§3.2 Zerlegung von Primzahlen in Zahlkörpern

Universität Konstanz Zahlentheorie Fachbereich Mathematik und Statistik Sommersemester 2015 Markus Schweighofer

§3.2 Zerlegung von Primzahlen in Zahlkörpern

Bemerkung 3.2.1. Ein wesentlicher Grund für die Betrachtung von Gittern und vor allem multiplikativen Gittern ist, dass sie oftmals „einfacher“ sind als der Zahlring (zum Beispiel ist fürd∈1das multiplikative GitterZ[√

d]„einfacher“ alsZ[¹⁺

√d

2 ] =

Od) und für gewisse Zwecke doch den Zahlring ersetzen können. Siehe Teile (b) und (c) dieser Bemerkung und Satz 3.2.2 unten. SeienKein Zahlkörper undx₁, . . . ,x_neine Z-Basis vonOK.

(a) Sei I 6= (0) ein Ideal von OK. Nach Lemma 2.5.3 gilt I∩_Z 6= (0), das heißt es gibt ein eindeutig bestimmtes m ∈ _N mit I∩_Z = (_m). Insbesondere gilt mOK ⊆ I und man kann I sehen als m zusammen mit dem Bild von I unter OK → _OK/mOK [→A2.4.11]. Ein Ideal 6= (0)des Zahlrings OK ist also gegeben durch eine natürliche Zahl m und ein Ideal des endlichen Rings OK/mOK = (_Zx1⊕ · · · ⊕_Zxn)/(_mZx1+· · ·+_mZxn), dessen additive Gruppe in natürlicher Weise ein freier Z/mZ-Modul mit Basis x₁, . . . ,x_n ist. Insbesondere ist OK/I endlich mit #(_OK/I)|mⁿ.

(b) Sei m ∈ _N. In Anbetracht von (a) ist der mⁿ-elementige Ring OK/mOK von besonderem Interesse. Um diesen zu kennen, braucht man aber den ZahlringOK

oft gar nicht genau zu kennen. Es reicht, ein multiplikatives Gitter M in K zu kennen mit (m,[_OK :M]) = (1). Dann gibt es s,t ∈ _Z mitsm+t[_OK : M] = 1.

Für jedesx∈_{OK gilt dann}

x=₁·x =s mx

|{z}

∈_mOK

+t[_{OK :}M]x

| {z }

∈M

,

weshalb der kanonische Homomorphismus M/mM → _OK/mOK surjektiv ist.

Wegen #(M/mM) ^MGitter= mⁿ = #(_OK/mOK) ist dieser auch injektiv und wir haben eine kanonische Isomorphie

M/mM ∼=_OK/mOK.

(c) Wir spezialisieren das unter (a) und (b) Gesagte auf Primideale. Sei p ∈ M_OK. Dann gibt es genau ein p ∈ _P mit p∩_Z = (p). Insbesondere pOK ⊆ p und man kann p sehen als p zusammen mit dem Bild vonp unter OK → _OK/pOK. Ein Primideal 6= (0) des Zahlrings OK ist also gegeben durch eine Primzahl p und ein Primideal des endlichen Ringes OK/pOK, dessen additive Gruppe in natürlicher Weise ein Fp-Vektorraum mit Basis x₁, . . . ,x_n ist. Insbesondere ist

#(_OK/p)∈ {p,p², . . . ,pⁿ}. Ist Mein multiplikatives Gitter in Kmit p-[_OK : M], so gilt kanonisch M/pM∼=OK/pOK.

1

(d) Nach dem Satz vom primitiven Element [→A4.5.16] gibt esa ∈KmitK=_Q(a). Wegen K = (_Z\ {0})⁻¹_OK kann man leicht a ∈ _OK wählen. Dann ist Z[a] ein multiplikatives Gitter inK. Setze f :=irr_Q(a)∈_Q[X]. Nach 2.1.14 gilt f ∈_Z[X]. Da f normiert ist, gilt fQ[X]∩_Z[X] = fZ[X](benutze zum Beispiel das Lemma von Gauß [→A2.5.9(a)]). Daher kanonisch Z[X]/(f) ,→ _Q[X]/(f). Bezeichne Z[X]→_Fp[X], g 7→gden Homomorphismus mitm=m^(p)(m∈_{Z) und}X= X [→A2.2.7]. Dann liegt f im Kern des Epimorphismus Fp[X] → _Z[a]_/pZ[a]mit X 7→ a. Da f normiert ist, gilt degf = _degf = n und daher #(_Fp[X]_/(f)) = p^{n Z[a]}=^Gitter #(_Z[a]_/pZ[a]). Daher haben wir Fp[X]/(f) →^∼=

X7→a Z[a]/pZ[a]. Falls p-[_OK:Z[a]], so haben wir auch noch kanonischZ[a]/pZ[a]∼=_OK/pOK und es ergibt sich folgendes kommutative Diagramm:

Q[X]/(f) K

OK

Z[X]/(f) _Z[a]

Fp[X]/(f) _Z[a]_/pZ[a] _OK/pOK

∼= X7→a

⊇

∼= X7→a

⊆

∼= X7→a

p -[_OK:Z[a]]

∼⇓

=

Satz 3.2.2. Seien K = _Q(a) ein Zahlkörper, a ganz über Z, p ∈ _P mit p-[_OK :Z[a]], f :=irr_Q(a)∈_Z[X], m∈_N, g₁, . . . ,g_m ∈_Z[X]und α₁, . . . ,α_m ∈_Nmit

f = g₁^α1· · ·g_m^αm inFp[X]_,

wobei g₁, . . . ,g_mpaarweise verschiedene normierte irreduzible Polynome inFp[X]seien. Dann ist p_i := g_i(a)_OK+_pOK für jedes i ∈ {1, . . . ,m}ein Primideal vonOK mit Trägheitsindex

f_Z(p_i) =degg_i,p₁, . . . ,p_m sind paarweise verschieden und es gilt pOK =p^α₁¹· · ·p^α_m^m.

Beweis. DaFp[X]ein Hauptidealring ist, sind die verschiedenen Primideale darin, die (f) enthalten, genau die (g₁), . . . ,(gm). Gemäß der letzten Zeile des Diagramms von 3.2.1(d) sind deren Bilder(g₁(a)), . . . ,(g_m(a))unter

ϕ: Fp[X]→_OK/pOK, X7→ a

genau die verschiedenen Primideale von OK/pOK. Daher sind p₁, . . . ,p_m als deren Urbilder unter OK → _OK/pOK genau die verschiedenen Primideale von OK, die (p) enthalten. Mit

e_i := e_Z(p_i) und f_i := f_Z(p_i) füri∈ {1, . . . ,m}

2

folgt nach 2.7.5e₁, . . . ,e_m,f₁, . . . ,f_m ∈_N, pOK=p^e₁¹· · ·p^e_m^m und

∑

e_if_i =n:= [K:Q] =degf =degf. Es gilt f_i = [_OK/(g_i(a)_OK+pOK)_:Fp]_und

OK/(g_i(a)_OK+pOK)∼= (_OK/pOK)/(g_i(a))∼=_Fp[X]/(g_i)

als Ring und somit als abelsche Gruppe, das heißt alsZ-Modul, also auch alsZ/(p)- Modul, das heißt alsFp-Vektorraum. Somit f_i = degg_i. Wendet man ϕauf die Glei- chung f = g₁^α1· · ·gmαm an, so erhält man g₁(a)^α1· · ·gm(a)^αm = 0 in OK/pOK, also p^α₁¹· · ·p^α_m^m ⊆ _pOK, das heißt

1≤e_i =v_ep_i(pOK)^2.6.4

(a)

≤ α_i

für allei∈ {1, . . . ,m}. Es folgtn^2.7.5=^(a)_∑^m_i=1e_if_i ≤ _∑^m_i=1α_if_i =_∑^m_i=1α_ideg(g_i) =n und dahere_i =α_i für allei∈ {_{1, . . . ,}m}_.

Bemerkung3.2.3. SeiK= _Q(a)ein Zahlkörper,aganz überZ, f :=irr_Q(a)und p∈ _P mitp²-N_K|Q(f⁰(a)). Dannp-[_OK :Z[a]], denn

|N_K|Q(f⁰(a))|^2.4.22= |d(_Z[a])|^3.1.7= [_OK :Z[a]]²|d(_OK)|. Beispiel3.2.4. Seid∈^{, p}∈_Pund K:=_Q(√

d). DaK|_Qeine Galoiserweiterung vom Grad 2 ist, tritt nach 2.7.6 genau einer der folgenden Fälle ein:

• pOK=q² mitq∈ M_OK („pverzweigt inK“) undOK/q∼=_Fp

• pOK∈ M_OK („pträge inK“) undOK/pOK ∼=_Fp2

• pOK=q₁q₂ mitq₁,q₂ ∈ M_OK undq₁6=q₂(„pzerlegt inK“) und OK/q₁∼=OK/q₂∼=Fp.

Setze f :=irr_Q(√

d). Nach 2.4.22 gilt N_K|Q(f⁰(√

d)) = (√

d−(−√

d))((−√ d)−√

d) =

−4d, alsop² -^NK|_Q(f⁰(√

d))für alle p∈_P\ {2}. Nach 3.2.3 können wir fürp∈_P\ {2} also 3.2.2 mita := √

d anwenden. Fürp =2 können wir im Falld ∈2,3 wegenOK = Z[√

d] immer noch a := √

d setzen, während wir im Fall d ∈ 1 die kompliziertere Wahla := ¹⁺

√d

2 treffen müssen (beachteQ(√

d) =_Q(¹⁺

√d 2 )_).

3

Fall 1 p∈_P\ {2} Setzea:=√

d, f :=_irrQ(a) =X²−d.

Fall 1.1 dist ein Quadrat inFp.

Wählec∈_Zmitd=c² inFp. Dann f = (X−c)(X+c)inFp[X]. Fall 1.1.1 p|d

c=d =_{0 und} f =X²inFp[X] pOK = (√

d,p)

| {z }

∈M_OK

2 verzweigt

Fall 1.1.2 p-^d

c6=0, dad6=0 inFp

c6=−cinFp, da 2∈_F^×_{p (beachte} p 6=₂₎ pOK = (√

d−c,p)

| {z }

∈M_OK

(√

d+c,p)

| {z }

∈M_OK

zerlegt

Fall 1.2 dist kein Quadrat inFp.

Dann f irreduzibel inFp[X], also nach 3.2.2 pOK ∈ M_OK. träge Fall 2 p=2

Fall 2.1 d∈2,3

Setzea:=√

d, f :=irr_Q(a) =X²−d.

f =X²−d=X²−d²= (X−d)(X+d) = (X−d)²_inF2[X]_, also nach 3.2.2 2OK = (

√

d−d, 2)

| {z }

∈M_OK

2 verzweigt

Fall 2.2 d∈1

Setzea:= ¹⁺

√d

2 , f :=irr_Q(a) ^3.1.9=

2.1.17X²−X−^d−₄¹. Fall 2.2.1 d≡₍₈₎₁

f = X²−X=X(X−1)inF2[X], also nach 3.2.2 2OK= ¹+√

d 2 , 2

!

| {z }

∈M_OK

1−√ d 2 , 2

!

| {z }

∈M_OK

zerlegt

Fall 2.2.2 d≡₍₈₎5

f = X²−X−1 irreduzibel inF2[X], also nach 3.2.2 2OK∈ M_OK träge

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