§3.2 Zerlegung von Primzahlen in Zahlkörpern

§3.2 Zerlegung von Primzahlen in Zahlkörpern

Bemerkung. Ein wesentlicher Grund für die Betrachtung von Gittern und vor allem multiplikativen Gittern ist, dass sie oftmals „einfacher“

sind als der Zahlring

(zum Beispiel ist fürd ∈

1 das multiplikative Gitter Z[√

d]„einfacher“ als Z[¹⁺

√ d

2 ] =Od)und für gewisse Zwecke doch den Zahlring ersetzen können.

Bemerkung. Ein wesentlicher Grund für die Betrachtung von Gittern und vor allem multiplikativen Gittern ist, dass sie oftmals „einfacher“

sind als der Zahlring(zum Beispiel ist für d ∈

1 das multiplikative Gitter Z[√

d]„einfacher“ als Z[¹⁺

√ d

2 ] =Od)

und für gewisse Zwecke doch den Zahlring ersetzen können.

Bemerkung. Ein wesentlicher Grund für die Betrachtung von Gittern und vor allem multiplikativen Gittern ist, dass sie oftmals „einfacher“

sind als der Zahlring(zum Beispiel ist für d ∈

1 das multiplikative Gitter Z[√

d]„einfacher“ als Z[¹⁺

√ d

2 ] =Od) und für gewisse Zwecke doch den Zahlring ersetzen können.

Bemerkung. SeiK ein Zahlkörperund x1, . . . ,x_n eineZ-Basis vonOK.

Bemerkung. SeiK ein Zahlkörperund x1, . . . ,x_n eineZ-Basis vonOK. (a) Sei I 6= (0) ein Ideal vonOK.

Nach Lemma 2.5.3 giltI∩Z6= (0), das heißtes gibt ein eindeutig bestimmtesm∈NmitI∩Z= (m). Insbesondere giltmOK ⊆I und man kannI sehen als mzusammen mit dem Bild von I unter OK →OK/mOK.

Ein Ideal 6= (0) des Zahlrings OK ist also gegeben durch eine natürliche Zahlm und ein Ideal des endlichen Rings

OK/mOK = (Zx1⊕ · · · ⊕Zxn)/(mZx1+· · ·+mZxn), dessen additive Gruppe in natürlicher Weise ein freierZ/mZ-Modul mit Basis x1, . . . ,x_n ist.

Insbesondere istOK/I endlich mit#(OK/I)|mⁿ.

Bemerkung. SeiK ein Zahlkörperund x1, . . . ,x_n eineZ-Basis vonOK. (a) Sei I 6= (0) ein Ideal vonOK.Nach Lemma 2.5.3 giltI∩Z6= (0),

das heißtes gibt ein eindeutig bestimmtesm∈NmitI∩Z= (m). Insbesondere giltmOK ⊆I und man kannI sehen als mzusammen mit dem Bild von I unter OK →OK/mOK.

Ein Ideal 6= (0) des Zahlrings OK ist also gegeben durch eine natürliche Zahlm und ein Ideal des endlichen Rings

OK/mOK = (Zx1⊕ · · · ⊕Zxn)/(mZx1+· · ·+mZxn), dessen additive Gruppe in natürlicher Weise ein freierZ/mZ-Modul mit Basis x1, . . . ,x_n ist.

Insbesondere istOK/I endlich mit#(OK/I)|mⁿ.

Bemerkung. SeiK ein Zahlkörperund x1, . . . ,x_n eineZ-Basis vonOK. (a) Sei I 6= (0) ein Ideal vonOK.Nach Lemma 2.5.3 giltI∩Z6= (0),

das heißtes gibt ein eindeutig bestimmtesm∈NmitI∩Z= (m).

Insbesondere giltmOK ⊆I und man kannI sehen als mzusammen mit dem Bild von I unter OK →OK/mOK.

Ein Ideal 6= (0) des Zahlrings OK ist also gegeben durch eine natürliche Zahlm und ein Ideal des endlichen Rings

OK/mOK = (Zx1⊕ · · · ⊕Zxn)/(mZx1+· · ·+mZxn), dessen additive Gruppe in natürlicher Weise ein freierZ/mZ-Modul mit Basis x1, . . . ,x_n ist.

Insbesondere istOK/I endlich mit#(OK/I)|mⁿ.

Bemerkung. SeiK ein Zahlkörperund x1, . . . ,x_n eineZ-Basis vonOK. (a) Sei I 6= (0) ein Ideal vonOK.Nach Lemma 2.5.3 giltI∩Z6= (0),

das heißtes gibt ein eindeutig bestimmtesm∈NmitI∩Z= (m).

Insbesondere giltmOK ⊆I und man kannI sehen als mzusammen mit dem Bild von I unter OK →OK/mOK.

Ein Ideal 6= (0) des Zahlrings OK ist also gegeben durch eine natürliche Zahlm und ein Ideal des endlichen Rings

OK/mOK = (Zx1⊕ · · · ⊕Zxn)/(mZx1+· · ·+mZxn), dessen additive Gruppe in natürlicher Weise ein freierZ/mZ-Modul mit Basis x1, . . . ,x_n ist.

Insbesondere istOK/I endlich mit#(OK/I)|mⁿ.

Bemerkung. SeiK ein Zahlkörperund x1, . . . ,x_n eineZ-Basis vonOK. (a) Sei I 6= (0) ein Ideal vonOK.Nach Lemma 2.5.3 giltI∩Z6= (0),

das heißtes gibt ein eindeutig bestimmtesm∈NmitI∩Z= (m).

Insbesondere giltmOK ⊆I und man kannI sehen als mzusammen mit dem Bild von I unter OK →OK/mOK.

Ein Ideal 6= (0) des Zahlrings OK ist also gegeben durch eine natürliche Zahlm und ein Ideal des endlichen Rings

OK/mOK = (Zx1⊕ · · · ⊕Zxn)/(mZx1+· · ·+mZxn),

dessen additive Gruppe in natürlicher Weise ein freierZ/mZ-Modul mit Basis x1, . . . ,x_n ist.

Insbesondere istOK/I endlich mit#(OK/I)|mⁿ.

Bemerkung. SeiK ein Zahlkörperund x1, . . . ,x_n eineZ-Basis vonOK. (a) Sei I 6= (0) ein Ideal vonOK.Nach Lemma 2.5.3 giltI∩Z6= (0),

das heißtes gibt ein eindeutig bestimmtesm∈NmitI∩Z= (m).

Insbesondere giltmOK ⊆I und man kannI sehen als mzusammen mit dem Bild von I unter OK →OK/mOK.

Ein Ideal 6= (0) des Zahlrings OK ist also gegeben durch eine natürliche Zahlm und ein Ideal des endlichen Rings

OK/mOK = (Zx1⊕ · · · ⊕Zxn)/(mZx1+· · ·+mZxn), dessen additive Gruppe in natürlicher Weise ein freierZ/mZ-Modul mit Basis x₁, . . . ,x_n ist.

Insbesondere istOK/I endlich mit#(OK/I)|mⁿ.

Bemerkung. SeiK ein Zahlkörperund x1, . . . ,x_n eineZ-Basis vonOK. (a) Sei I 6= (0) ein Ideal vonOK.Nach Lemma 2.5.3 giltI∩Z6= (0),

das heißtes gibt ein eindeutig bestimmtesm∈NmitI∩Z= (m).

Insbesondere giltmOK ⊆I und man kannI sehen als mzusammen mit dem Bild von I unter OK →OK/mOK.

Ein Ideal 6= (0) des Zahlrings OK ist also gegeben durch eine natürliche Zahlm und ein Ideal des endlichen Rings

OK/mOK = (Zx1⊕ · · · ⊕Zxn)/(mZx1+· · ·+mZxn), dessen additive Gruppe in natürlicher Weise ein freierZ/mZ-Modul mit Basis x₁, . . . ,x_n ist.

Insbesondere istOK/I endlich mit#(OK/I)|mⁿ.

Bemerkung. SeiK ein Zahlkörperund x1, . . . ,x_n eineZ-Basis vonOK. (b) Sei m∈N. In Anbetracht von (a) ist dermⁿ-elementige Ring

OK/mOK von besonderem Interesse.

Um diesen zu kennen, braucht man aber den ZahlringOK oft gar nicht genau zu kennen. Es reicht, ein multiplikatives Gitter M in K zu kennen mit

(m,[OK :M]) = (1) . Dann gibt ess,t∈Zmit sm+t[OK :M] =1. Für jedesx∈OK gilt dann

x =1·x =s mx

|{z}

∈mOK

+t[OK :M]x

| {z }

∈M

,

weshalb der kanonische HomomorphismusM/mM →OK/mOK

surjektivist. WegenM/mM ^{M Gitter}= mⁿ= #OK/mOK ist dieser auch injektiv und wir haben eine kanonische Isomorphie

M/mM ∼=OK/mOK.

Bemerkung. SeiK ein Zahlkörperund x1, . . . ,x_n eineZ-Basis vonOK. (b) Sei m∈N. In Anbetracht von (a) ist dermⁿ-elementige Ring

OK/mOK von besonderem Interesse.Um diesen zu kennen, braucht man aber den ZahlringOK oft gar nicht genau zu kennen.

Es reicht, ein multiplikatives Gitter M in K zu kennen mit (m,[OK :M]) = (1) . Dann gibt ess,t∈Zmit

sm+t[OK :M] =1. Für jedesx∈OK gilt dann x =1·x =s mx

|{z}

∈mOK

+t[OK :M]x

| {z }

∈M

,

weshalb der kanonische HomomorphismusM/mM →OK/mOK

surjektivist. WegenM/mM ^{M Gitter}= mⁿ= #OK/mOK ist dieser auch injektiv und wir haben eine kanonische Isomorphie

M/mM ∼=OK/mOK.

Bemerkung. SeiK ein Zahlkörperund x1, . . . ,x_n eineZ-Basis vonOK. (b) Sei m∈N. In Anbetracht von (a) ist dermⁿ-elementige Ring

OK/mOK von besonderem Interesse.Um diesen zu kennen, braucht man aber den ZahlringOK oft gar nicht genau zu kennen.

Es reicht, ein multiplikatives Gitter M in K zu kennen mit (m,[OK :M]) = (1) .

Dann gibt ess,t∈Zmit sm+t[OK :M] =1. Für jedesx∈OK gilt dann

x =1·x =s mx

|{z}

∈mOK

+t[OK :M]x

| {z }

∈M

,

weshalb der kanonische HomomorphismusM/mM →OK/mOK

surjektivist. WegenM/mM ^{M Gitter}= mⁿ= #OK/mOK ist dieser auch injektiv und wir haben eine kanonische Isomorphie

M/mM ∼=OK/mOK.

Bemerkung. SeiK ein Zahlkörperund x1, . . . ,x_n eineZ-Basis vonOK. (b) Sei m∈N. In Anbetracht von (a) ist dermⁿ-elementige Ring

OK/mOK von besonderem Interesse.Um diesen zu kennen, braucht man aber den ZahlringOK oft gar nicht genau zu kennen.

Es reicht, ein multiplikatives Gitter M in K zu kennen mit (m,[OK :M]) = (1) . Dann gibt ess,t∈Zmit

sm+t[OK :M] =1. Für jedes x∈OK gilt dann x =1·x =s mx

|{z}

∈mOK

+t[OK :M]x

| {z }

∈M

,

weshalb der kanonische HomomorphismusM/mM →OK/mOK

surjektivist.

WegenM/mM ^{M Gitter}= mⁿ= #OK/mOK ist dieser auch injektiv und wir haben eine kanonische Isomorphie

M/mM ∼=OK/mOK.

Bemerkung. SeiK ein Zahlkörperund x1, . . . ,x_n eineZ-Basis vonOK. (b) Sei m∈N. In Anbetracht von (a) ist dermⁿ-elementige Ring

OK/mOK von besonderem Interesse.Um diesen zu kennen, braucht man aber den ZahlringOK oft gar nicht genau zu kennen.

Es reicht, ein multiplikatives Gitter M in K zu kennen mit (m,[OK :M]) = (1) . Dann gibt ess,t∈Zmit

sm+t[OK :M] =1. Für jedes x∈OK gilt dann x =1·x =s mx

|{z}

∈mOK

+t[OK :M]x

| {z }

∈M

,

weshalb der kanonische HomomorphismusM/mM →OK/mOK

surjektivist. WegenM/mM ^{M Gitter}= mⁿ= #OK/mOK ist dieser auch injektiv und wir haben eine kanonische Isomorphie

M/mM ∼=OK/mOK.

Bemerkung. SeiK ein Zahlkörperund x1, . . . ,x_n eineZ-Basis vonOK. (c) Wir spezialisieren das unter (a) und (b) Gesagte auf Primideale.

Sei p∈M_OK.Dann gibt esgenau einp ∈Pmitp∩Z= (p).

Insbesondere pOK ⊆pund man kann psehen alsp zusammen mit dem Bild von punter OK →OK/pOK.

Ein Primideal 6= (0) des Zahlrings OK ist also gegeben durch eine Primzahlp und ein Primideal des endlichen RingesOK/pOK, dessen additive Gruppe in natürlicher Weise einFp-Vektorraum mit Basis x1, . . . ,xn ist.

Insbesondere ist#(OK/p)∈ {p,p², . . . ,pⁿ}.

IstM ein multiplikatives Gitter inK mit p-[OK :M] , so gilt kanonischM/pM ∼=OK/pOK.

Bemerkung. SeiK ein Zahlkörperund x1, . . . ,x_n eineZ-Basis vonOK. (c) Wir spezialisieren das unter (a) und (b) Gesagte auf Primideale.

Sei p∈M_OK.Dann gibt esgenau einp ∈Pmitp∩Z= (p).

Insbesondere pOK ⊆pund man kann psehen alsp zusammen mit dem Bild von punter OK →OK/pOK.

Ein Primideal 6= (0) des Zahlrings OK ist also gegeben durch eine Primzahlp und ein Primideal des endlichen RingesOK/pOK, dessen additive Gruppe in natürlicher Weise einFp-Vektorraum mit Basis x1, . . . ,xn ist.

Insbesondere ist#(OK/p)∈ {p,p², . . . ,pⁿ}.

IstM ein multiplikatives Gitter inK mit p-[OK :M] , so gilt kanonischM/pM ∼=OK/pOK.

Bemerkung. SeiK ein Zahlkörperund x1, . . . ,x_n eineZ-Basis vonOK. (c) Wir spezialisieren das unter (a) und (b) Gesagte auf Primideale.

Sei p∈M_OK.Dann gibt esgenau einp ∈Pmitp∩Z= (p).

Insbesondere pOK ⊆pund man kann psehen alsp zusammen mit dem Bild von punter OK →OK/pOK.

Ein Primideal 6= (0) des Zahlrings OK ist also gegeben durch eine Primzahlp und ein Primideal des endlichen RingesOK/pOK, dessen additive Gruppe in natürlicher Weise einFp-Vektorraum mit Basis x1, . . . ,xn ist.

Insbesondere ist#(OK/p)∈ {p,p², . . . ,pⁿ}.

IstM ein multiplikatives Gitter inK mit p-[OK :M] , so gilt kanonischM/pM ∼=OK/pOK.

Bemerkung. SeiK ein Zahlkörperund x1, . . . ,x_n eineZ-Basis vonOK. (c) Wir spezialisieren das unter (a) und (b) Gesagte auf Primideale.

Sei p∈M_OK.Dann gibt esgenau einp ∈Pmitp∩Z= (p).

Insbesondere pOK ⊆pund man kann psehen alsp zusammen mit dem Bild von punter OK →OK/pOK.

Ein Primideal 6= (0) des Zahlrings OK ist also gegeben durch eine Primzahlp und ein Primideal des endlichen RingesOK/pOK, dessen additive Gruppe in natürlicher Weise einFp-Vektorraum mit Basis x1, . . . ,xn ist.

Insbesondere ist#(OK/p)∈ {p,p², . . . ,pⁿ}.

IstM ein multiplikatives Gitter inK mit p-[OK :M] , so gilt kanonischM/pM ∼=OK/pOK.

Bemerkung. SeiK ein Zahlkörperund x1, . . . ,x_n eineZ-Basis vonOK. (d) Nach dem Satz vom primitiven Element gibt es a∈K mit

K =Q(a). WegenK = (Z\ {0})⁻¹OK kann man leicht a∈OK

wählen.

Dann istZ[a]ein multiplikatives Gitter inK.

Setze f :=irr_Q(a)∈Q[X]. Dann f ∈Z[X]. Da f normiert ist, gilt fQ[X]∩Z[X] =fZ[X](benutze zum Beispiel das Lemma von Gauß). Daher kanonischZ[X]/(f),→Q[X]/(f). Bezeichne Z[X]→Fp[X], g 7→g den Homomorphismus mit m=m^(p) (m∈Z) undX =X. Dann liegt f im Kern des Epimorphismus Fp[X]→Z[a]/pZ[a] mitX 7→a.

Daf normiert ist, gilt degf =degf =n und daher

#(Fp[X]/(f)) =p^nZ[a]=^Gitter#(Z[a]/pZ[a]). Daher haben wir Fp[X]/(f) →^∼=

X7→aZ[a]/pZ[a]. Falls p -[OK :Z[a]] , so haben wir auch noch kanonischZ[a]/pZ[a]∼=OK/pOK und es ergibt sich folgendes kommutative Diagramm:

Bemerkung. SeiK ein Zahlkörperund x1, . . . ,x_n eineZ-Basis vonOK. (d) Nach dem Satz vom primitiven Element gibt es a∈K mit

K =Q(a). WegenK = (Z\ {0})⁻¹OK kann man leicht a∈OK

wählen. Dann istZ[a]ein multiplikatives Gitter inK. Setze f :=irr_Q(a)∈Q[X]. Dann f ∈Z[X].

Daf normiert ist, gilt fQ[X]∩Z[X] =fZ[X](benutze zum Beispiel das Lemma von Gauß). Daher kanonischZ[X]/(f),→Q[X]/(f). Bezeichne Z[X]→Fp[X], g 7→g den Homomorphismus mit m=m^(p) (m∈Z) undX =X. Dann liegt f im Kern des Epimorphismus Fp[X]→Z[a]/pZ[a] mitX 7→a.

Daf normiert ist, gilt degf =degf =n und daher

#(Fp[X]/(f)) =p^nZ[a]=^Gitter#(Z[a]/pZ[a]). Daher haben wir Fp[X]/(f) →^∼=

X7→aZ[a]/pZ[a]. Falls p -[OK :Z[a]] , so haben wir auch noch kanonischZ[a]/pZ[a]∼=OK/pOK und es ergibt sich folgendes kommutative Diagramm:

Bemerkung. SeiK ein Zahlkörperund x1, . . . ,x_n eineZ-Basis vonOK. (d) Nach dem Satz vom primitiven Element gibt es a∈K mit

K =Q(a). WegenK = (Z\ {0})⁻¹OK kann man leicht a∈OK

wählen. Dann istZ[a]ein multiplikatives Gitter inK.

Setze f :=irr_Q(a)∈Q[X]. Dann f ∈Z[X]. Da f normiert ist, gilt fQ[X]∩Z[X] =fZ[X](benutze zum Beispiel das Lemma von Gauß). Daher kanonischZ[X]/(f),→Q[X]/(f).

Bezeichne Z[X]→Fp[X], g 7→g den Homomorphismus mit m=m^(p) (m∈Z) undX =X. Dann liegt f im Kern des Epimorphismus Fp[X]→Z[a]/pZ[a] mitX 7→a.

Daf normiert ist, gilt degf =degf =n und daher

#(Fp[X]/(f)) =p^nZ[a]=^Gitter#(Z[a]/pZ[a]). Daher haben wir Fp[X]/(f) →^∼=

X7→aZ[a]/pZ[a]. Falls p -[OK :Z[a]] , so haben wir auch noch kanonischZ[a]/pZ[a]∼=OK/pOK und es ergibt sich folgendes kommutative Diagramm:

Bemerkung. SeiK ein Zahlkörperund x1, . . . ,x_n eineZ-Basis vonOK. (d) Nach dem Satz vom primitiven Element gibt es a∈K mit

K =Q(a). WegenK = (Z\ {0})⁻¹OK kann man leicht a∈OK

wählen. Dann istZ[a]ein multiplikatives Gitter inK.

Setze f :=irr_Q(a)∈Q[X]. Dann f ∈Z[X]. Da f normiert ist, gilt fQ[X]∩Z[X] =fZ[X](benutze zum Beispiel das Lemma von Gauß). Daher kanonischZ[X]/(f),→Q[X]/(f). Bezeichne Z[X]→Fp[X], g 7→g den Homomorphismus mit m=m^(p) (m∈Z) undX =X. Dann liegt f im Kern des Epimorphismus Fp[X]→Z[a]/pZ[a]mitX 7→a.

Daf normiert ist, gilt degf =degf =n und daher

#(Fp[X]/(f)) =p^nZ[a]=^Gitter#(Z[a]/pZ[a]).

Daher haben wir Fp[X]/(f) →^∼=

X7→aZ[a]/pZ[a]. Falls p -[OK :Z[a]] , so haben wir auch noch kanonischZ[a]/pZ[a]∼=OK/pOK und es ergibt sich folgendes kommutative Diagramm:

Bemerkung. SeiK ein Zahlkörperund x1, . . . ,x_n eineZ-Basis vonOK. (d) Nach dem Satz vom primitiven Element gibt es a∈K mit

K =Q(a). WegenK = (Z\ {0})⁻¹OK kann man leicht a∈OK

wählen. Dann istZ[a]ein multiplikatives Gitter inK.

Setze f :=irr_Q(a)∈Q[X]. Dann f ∈Z[X]. Da f normiert ist, gilt fQ[X]∩Z[X] =fZ[X](benutze zum Beispiel das Lemma von Gauß). Daher kanonischZ[X]/(f),→Q[X]/(f). Bezeichne Z[X]→Fp[X], g 7→g den Homomorphismus mit m=m^(p) (m∈Z) undX =X. Dann liegt f im Kern des Epimorphismus Fp[X]→Z[a]/pZ[a]mitX 7→a.

Daf normiert ist, gilt degf =degf =n und daher

#(Fp[X]/(f)) =p^nZ[a]=^Gitter#(Z[a]/pZ[a]). Daher haben wir Fp[X]/(f) →^∼=

X7→aZ[a]/pZ[a].

Falls p -[OK :Z[a]] , so haben wir auch noch kanonischZ[a]/pZ[a]∼=OK/pOK und es ergibt sich folgendes kommutative Diagramm:

Bemerkung. SeiK ein Zahlkörperund x1, . . . ,x_n eineZ-Basis vonOK. (d) Nach dem Satz vom primitiven Element gibt es a∈K mit

K =Q(a). WegenK = (Z\ {0})⁻¹OK kann man leicht a∈OK

wählen. Dann istZ[a]ein multiplikatives Gitter inK.

Setze f :=irr_Q(a)∈Q[X]. Dann f ∈Z[X]. Da f normiert ist, gilt fQ[X]∩Z[X] =fZ[X](benutze zum Beispiel das Lemma von Gauß). Daher kanonischZ[X]/(f),→Q[X]/(f). Bezeichne Z[X]→Fp[X], g 7→g den Homomorphismus mit m=m^(p) (m∈Z) undX =X. Dann liegt f im Kern des Epimorphismus Fp[X]→Z[a]/pZ[a]mitX 7→a.

Daf normiert ist, gilt degf =degf =n und daher

#(Fp[X]/(f)) =p^nZ[a]=^Gitter#(Z[a]/pZ[a]). Daher haben wir Fp[X]/(f) →^∼=

X7→aZ[a]/pZ[a]. Falls p -[OK :Z[a]] , so haben wir auch noch kanonischZ[a]/pZ[a]∼=OK/pOK und es ergibt sich folgendes kommutative Diagramm:

Bemerkung. SeiK ein Zahlkörperund x1, . . . ,x_n eineZ-Basis vonOK. (d)

Q[X]/(f) K

OK

Z[X]/(f) Z[a]

Fp[X]/(f) Z[a]/pZ[a] OK/pOK

∼= X7→a

⊇

∼= X7→a

⊆

∼= X7→a

p- [OK:Z[a]]

∼⇓

=

Satz. SeienK =Q(a) ein Zahlkörper,aganz über Z,p ∈P mit p-[OK :Z[a]] ,f :=irr_Q(a)∈Z[X],m∈N,g1, . . . ,gm ∈Z[X]und α1, . . . , α_m∈Nmit

f =g1α1· · ·gmαm inFp[X],

wobeig₁, . . . ,g_m paarweise verschiedene normierte irreduzible Polynome inFp[X]seien. Dann ist p_i :=gi(a)OK +pOK für jedes i ∈ {1, . . . ,m}ein Primideal von OK[X] mit Trägheitsindex f_Z(p_i) =degg_i,p₁, . . . ,p_m sind paarweise verschieden und es gilt

pOK =p^α₁¹· · ·p^α_m^m.

Satz. SeienK =Q(a) ein Zahlkörper,aganz über Z,p ∈P mit p-[OK :Z[a]] ,f :=irr_Q(a)∈Z[X],m∈N,g1, . . . ,gm ∈Z[X]und α1, . . . , α_m∈Nmit

f =g1α1· · ·gmαm inFp[X],

wobeig₁, . . . ,g_m paarweise verschiedene normierte irreduzible Polynome inFp[X]seien. Dann ist p_i :=gi(a)OK +pOK für jedes i ∈ {1, . . . ,m}ein Primideal von OK[X] mit Trägheitsindex f_Z(p_i) =degg_i,p₁, . . . ,p_m sind paarweise verschieden und es gilt

pOK =p^α₁¹· · ·p^α_m^m.

Beweis. Da Fp[X] ein Hauptidealring ist, sind die verschiedenen Prim- ideale darin, die (f) enthalten, genau die (g₁), . . . ,(g_m). Deren Bilder (g1(a)), . . . ,(gm(a)) unter ϕ:Fp[X]/(f)→OK/pOK, X 7→a sind ge- nau die verschiedenen Primideale von OK/pOK.

Daher sind p₁, . . . ,p_m als deren Urbilder unterOK →OK/pOK genau die verschiedenen Prim- ideale vonOK, die (p)enthalten.

Satz. SeienK =Q(a) ein Zahlkörper,aganz über Z,p ∈P mit p-[OK :Z[a]] ,f :=irr_Q(a)∈Z[X],m∈N,g1, . . . ,gm ∈Z[X]und α1, . . . , α_m∈Nmit

f =g1α1· · ·gmαm inFp[X],

wobeig₁, . . . ,g_m paarweise verschiedene normierte irreduzible Polynome inFp[X]seien. Dann ist p_i :=gi(a)OK +pOK für jedes i ∈ {1, . . . ,m}ein Primideal von OK[X] mit Trägheitsindex f_Z(p_i) =degg_i,p₁, . . . ,p_m sind paarweise verschieden und es gilt

pOK =p^α₁¹· · ·p^α_m^m.

Beweis. Da Fp[X] ein Hauptidealring ist, sind die verschiedenen Prim- ideale darin, die (f) enthalten, genau die (g₁), . . . ,(g_m). Deren Bilder (g1(a)), . . . ,(gm(a)) unter ϕ:Fp[X]/(f)→OK/pOK, X 7→a sind ge- nau die verschiedenen Primideale von OK/pOK. Daher sind p₁, . . . ,p_m als deren Urbilder unterOK →OK/pOK genau die verschiedenen Prim- ideale vonOK, die (p)enthalten.

Satz. SeienK =Q(a) ein Zahlkörper,aganz über Z,p ∈P mit p-[OK :Z[a]] ,f :=irr_Q(a)∈Z[X],m∈N,g1, . . . ,gm ∈Z[X]und α1, . . . , α_m∈Nmit

f =g1α1· · ·gmαm inFp[X],

wobeig₁, . . . ,g_m paarweise verschiedene normierte irreduzible Polynome inFp[X]seien. Dann ist p_i :=gi(a)OK +pOK für jedes i ∈ {1, . . . ,m}ein Primideal von OK[X] mit Trägheitsindex f_Z(p_i) =degg_i,p₁, . . . ,p_m sind paarweise verschieden und es gilt

pOK =p^α₁¹· · ·p^α_m^m.

Beweis. p₁, . . . ,p_m sind genau die verschiedenen Primideale vonOK, die (p)enthalten.

Mitei :=e_Z(pi) undfi :=f_Z(pi) füri ∈ {1, . . . ,m} folgt e1, . . . ,e_m,f1, . . . ,f_m ∈ N, pOK = p^e₁¹· · ·p^e_m^m und Pm

i=1e_if_i = n := [K :Q] =degf =degf. Es giltfi = [OK/(gi(a)OK +pOK) :Fp] und OK/(g_i(a)OK+pOK)∼= (OK/pOK)/(g_i(a))∼=Fp[X]/(g_i) als

Fp-Vektorraum. Somit fi =deggi.

Satz. SeienK =Q(a) ein Zahlkörper,aganz über Z,p ∈P mit p-[OK :Z[a]] ,f :=irr_Q(a)∈Z[X],m∈N,g1, . . . ,gm ∈Z[X]und α1, . . . , α_m∈Nmit

f =g1α1· · ·gmαm inFp[X],

wobeig₁, . . . ,g_m paarweise verschiedene normierte irreduzible Polynome inFp[X]seien. Dann ist p_i :=gi(a)OK +pOK für jedes i ∈ {1, . . . ,m}ein Primideal von OK[X] mit Trägheitsindex f_Z(p_i) =degg_i,p₁, . . . ,p_m sind paarweise verschieden und es gilt

pOK =p^α₁¹· · ·p^α_m^m.

Beweis. p₁, . . . ,p_m sind genau die verschiedenen Primideale vonOK, die (p)enthalten. Mit e_i :=e_Z(p_i) undf_i :=f_Z(p_i) füri ∈ {1, . . . ,m} folgt e₁, . . . ,e_m,f₁, . . . ,f_m ∈ N, pOK = p^e₁¹· · ·p^e_m^m und Pm

i=1e_if_i = n :=

[K :Q] =degf =degf.

Es gilt fi = [OK/(gi(a)OK +pOK) :Fp] und OK/(g_i(a)OK+pOK)∼= (OK/pOK)/(g_i(a))∼=Fp[X]/(g_i) als

Fp-Vektorraum. Somit fi =deggi.

Satz. SeienK =Q(a) ein Zahlkörper,aganz über Z,p ∈P mit p-[OK :Z[a]] ,f :=irr_Q(a)∈Z[X],m∈N,g1, . . . ,gm ∈Z[X]und α1, . . . , α_m∈Nmit

f =g1α1· · ·gmαm inFp[X],

wobeig₁, . . . ,g_m paarweise verschiedene normierte irreduzible Polynome inFp[X]seien. Dann ist p_i :=gi(a)OK +pOK für jedes i ∈ {1, . . . ,m}ein Primideal von OK[X] mit Trägheitsindex f_Z(p_i) =degg_i,p₁, . . . ,p_m sind paarweise verschieden und es gilt

pOK =p^α₁¹· · ·p^α_m^m.

Beweis. p₁, . . . ,p_m sind genau die verschiedenen Primideale vonOK, die (p)enthalten. Mit e_i :=e_Z(p_i) undf_i :=f_Z(p_i) füri ∈ {1, . . . ,m} folgt e₁, . . . ,e_m,f₁, . . . ,f_m ∈ N, pOK = p^e₁¹· · ·p^e_m^m und Pm

i=1e_if_i = n :=

[K :Q] =degf =degf. Es giltfi = [OK/(gi(a)OK+pOK) :Fp] und OK/(g_i(a)OK+pOK)∼= (OK/pOK)/(g_i(a))∼=Fp[X]/(g_i) als

Ring

Fp-Vektorraum. Somit fi =deggi.

Satz. SeienK =Q(a) ein Zahlkörper,aganz über Z,p ∈P mit p-[OK :Z[a]] ,f :=irr_Q(a)∈Z[X],m∈N,g1, . . . ,gm ∈Z[X]und α1, . . . , α_m∈Nmit

f =g1α1· · ·gmαm inFp[X],

wobeig₁, . . . ,g_m paarweise verschiedene normierte irreduzible Polynome inFp[X]seien. Dann ist p_i :=gi(a)OK +pOK für jedes i ∈ {1, . . . ,m}ein Primideal von OK[X] mit Trägheitsindex f_Z(p_i) =degg_i,p₁, . . . ,p_m sind paarweise verschieden und es gilt

pOK =p^α₁¹· · ·p^α_m^m.

Beweis. p₁, . . . ,p_m sind genau die verschiedenen Primideale vonOK, die (p)enthalten. Mit e_i :=e_Z(p_i) undf_i :=f_Z(p_i) füri ∈ {1, . . . ,m} folgt e₁, . . . ,e_m,f₁, . . . ,f_m ∈ N, pOK = p^e₁¹· · ·p^e_m^m und Pm

i=1e_if_i = n :=

[K :Q] =degf =degf. Es giltfi = [OK/(gi(a)OK+pOK) :Fp] und OK/(g_i(a)OK+pOK)∼= (OK/pOK)/(g_i(a))∼=Fp[X]/(g_i) als

abelsche Gruppe

Fp-Vektorraum. Somit fi =deggi.

Satz. SeienK =Q(a) ein Zahlkörper,aganz über Z,p ∈P mit p-[OK :Z[a]] ,f :=irr_Q(a)∈Z[X],m∈N,g1, . . . ,gm ∈Z[X]und α1, . . . , α_m∈Nmit

f =g1α1· · ·gmαm inFp[X],

wobeig₁, . . . ,g_m paarweise verschiedene normierte irreduzible Polynome inFp[X]seien. Dann ist p_i :=gi(a)OK +pOK für jedes i ∈ {1, . . . ,m}ein Primideal von OK[X] mit Trägheitsindex f_Z(p_i) =degg_i,p₁, . . . ,p_m sind paarweise verschieden und es gilt

pOK =p^α₁¹· · ·p^α_m^m.

Beweis. p₁, . . . ,p_m sind genau die verschiedenen Primideale vonOK, die (p)enthalten. Mit e_i :=e_Z(p_i) undf_i :=f_Z(p_i) füri ∈ {1, . . . ,m} folgt e₁, . . . ,e_m,f₁, . . . ,f_m ∈ N, pOK = p^e₁¹· · ·p^e_m^m und Pm

i=1e_if_i = n :=

[K :Q] =degf =degf. Es giltfi = [OK/(gi(a)OK+pOK) :Fp] und OK/(g_i(a)OK+pOK)∼= (OK/pOK)/(g_i(a))∼=Fp[X]/(g_i) als

Z-Modul

Fp-Vektorraum. Somit fi =deggi.

Satz. SeienK =Q(a) ein Zahlkörper,aganz über Z,p ∈P mit p-[OK :Z[a]] ,f :=irr_Q(a)∈Z[X],m∈N,g1, . . . ,gm ∈Z[X]und α1, . . . , α_m∈Nmit

f =g1α1· · ·gmαm inFp[X],

wobeig₁, . . . ,g_m paarweise verschiedene normierte irreduzible Polynome inFp[X]seien. Dann ist p_i :=gi(a)OK +pOK für jedes i ∈ {1, . . . ,m}ein Primideal von OK[X] mit Trägheitsindex f_Z(p_i) =degg_i,p₁, . . . ,p_m sind paarweise verschieden und es gilt

pOK =p^α₁¹· · ·p^α_m^m.

Beweis. p₁, . . . ,p_m sind genau die verschiedenen Primideale vonOK, die (p)enthalten. Mit e_i :=e_Z(p_i) undf_i :=f_Z(p_i) füri ∈ {1, . . . ,m} folgt e₁, . . . ,e_m,f₁, . . . ,f_m ∈ N, pOK = p^e₁¹· · ·p^e_m^m und Pm

i=1e_if_i = n :=

[K :Q] =degf =degf. Es giltfi = [OK/(gi(a)OK+pOK) :Fp] und OK/(g_i(a)OK+pOK)∼= (OK/pOK)/(g_i(a))∼=Fp[X]/(g_i) als

Z/(p)-Modul

Fp-Vektorraum. Somit fi =deggi.

Satz. SeienK =Q(a) ein Zahlkörper,aganz über Z,p ∈P mit p-[OK :Z[a]] ,f :=irr_Q(a)∈Z[X],m∈N,g1, . . . ,gm ∈Z[X]und α1, . . . , α_m∈Nmit

f =g1α1· · ·gmαm inFp[X],

wobeig₁, . . . ,g_m paarweise verschiedene normierte irreduzible Polynome inFp[X]seien. Dann ist p_i :=gi(a)OK +pOK für jedes i ∈ {1, . . . ,m}ein Primideal von OK[X] mit Trägheitsindex f_Z(p_i) =degg_i,p₁, . . . ,p_m sind paarweise verschieden und es gilt

pOK =p^α₁¹· · ·p^α_m^m.

Beweis. p₁, . . . ,p_m sind genau die verschiedenen Primideale vonOK, die (p)enthalten. Mit e_i :=e_Z(p_i) undf_i :=f_Z(p_i) füri ∈ {1, . . . ,m} folgt e₁, . . . ,e_m,f₁, . . . ,f_m ∈ N, pOK = p^e₁¹· · ·p^e_m^m und Pm

i=1e_if_i = n :=

[K :Q] =degf =degf. Es giltfi = [OK/(gi(a)OK+pOK) :Fp] und OK/(g_i(a)OK+pOK)∼= (OK/pOK)/(g_i(a))∼=Fp[X]/(g_i) als

Fp-Vektorraum.

Somitfi =deggi.

Satz. SeienK =Q(a) ein Zahlkörper,aganz über Z,p ∈P mit p-[OK :Z[a]] ,f :=irr_Q(a)∈Z[X],m∈N,g1, . . . ,gm ∈Z[X]und α1, . . . , α_m∈Nmit

f =g1α1· · ·gmαm inFp[X],

wobeig₁, . . . ,g_m paarweise verschiedene normierte irreduzible Polynome inFp[X]seien. Dann ist p_i :=gi(a)OK +pOK für jedes i ∈ {1, . . . ,m}ein Primideal von OK[X] mit Trägheitsindex f_Z(p_i) =degg_i,p₁, . . . ,p_m sind paarweise verschieden und es gilt

pOK =p^α₁¹· · ·p^α_m^m.

Beweis. p₁, . . . ,p_m sind genau die verschiedenen Primideale vonOK, die (p)enthalten. Mit e_i :=e_Z(p_i) undf_i :=f_Z(p_i) füri ∈ {1, . . . ,m} folgt e₁, . . . ,e_m,f₁, . . . ,f_m ∈ N, pOK = p^e₁¹· · ·p^e_m^m und Pm

i=1e_if_i = n :=

[K :Q] =degf =degf. Es giltfi = [OK/(gi(a)OK+pOK) :Fp] und OK/(g_i(a)OK+pOK)∼= (OK/pOK)/(g_i(a))∼=Fp[X]/(g_i) als

Fp-Vektorraum. Somit fi =deggi.

Satz. SeienK =Q(a) ein Zahlkörper,aganz über Z,p ∈P mit p-[OK :Z[a]] ,f :=irr_Q(a)∈Z[X],m∈N,g1, . . . ,gm ∈Z[X]und α1, . . . , α_m∈Nmit

f =g1α1· · ·gmαm inFp[X],

wobeig₁, . . . ,g_m paarweise verschiedene normierte irreduzible Polynome inFp[X]seien. Dann ist p_i :=gi(a)OK +pOK für jedes i ∈ {1, . . . ,m}ein Primideal von OK[X] mit Trägheitsindex f_Z(p_i) =degg_i,p₁, . . . ,p_m sind paarweise verschieden und es gilt

pOK =p^α₁¹· · ·p^α_m^m.

Beweis.Mite_i :=e_Z(p_i)≥1 undf_i :=f_Z(p_i) =degg_i füri ∈ {1, . . . ,n}

gilt pOK = p^e₁¹· · ·p^e_m^m und Pm

i=1e_if_i =n := [K :Q] =degf =degf.

Wendet man ϕ:Fp[X]/(f)→OK/pOK, X 7→aauf die Gleichung f = g1α1· · ·gmαm an, so erhält man g1(a)^α1· · ·gm(a)^αm = 0 in OK/pOK, also p^α₁¹· · ·p^α_m^m ⊆pOK,

das heißt 1≤e_i =ve_pi(pOK)≤α_i für alle i ∈ {1, . . . ,m}.

Es folgt n=Pm

i=1e_if_i ≤Pm

i=1α_if_i =Pm

i=1α_ideg(g_i) =n und daherei =αi für alle i ∈ {1, . . . ,m}.

Satz. SeienK =Q(a) ein Zahlkörper,aganz über Z,p ∈P mit p-[OK :Z[a]] ,f :=irr_Q(a)∈Z[X],m∈N,g1, . . . ,gm ∈Z[X]und α1, . . . , α_m∈Nmit

f =g1α1· · ·gmαm inFp[X],

wobeig₁, . . . ,g_m paarweise verschiedene normierte irreduzible Polynome inFp[X]seien. Dann ist p_i :=gi(a)OK +pOK für jedes i ∈ {1, . . . ,m}ein Primideal von OK[X] mit Trägheitsindex f_Z(p_i) =degg_i,p₁, . . . ,p_m sind paarweise verschieden und es gilt

pOK =p^α₁¹· · ·p^α_m^m.

Beweis.Mite_i :=e_Z(p_i)≥1 undf_i :=f_Z(p_i) =degg_i füri ∈ {1, . . . ,n}

gilt pOK = p^e₁¹· · ·p^e_m^m und Pm

i=1e_if_i =n := [K :Q] =degf =degf. Wendet man ϕ:Fp[X]/(f)→OK/pOK, X 7→aauf die Gleichung f = g1α1· · ·gmαm an, so erhält man g1(a)^α1· · ·gm(a)^αm = 0 in OK/pOK, also p^α₁¹· · ·p^α_m^m ⊆pOK,

das heißt 1≤e_i =ve_pi(pOK)≤α_i für alle i ∈ {1, . . . ,m}.Es folgt n=Pm

i=1e_if_i ≤Pm

i=1α_if_i =Pm

i=1α_ideg(g_i) =n und daherei =αi für alle i ∈ {1, . . . ,m}.

Satz. SeienK =Q(a) ein Zahlkörper,aganz über Z,p ∈P mit p-[OK :Z[a]] ,f :=irr_Q(a)∈Z[X],m∈N,g1, . . . ,gm ∈Z[X]und α1, . . . , α_m∈Nmit

f =g1α1· · ·gmαm inFp[X],

wobeig₁, . . . ,g_m paarweise verschiedene normierte irreduzible Polynome inFp[X]seien. Dann ist p_i :=gi(a)OK +pOK für jedes i ∈ {1, . . . ,m}ein Primideal von OK[X] mit Trägheitsindex f_Z(p_i) =degg_i,p₁, . . . ,p_m sind paarweise verschieden und es gilt

pOK =p^α₁¹· · ·p^α_m^m.

Beweis.Mite_i :=e_Z(p_i)≥1 undf_i :=f_Z(p_i) =degg_i füri ∈ {1, . . . ,n}

gilt pOK = p^e₁¹· · ·p^e_m^m und Pm

i=1e_if_i =n := [K :Q] =degf =degf. Wendet man ϕ:Fp[X]/(f)→OK/pOK, X 7→aauf die Gleichung f = g1α1· · ·gmαm an, so erhält man g1(a)^α1· · ·gm(a)^αm = 0 in OK/pOK, also p^α₁¹· · ·p^α_m^m ⊆pOK, das heißt 1 ≤e_i =ve_pi(pOK)≤α_i für alle i ∈ {1, . . . ,m}.

Es folgt n=Pm

i=1e_if_i ≤Pm

i=1α_if_i =Pm

i=1α_ideg(g_i) =n und daherei =αi für alle i ∈ {1, . . . ,m}.

Satz. SeienK =Q(a) ein Zahlkörper,aganz über Z,p ∈P mit p-[OK :Z[a]] ,f :=irr_Q(a)∈Z[X],m∈N,g1, . . . ,gm ∈Z[X]und α1, . . . , α_m∈Nmit

f =g1α1· · ·gmαm inFp[X],

wobeig₁, . . . ,g_m paarweise verschiedene normierte irreduzible Polynome inFp[X]seien. Dann ist p_i :=gi(a)OK +pOK für jedes i ∈ {1, . . . ,m}ein Primideal von OK[X] mit Trägheitsindex f_Z(p_i) =degg_i,p₁, . . . ,p_m sind paarweise verschieden und es gilt

pOK =p^α₁¹· · ·p^α_m^m.

Beweis.Mite_i :=e_Z(p_i)≥1 undf_i :=f_Z(p_i) =degg_i füri ∈ {1, . . . ,n}

gilt pOK = p^e₁¹· · ·p^e_m^m und Pm

i=1e_if_i =n := [K :Q] =degf =degf. Wendet man ϕ:Fp[X]/(f)→OK/pOK, X 7→aauf die Gleichung f = g1α1· · ·gmαm an, so erhält man g1(a)^α1· · ·gm(a)^αm = 0 in OK/pOK, also p^α₁¹· · ·p^α_m^m ⊆pOK, das heißt 1 ≤e_i =ve_pi(pOK)≤α_i für alle i ∈ {1, . . . ,m}.Es folgt n=Pm

i=1e_if_i ≤Pm

i=1α_if_i =Pm

i=1α_ideg(g_i) =n

und daherei =αi für alle i ∈ {1, . . . ,m}.

Satz. SeienK =Q(a) ein Zahlkörper,aganz über Z,p ∈P mit p-[OK :Z[a]] ,f :=irr_Q(a)∈Z[X],m∈N,g1, . . . ,gm ∈Z[X]und α1, . . . , α_m∈Nmit

f =g1α1· · ·gmαm inFp[X],

wobeig₁, . . . ,g_m paarweise verschiedene normierte irreduzible Polynome inFp[X]seien. Dann ist p_i :=gi(a)OK +pOK für jedes i ∈ {1, . . . ,m}ein Primideal von OK[X] mit Trägheitsindex f_Z(p_i) =degg_i,p₁, . . . ,p_m sind paarweise verschieden und es gilt

pOK =p^α₁¹· · ·p^α_m^m.

Beweis.Mite_i :=e_Z(p_i)≥1 undf_i :=f_Z(p_i) =degg_i füri ∈ {1, . . . ,n}

gilt pOK = p^e₁¹· · ·p^e_m^m und Pm

i=1e_if_i =n := [K :Q] =degf =degf. Wendet man ϕ:Fp[X]/(f)→OK/pOK, X 7→aauf die Gleichung f = g1α1· · ·gmαm an, so erhält man g1(a)^α1· · ·gm(a)^αm = 0 in OK/pOK, also p^α₁¹· · ·p^α_m^m ⊆pOK, das heißt 1 ≤e_i =ve_pi(pOK)≤α_i für alle i ∈ {1, . . . ,m}.Es folgt n=Pm

i=1e_if_i ≤Pm

i=1α_if_i =Pm

i=1α_ideg(g_i) =n und daherei =αi für alle i ∈ {1, . . . ,m}.

Bemerkung. SeiK =Q(a) ein Zahlkörper,a ganz überZ,f :=irr_Q(a) und p∈Pmit p²-N_K|Q(f⁰(a)) . Dann p-[OK :Z[a]] , denn

|N_K|Q(f⁰(a))|=|d(Z[a])|= [OK :Z[a]]²|d(OK)|.

Beispiel. Seid ∈

,p∈Pund K :=Q(√

d). Da K|Qeine

Galoiserweiterung vom Grad 2 ist, tritt genau einer der folgenden Fälle ein:

I pOK =q² mitq∈M_OK („p verzweigtin K“) und OK/q∼=Fp I pOK ∈M_OK („p trägein K“) und OK/pOK ∼=Fp²

I pOK =q₁q₂ mitq₁,q₂ ∈M_OK undq₁ 6=q₂ („p zerlegt inK“) und OK/q1 ∼=OK/q2 ∼=Fp.

Beispiel. Seid ∈

,p∈Pund K :=Q(√

d). Da K|Qeine

Galoiserweiterung vom Grad 2 ist, tritt genau einer der folgenden Fälle ein:

I pOK =q² mitq∈M_OK („p verzweigtin K“) und OK/q∼=Fp

I pOK ∈M_OK („p trägein K“) und OK/pOK ∼=Fp²

I pOK =q₁q₂ mitq₁,q₂ ∈M_OK undq₁ 6=q₂ („p zerlegt inK“) und OK/q1 ∼=OK/q2 ∼=Fp.

Beispiel. Seid ∈

,p∈Pund K :=Q(√

d). Da K|Qeine

Galoiserweiterung vom Grad 2 ist, tritt genau einer der folgenden Fälle ein:

I pOK =q² mitq∈M_OK („p verzweigtin K“) und OK/q∼=Fp I pOK ∈M_OK („p trägein K“) und OK/pOK ∼=Fp²

I pOK =q₁q₂ mitq₁,q₂ ∈M_OK undq₁ 6=q₂ („p zerlegt inK“) und OK/q1 ∼=OK/q2 ∼=Fp.

Beispiel. Seid ∈

,p∈Pund K :=Q(√

d). Da K|Qeine

Galoiserweiterung vom Grad 2 ist, tritt genau einer der folgenden Fälle ein:

I pOK =q² mitq∈M_OK („p verzweigtin K“) und OK/q∼=Fp I pOK ∈M_OK („p trägein K“) und OK/pOK ∼=Fp²

I pOK =q₁q₂ mitq₁,q₂ ∈M_OK undq₁ 6=q₂ („p zerlegt inK“) und OK/q1 ∼=OK/q2 ∼=Fp.

Beispiel. Seid ∈

,p∈Pund K :=Q(√

d). Da K|Qeine

Galoiserweiterung vom Grad 2 ist, tritt genau einer der folgenden Fälle ein:

I pOK =q² mitq∈M_OK („p verzweigtin K“) und OK/q∼=Fp I pOK ∈M_OK („p trägein K“) und OK/pOK ∼=Fp²

I pOK =q₁q₂ mitq₁,q₂ ∈M_OK undq₁ 6=q₂ („p zerlegt inK“) und OK/q1 ∼=OK/q2 ∼=Fp.

Setze f :=irr_Q(√

d). Es gilt N_K|Q(f⁰(√

d)) = (√

d −(−√

d))((−√ d)−√

d) =−4d,

also p² -N_K|Q(f⁰(√

d)) für alle p ∈ P\ {2}. Wegen der vorherigen Bemerkung können wir fürp ∈P\ {2}den Satz mita:=√

d anwenden. Fürp =2 können wir im Falld ∈

2,3 wegenOK =Z[√

d]immer noch a := √

d setzen, während wir im Fall d ∈

1 die kompliziertere Wahl a:= ¹⁺

√ d

2 treffen müssen (beachteQ(√

d) =Q(¹⁺

√ d 2 )).