Somit ist insbesondere jede holomorphe Funktionf ∈ C¹(Ω) auch analytisch inΩ, das heißtf ∈ C^∞(Ω).

Vergleich zum reellen: Im reellen existiert kein analoger Satz, das heißt ist f ∈ C¹(a, b) so ist im allgemeinen nicht f ∈ C^∞(a, b). Betrachten zum Beispiel

f(z) =

(x² :x >0 0 :x≤0 Dann ist

f⁰(x) =

(2x :x >0 0 :x≤0

stetig, alsof ∈ C¹(R). Dochf⁰⁰ ist nicht differenzierbar inx= 0, das heißtf /∈ C²(R).

Es gibt sogarC^∞ Funktionen im reellen, die trotz-dem nicht analytisch sind. Beispiel (Cauchy):

f(x) :=

(e^−x12 :x6= 0 0 :x= 0

Dann ist zwarf ∈C^∞(R), aber inx= 0nicht analytisch (das heißt in einer UmgebungB^o_ε(0)in eine Potenzreihe entwickel- bar), denn wäre

f(x) =

∞

X

n=0

anxⁿ so wäre insbesondere

an= f⁽ⁿ⁾(0) n! = 0 das heißt in einer UmgebungB_ε^o(0)istf(x)≡0, was ein Widerspruch ist!

2.5.4 Identitätssatz für holomorphe Funktionen Seienf, ginΩholomorph und

(z_n)⊂Ω, z_n →z∈Ω, z_n6=z₀ Istf(zn) =g(zn)so folgtf ≡g inΩ.

Beweis:Daf, ganalytisch sind folgt nach Satz2.4.3die Behauptung.

Bemerkung: (Fortsetzung reeller analytischer Funktionen)

a) Die einzige holomorphe Fortsetzung vone^x, x∈Rins Komplexe ist e^z=e^x+iy =e^x(cosy+isiny) =

∞

X

n=0

zⁿ

n! , z∈C Erläuterung:Betrachten die holomorphe Funktion

f(z) =e^z, z∈C

Diese stimmt mit e^x für x ∈ R überein. Ist g : C → C ebenfalls holomorph, mit g(x) = e^x auf R, so wählen eine beliebige inRkonvergente Punktfolge(z_n)⊂R, z_n →z₀∈R. Dann istg(z_n) =f(z_n), so dass nach obigem Satz gilt:

f(z) =g(z), z∈C

b) Die eindeutig bestimmten, analytischen Fortsetzungen von sin, cosins Komplexe sind:

sinz=e^iz−e^−iz

2i =

∞

X

n=0

(−1)ⁿ z²ⁿ⁺¹ (2n+ 1)!

cosz= e^iz+e^−iz

2 =

∞

X

n=0

(−1)ⁿ z²ⁿ (2n)!

Folgerungen: Eigenschaften vonsin,cos: Es gilt:

a) sin²z+ cos²z= 1 fürz∈C.

Beweis:Fürz∈Rist bekanntlichcos²z+ sin²z= 1 =:f(z). Nach dem Identitätssatz müssen auch die analytischen Fortsetzungen beider Seiten gleich sein.

b) cos(z+ 2kπ) = cosz , sin(z+ 2πk) = sinz fürk∈Z. Analog zu (a): Identitätssatz.

c) ln(1 +z) =

∞

X

n=1

(−1)⁽ⁿ⁺¹⁾zⁿ

n , |z|<1

Analog zu (a): Fürz∈R, |z|<1 gilt die Behauptung.

Jedes bekannte Additionstheorem über Winkelfunktionen im Reellen kann aufCübertragen werden!

2.5.5 Definition: Ganze Funktion

Eine auf ganzCholomorphe Funktion heißtganze Funktion. Insbesondere gilt für ganze Funktionen:

f(z) =

∞

X

n=0

anzⁿ , z∈C → Konvergenzradius:R=∞ Beispiel:Polynome,e^z, sin,cossind alles ganze Funktionen.

2.5.6 Satz über Potenzreihen Es sei

f(z) =

∞

X

n=0

an(z−z0)ⁿ für |z−z0|< R Sei außerdem

M(f, r) := max{|f(z)|:|z−z₀|=r} für 0< r < R Dann gilt:

|an| ≤ M(f, r)

rⁿ , n∈N0

Beweis:Durch die Cauchy Integralformel folgt sofort:

|an|= 1 2π

Z

Cr(z0)

f(z) (z−z0)ⁿ⁺¹dz

(2.3.5)

≤ 1

2π·2πr· M(f, r) rⁿ⁺¹

2.5.7 Satz von Liouville

Jede beschränkte, ganze Funktion ist konstant. Somit gilt insbesondere: Jede ganze, nicht-konstante Funktion ist nicht be- schränkt.

Beispiel:sin,cossind nicht beschränkt.

Beweis:Seif eine ganze Funktion, dann ist sie entwickelbar gemäß f(z) =

∞

X

n=0

anzⁿ , z∈C

mit dem KonvergenzradiusR=∞. Seif beschränkt, das heißt|f(z)| ≤M. Dann ist

|an| ≤ M

rⁿ ∀r >0 Lassen wirr→ ∞gehen, so mussan= 0∀ n∈Nsein, alsof(z) =a0

2.5.8 Fundamentalsatz der Algebra

Es seip∈C[X]ein nicht-konstantes Polynom mit komplexen Koeffizienten. Dann besitztpmindestens eine Nullstelle inC. Daraus folgt insbesondere der Fundamentalsatz der Algebra:plässt sich als Produkt linearer Faktoren schreiben.

Beweis:

a) Seip(z) =a₀+· · ·+a_nzⁿ mita_n 6= 0, n≥1. Dann ist:

|z|→∞lim

p(z) zⁿ

=|an|>0 Somit existiert einR >0 mit

p(z) zⁿ

≥1

2|an| für |z| ≥R

also 1

|p(z)| ≤ 2

|an|Rⁿ =:M , |z| ≥R (1) Annahme:p(z)6= 0auf ganz C. Dann istf := 1

p eine ganze Funktion. Wegen (1) istf für|z| ≥Rbeschränkt. Daf stetig auf der kompakten MengeBR(0)istf auch für|z| ≤Rbeschränkt. Somit istf beschränkt, und nach Satz2.5.7 konstant. Somit muss jedoch auchpkonstant sein, was ein Widerspruch zur Annahme war!

b) Fall:grad(p)≥2. Seiλ₁Nullstelle vonp. Dann istp(z) = (z−λ1)·q(z)mitgradq≥1. Somit hat auchqeine Nullstelle λ₂, usw., also

p(z) =a_n(z−λ₁)·..·(z−λ_n) Bemerkung:Es gilt ferner:

• Istz Nullstelle eines PolynomsP∈R[X], so ist auchzNullstelle von P.

• Jedes PolynomP ∈R[X], Grad(P)>0, kann man in Produkt linearer und quadratischer Faktorengi∈R[X]zerlegen:

P =

m

Y

i=1

g_i , Grad(g_i)∈ {1,2}

• Die Vielfachheit einer nichtreellen Nullstelleα+βieines PolynomsP ∈R[X]ist gleich der Vielfachheit der konjugierten Nullstelleα−iβ.

2.5.9 Satz von Morera Seif in Ωstetig und

Z

γ

f(z) dz = 0 für jeden geschlossenen, einfach gelagerten Wegγ in Ω (das heißtγ befindet sich in einem einfachen Teilgebiet vonΩ). Dann istf holomorph.

Bemerkung:Es genügt sogar dass die Eigenschaft für jeden geschlossen, in einem sternförmigen GebietΩ⁰ ⊂Ωliegenden Weg gilt.

Beweis:Betrachten eine beliebige KugelBr(z0)⊂Ω. Dann besitztf eine StammfunktionF aufBr(z0)(vgl. Satz2.3.8) da jedes Integral

Z

γ

f(z)dzin Br(z0)wegunabhängig ist:

Z

γ₁

f(z)dz− Z

γ₂

f(z)dz= Z

γ₁

f(z)dz+ Z

γ⁻₂

f(z)dz= 0

DaF holomorph ist, folgtf =F⁰ holomorph auf B_r(z₀). Da Ωoffen ist, existiert um jeden Punktz₀ solch eine Kugel, das heißtf ist holomorph inΩ.

2.5.10 Satz über Vertauschung von Differentiation und Grenzübergang

Es seien f_n in Ω holomorph und kompakt konvergent gegen f (das heißt f_n(z) → f(z) gleichmäßig auf jede kompakte Teilmenge vonΩ). Dann ist f holomorph inΩ. Ferner gilt im Sinne der kompakten Konvergenz:

f_n^(k)(z)→f^(k)(z), k∈N Bemerkung:Im reellen existiertkeineanaloge Aussage!

Folgerung:Eine kompakt konvergente Reihe aus holomorphen Funktionen ist beliebig oft gliedweise differenzierbar.

2.5.11 Zusammenfassung der Hauptsätze

Für stetige Funktionf auf Ωsind folgende Aussagen äquivalent:

a) f ist holomorph inΩ b) f ist analytisch inΩ

c) f(x+iy) =u(x, y) +iv(x, y)wobei u, v: Ω→RC¹-Funktionen sind, mit

∂u

∂x =∂v

∂v und ∂u

∂y =−∂v

∂x

d) Z

γ

f(z)dz= 0für jeden geschlossenen, einfach gelagerten Weg γin Ω.

3 Laurent-Entwicklungen

3.1 Singularitäten

3.1.1 Definition: Isolierte Singularität

Es seif holomorph mitD(f) = Ω\ {z₀}. Dann heißtz₀∈Ωisolierte Singularität vonf.

z₀ heißt hebbareSingularität genau dann wenn eine holomorphe Funktiong in einer KugelB_ε(z₀)existiert, mit f(z) =g(z) in Bε(z0)\ {z0}

z0 heißt Polstellefalls gilt:

z→zlim0

|f(z)|=∞

z0 heißt wesentliche Singularität falls sie weder Polstelle noch eine hebbare Singularität ist.

Beispiel 1:

a) Für

f(z) := sinz z istz0= 0eine hebbare Singularität, denn: Fürz6= 0ist

sinz

z = 1−z² 3! +z⁴

5! − · · ·=:g(z) wobeig(z)eine überall konvergente Reihe ist, das heißtg ist ganz. Weiter ist

g(z) =





 sinz

z :z6= 0 1 :z= 0 b) Für

f(z) :=z³−1 z−1 istz0= 1eine hebbare Singularität.

c) Die Funktion

f(z) :=e^z−1 z hat inz0= 0eine hebbare Singularität.

d) Die Funktion

f(z) := 1 z besitzt inz0= 0eine Polstelle.

e) Die Funktion

f(z) :=e^z1, z6= 0 besitzt inz0= 0eine wesentliche Singularität.

Beweis:z0 ist keine hebbare Singularität, denn

n→∞lim f 1

n

= lim

n→∞eⁿ=∞

Würde es eine Funktion g um z₀ mit g(z) =f(z)gäben, so müsse g(z)^z→z−→ ∞⁰ gehen, das heißt g wäre in z₀ nicht stetig. Andererseits istz₀auch keine Polstelle, denn

n→∞lim f

−1 n

=e⁻ⁿ= 06=∞ Somit istz0 eine wesentliche Singularität.

Betrachten ferner

f 1

2πin

= lim

n→∞e^2πin= 1 das heißt der Grenzwert lim

z→z0

f(z)existiert nicht mal.

Beispiel 2: Betrachten die Funktion

f(z) := 1 w−z a) Es ist

1 w−z =

∞

X

n=0

(z−z₀)ⁿ (w−z0)ⁿ⁺¹ =

∞

X

n=0

an(z−z0)ⁿ:konvergent für |z−z0|<|w−z0|

Es liegt sogar gleichmäßige Konvergenz für

z−z0

w−z0

≤ρ <1 vor, und somit kompakte Konvergenz.

b) Für |z−z0|>|w−z0|erhält man nach Vertauschen vonwundz in (a):

1

w−z =− 1 z−w =

∞

X

n=0

(w−z₀)ⁿ (z−z0)ⁿ⁺¹ =

∞

X

n=1

a_−n (z−z0)ⁿ wobei für1< r≤

z−z₀ w−z0

sogar gleichmäßige Konvergenz vorliegt.

3.1.2 Definition: Laurent-Reihe Eine Reihe der Form

∞

X

n=−∞

a_n(z−z₀)ⁿ heißtLaurent-Reihe. Sie heißtkonvergent an der Stellez:⇔

r(z) :=

∞

X

n=0

a_n(z−z₀)ⁿ und h(z) :=

−1

X

n=−∞

a_n(z−z₀)ⁿ:=

∞

X

n=1

a_−n (z−z₀)ⁿ sind konvergent. Dann ist

∞

X

n=−∞

an(z−z0)ⁿ:=h(z) +r(z) wobeih(z)singulärer oderHauptteil undr(z)regulärer oderNebenteil heißt.

3.1.3 Satz über den singulären Teil der Laurent-Reihe Betrachten

∞

X

n=1

a_−n (z−z₀)ⁿ Dann gilt:

a) Ist die Reihe konvergent fürz=z1, so ist sie absolut konvergent∀z:|z−z0|>|z1−z0|.

b) Ist die Reihe divergent inz=z₂, so ist sie divergent∀z:|z−z₀|<|z₂−z₀|.

Beweis:Setzenw= 1 z−z0

also

∞

X

n=1

a_−n (z−z0)ⁿ =

∞

X

n=1

a_−nwⁿ

a) Ist

∞

X

n=1

a_−n· 1 (z₁−z₀)ⁿ

| {z }

w₁ⁿ

konvergent, so ist

∞

X

n=1

a_−n 1 (z−z0)ⁿ

| {z }

wⁿ

absolut konvergent für|w|<|w1|.

b) Ist anderseits

∞

X

n=1

a_−n 1 (z1−z0)ⁿ

| {z }

wⁿ₁

divergent, so ist

∞

X

n=1

a−n

1 (z−z0)ⁿ

| {z }

wⁿ

divergent für|w|>|w1|.

Folgerung: Ist der Hauptteil einer Laurent-Reihe konvergent für z1, der reguläre Teil konvergent für z2, so ist die Laurent-Reihe konvergent im Ring-Gebiet

ρ:=|z1−z0|<|z−z0|<|z2−z0|=:R

3.1.4 Satz: Gleichmäßige Konvergenz der Laurent-Reihe

Ist ∞

X

n=−∞

an(z−z0)ⁿ=:f(z)

konvergent für ρ := |z1−z0| < |z−z0| < |z2−z0| =: R mit 0 ≤ ρ < R ≤ ∞, so ist sie gleichmäßig konvergent für ρ+ε≤ |z−z0| ≤r, ε > 0, r < R (kompakter Kreisring). Insbesondere ist dann f in diesem Kreisring holomorph. Dabei gilt:

a_n = 1 2πi

Z

C_r(z₀)

f(w)

(w−z₀)ⁿ⁺¹ dw , ρ < r < R

3.1.5 Identitätssatz für Laurent-Reihen Seiρ:=|z1−z0|, R:=|z2−z0|. Gilt

∞

X

n=−∞

an(z−z0)ⁿ =

∞

X

n=−∞

bn(z−z0)ⁿ für ρ <|z−z0|< R so sindan =bn ∀n∈Z.

Beweis:Folgt direkt aus der Formel für die Koeffizientenan, bn.

3.1.6 Satz über die Laurentreihen-Entwickelbarkeit

Seif holomorph im Ringgebiet G:={z∈C:ρ <|z−z0|< R}mit 0≤ρ < R≤ ∞. Dann besitztf die Reihenentwicklung f(z) =

∞

X

n=−∞

an(z−z0)ⁿ

und ist in jeder kompakten Teilmenge vonGgleichmäßig konvergent. Dabei folgt durch die Cauchy-Integralformel:

an = 1 2πi

Z

C_r(z₀)

f(w)

(w−z₀)ⁿ⁺¹ dw für ρ < r < R Somit istf durch ihre Laurent-Reihe dargestellt.

Bemerke:z₀ muss nicht unbedingt inG sein.

Beispiel:

cotz= 1 z−1

3z− 1

45z³− 2

945z⁵−. . . für 0<|z|< π

3.1.7 Satz über die Abschätzung der Koeffizienten einer Laurent-Reihe Die Funktionf besitze die Laurent-Reihe

f(z) =

∞

X

n=−∞

an(z−z0)ⁿ und es sei

M(f, r) := max{f(z) :|z−z0|=r} , ρ < r < R Dann gilt

|a_n| ≤ M(f, r)

rⁿ ∀n∈Z

3.1.8 Satz von Riemann

Istf holomorph und beschränkt für0<|z−z0|< R, so istz0eine hebbare Singularität.

Beweis:Daf holomorph ist, besitzt sie die Laurent-Reihen-Darstellung f(z) =

∞

X

n=−∞

a_n(z−z₀)ⁿ

Wegen|f| ≤M für ein geeignetesM >0, folgt an≤ M

rⁿ , 0< r < R ⇒ |a−n| ≤M rⁿ , n∈N Lassen wirr→0 gehen, so gehta−n→0, das heißta−n= 0∀ n∈N, bzw.

f(z) =

∞

X

n=0

a_n(z−z₀)ⁿ , 0<|z−z₀|< R Doch die rechte Seite ist holomorph in|z−z0|< R.

3.1.9 Charakterisierung von Polstellen

Es seif holomorph in0<|z−z₀|< R. Dann besitztf inz₀ eine Polstelle, genau dann wennf von der Form f(z) =

∞

X

n=−m

an(z−z0)ⁿ , m∈N, a_−m6= 0 ist. Dabei istmdie so-genanteOrdnung der Polstellez0.

3.1.10 Kriterium für Pole

Eine isolierte Singularitätz0von f ist Pol m-ter Ordnung, genau dann wenn

z→zlim₀(z−z0)^mf(z)

existiert und ungleich0ist. Sei g holomorph in einer Umgebung von z0 undz0 eine Nullstellem-ter Ordnung vong. Dann

hat 1

g inz0 einen Polm-ter Ordnung.

3.1.11 Definition: Ganz transzendente Funktion

Eine Funktionf ist genau dann ganz-transzendent, fallsf ganz und kein Polynom ist.

3.1.12 Satz von Casorati-Weierstraß

Seif holomorph in 0<|z−z₀|< R. Istz₀ eine wesentliche Singularität vonf, so gilt:

(i) ∀a∈C:∃ (z_n) :z_n→z₀ ∧ f(z_n)→a (ii) ∃(wn) :wn→z0 ∧ |f(wn)| → ∞ Bemerkungen:

• Istf ganz-transzendent, so hatf ¹_z

in 0eine wesentliche Singularität.

• Für ein Polynompvom Gradn≥1 gilt:p ¹_z

besitzt in0ein Pol n-ter Ordnung.

Beweis:

a) Es ist

f(z) =

∞

X

k=0

akz^k , z∈C

Dabei gilt: Istan= 0fürn≥n0 so istf nach dem Satz von Liouville (2.5.7) unbeschränkt. Ferner:

f 1

z

=

∞

X

n=0

a_n 1 zⁿ =

0

X

n=−∞

a_−n

|{z}

b_n

zⁿ , z6= 0

Dabei existiert für jedesbn einbn⁰, n⁰> nmitbn⁰ 6= 0, das heißt0 ist keine Polstelle.

b) Entsprechend.

3.1.13 Satz von Casorati-Weierstraß für ganz-transzendente Funktionen Für eine ganz-transzendente Funktionf gilt:

(1) ∀a∈C:∃(zn) :|zn| → ∞ ∧ f(zn)→a (2) ∃(wn) :|wn| → ∞ ∧ |f(wn)| → ∞

Beweis:Folgt aus den Bemerkungen des Satzes von Casorati-Weierstraß (3.1.12).

3.1.14 Satz von Picard

Besitztf in z0 eine wesentliche Singularität, so existiert ein a ∈ C, so dassf in jeder Umgebung vonz0 alle Werte von C\ {a}annimmt.

3.2 Residuenkalkül

3.2.1 Definition: Residuum

Seif holomorph in Ω\ {z0},z0 sei isolierte singularität. Dann ist f(z) =

∞

X

n=−∞

an(z−z0)ⁿ , 0<|z−z0|< R , R >0

Der Koeffizienta₋₁ heißtResiduum vonf an der Stellez₀. Schreibweise:

Res(f, z₀) :=a₋₁ Dabei gilt

Res(f, z₀) =a₋₁= 1 2πi

Z

Cr(z0)

f(z)dz= 1 2πi

Z

γ

f(z)dz

für0< r < Rund einen beliebigen Wegγ, derz0einfach, positiv umläuft und mit seinem Inneren ganz inΩliegt.

Bemerkung:Obere stellt die einfachste Form des Residuensatzes dar, und folgt aus der Formel für die Koeffizienten von Laurentreihen (3.1.6)

3.2.2 Satz über das Residuum

Die Funktionf sei inΩ\ {z0} holomorph und besitze inz0 eine isolierte Singularität. Dann gilt:

a) Existiert der Grenzwert lim

z→z₀(z−z0)f(z), das heißt istz0eine hebbare Singularität oder Pol 1. Ordnung, so gilt Res(f, z0) = lim

z→z0

(z−z0)f(z) b)

Res(αf+βg, z₀) =αRes(f, z₀) +βRes(g, z₀) , α, β ∈C c) Istg holomorph in einer Umgebung vonz0und hat f inz0 einen Pol 1. Ordnung, so gilt

Res(f ·g, z0) =g(z0)·Res(f, z0) d) Istz0 eine einfache Nullstelle vonf, so folgt

Res 1

f, z0

= 1

f⁰(z0)

Beweis:(a) und (b) folgen direkt aus der Laurentreihen-Entwicklung. (c) und (d) folgen aus (a).