Friedrich-Alexander-Universit¨at Erlangen-N¨urnberg

Friedrich-Alexander-Universit¨ at Erlangen-N¨ urnberg

Wirtschafts-und Sozialwissenschaftliche Fakult¨at

Diskussionspapier 56 / 2003

R¨uschendorf-Copulas

Ingo Klein

Lehrstuhl f¨ur Statistik und ¨Okonometrie Lange Gasse 20 · D-90403 N¨urnberg

R¨ uschendorf-Copulas

Ingo Klein

Lehrstuhl f¨ur Statistik und ¨Okonometrie Universit¨at Erlangen-N¨urnberg

ingo.klein@wiso.uni-erlangen.de

5. Mai 2003

Literatur:

• Amblard, C. & Girard, S. (2000). Symmetry and dependence within a semiparametric family of bivariate copulas. Working Paper CRM- 2690, Univerity of Montreal.

• Fischer, M. & Klein, I. (2003). Constructing symmetric generalized FGM copulas by means of certain univariate distributions. Working Paper 50, University of Erlangen-Nuremberg.

• Lee, M.-L. T. (1996). Properties and applications of the Sarmanov family of bivariate distributions. Communications in Statistics - Theory and Methods 25, 1207-1222.

• Long,D. & Krzysztofowicz, R. (1995). A family of bivariate densi- ties constructed from marginals. Journal of the American Statistical Association 90, 739-746.

2

• Mari, D.D. & Kotz, S. (2001).Correlation and Dependence. Imperial College Press, London.

• R¨uschendorf, L. (1985). Construction of Multivariate Distributions with Given Marginals. Annals of the Institute of Statistical Mathema- tics 37, 225-233.

• Shubina, M. & Lee, M.-L. T. (2004). On maximum attainable cor- relation and other measures of dependence for the Sarmanov family of bivariate distributions. Communications in Statistics - Theory and Methods 33, 1031-1052.

R¨ uschendorf-Copulas I: Bivariater Fall Definition

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Bivariate Copula

Seien U und V uber¨ [0,1] rechtecktverteilt, dann heißt C(u, v) = P(U ≤ u, V ≤ v) f¨ur u, v ∈ [0,1].

Copula.

Beachte:

c(u, v) = ∂²C(u, v)

∂u∂v ist die Copuladichte.

P(V ≤ v|U = u) = lim

ε→0⁺ P(V ≤ v < |u − ε < U ≤ u + ε)

= lim

ε→0⁺

P(V ≤ v <, u − ε < U ≤ u + ε) P(u − ε < U ≤ u + ε)

= lim

ε→0⁺

P(V ≤ v <, u − ε < U ≤ u + ε) 2ε

= ∂C(u, v)

∂u Uberschreitungswahrscheinlichkeiten:¨

C(u, v) = P(U ≥ u, V ≥ v) = 1 − 2u + C(u, v).

Survival-Copula:

Cˆ(u, v) = u + v − 1 + C(1 − u, 1 − v).

6

Beispiele:

1. Unabh¨angigkeitscopula: Π(u, v) = uv

2. Minimumscopula: W(u, v) = max(0, u + v − 1) 3. Maximumscopula: M(u, v) = min(u, v)

Konvexe Kombinationen

Wenn C₁ und C₂ zwei Copulas sind, ist auch

C(u, v) = θC₁(u, v) + (1 − θ)C₂(u, v)

= C₂(u, v) + θ(C₁(u, v) − C₂(u, v))

= C₂(u, v) + (−θ)(C₂(u, v) − C₁(u, v)).

eine Copula f¨ur θ ∈ [0,1].

Beispiel: B11-Copula von Joe

C(u, v) = θ min(u, v) + (1 − θ)uv = uv + θ(min(u, v) − uv).

8

Farlie-Gumbel-Morgenstern- (FGM-) Copula

C(u, v) = uv + θuv(1 − u)(1 − v) f¨ur θ ∈ [−1,1].

R¨ uschendorf-Copula

C(u, v) = uv + θF¹(u, v) mit

F¹(0, v) = F¹(u, 0) = 0 f¨ur u, v ∈ [0,1]

F¹(1, v) = F¹(u, 1) = 0 f¨ur u, v ∈ [0,1].

und f¨ur 0 ≤ u₁ ≤ u₂ ≤ 1 und 0 ≤ v₁ ≤ v₂ ≤ 1

(u₂−u₁)(v₂−v₁) ≥ −θ(F¹(u₂, v₂)−F¹(u₁, v₂)−F¹(u₂, v₁)+F¹(u₁, v₁)

10

R¨ uschendorf-Copuladichte

c(u, v) = 1 + θf¹(u, v) mit

f¹(u, v) = ∂F¹(u, v)

∂u∂v . D.h. insbesondere

Z 1 0

f¹(u, v)du =

Z 1 0

f¹(u, v)dv = 0 f¨ur u, v ∈ [0,1].

Problem: Es muß θ existieren, so daß

• Konvexe Kombination: f¹(u, v) = c₁(u, v) − c₂(u, v) f¨ur θ ∈ [0,1],

• FGM: f¹(u, v) = (1 − 2u(1 − 2v) f¨ur θ ∈ [−1,1].

BEACHTE: Jede Copuladichte besitzt mittels

c(u, v) = 1 + f¹(u, v) mit f¹(u, v) = c(u, v) − 1 eine R¨uschendorf-Darstellung mit Parameter θ = 1.

12

Covariance Characteristic und Scaler

Cov(U, V ) = θ Z ¹

0

Z ¹

0

uvf¹(u, v)dudv.

Long & Krzysztofowicz bezeichnen

• θ als ”covariance scaler”

• und die Funktion f¹ als ”covariance characteristic”.

Beide bestimmen gemeinsam die Abh¨angigkeitsstruktur der zugeh¨origen

Parameterraum

Allgemein kann man f¨ur eine vorgebenene Funktion f¹

Θ(f¹) = {θ|1 + θf¹(u, v) ≥ 0, f¨ur alle 0 ≤ u, v ≤ 1}

den Parameterraum betrachten, f¨ur den das Konstruktionsprinzip von R¨uschendorf eine Copuladichte liefert.

Fallunterscheidung:

1. Wenn −a = inf_[0,1]²{f¹(u, v)} und b = sup_[0,1]2{f¹(uv)} (d.h. f¹ ist beidseitig beschr¨ankt), dann folgt

Θ(f₁) = [−1/b, 1/a].

14

2. Falls a → ∞ folgt damit

Θ(f₁) = [−1/b, 0].

D.h. θ kann nur negative Werte annehmen.

3. Falls b → ∞ folgt damit

Θ(f₁) = [0,1/a].

D.h. θ kann nur positive Werte annehmen.

4. Falls a → ∞ und b → ∞ folgt

H¨aufig werden Parameterbereiche pr¨aferiert, die durch −1 bzw. +1 be- schr¨ankt werden.

Dies l¨aßt sich f¨ur spezielle Copulas sehr einfach erreichen:

1. Wenn f¹ beidseitig beschr¨ankt ist, dann erf¨ullt f¹(u, v;a, b) = f¹(u, v)

max{a, b} f¨ur u, v ∈ [0,1]

f¨ur θ ∈ [−1,1] die Eigenschaften, um eine Copuladichte zu generieren.

Beispiel: FGM-Copula

−1 ≤ f¹(u, v) = (1 − 2u)(1 − 2v) ≤ 1.

16

2. Ist f¹ nur einseitig beschr¨ankt, dann lassen sich f¹(u, v;a) = f¹(u, v)

a f¨ur u, v ∈ [0,1]

bzw.

f¹(u, v;b) = f¹(u, v)

b f¨ur u, v ∈ [0,1]

betrachten, damit f¨ur 0 ≤ θ ≤ 1 bzw. −1 ≤ θ ≤ 0 die Eigenschaften einer Copuladichte erf¨ullt sind.

Verallgemeinerung des Konstruktionsprinzips

R¨uschendorf hat gezeigt, daß sich die Funktion f¹ einfach als f¹(u, v) = f(u, v) −

Z 1

0

f(u, v)du − Z 1

0

f(u, v)dv + Z 1

0

Z 1

0

f(u, v)dudv konstruieren l¨aßt, wenn f eine beliebige ¨uber dem Einheitsquadrat nicht- negative und integrierbare Funktion ist.

Bezeichne F(u, v) = Ru 0

Rv

0 f(x, y)dydx, dann ist

F¹(u, v) = F(u, v) − uF(1, v) − vF(u, 1) + uvF(1,1)

mit z.B.

F¹(u,1) = F(u, 1) − uF(1,1) − F(u, 1) + uF(1,1) = 0.

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Beispiele von R¨ uschendorf-Copulas

• Auf der Diagonalen konzentrierte Copulas

• Copulas mit polygonaler Kovarianzcharakteristik

• Allgemeine Produktcopulas

• Semiparametrische Produktcopulas nach Amblard & Girard

• Dichtegenerierte Produktcopulas nach Fischer

Auf der Diagonalen konzentrierte Copula (DC-Copula)

f(u, v) = 1

p|u − v| 0 < u 6= v < 1, so daß

f¹(u, v) = 1

p|u − v| − 2√

u − 2√

1 − u − 2√

v − 2√

1 − v + 8 3.

BEACHTE: Singularit¨at f¨ur u = v.

20

F¹(u, v) = 4 3















u^3/2(1 − v) + v^3/2(1 − u)u(1 − v)^3/2 + v(1 − u)^3/2 − (v − u)^3/2

−v − u + 2uv f¨ur 0 ≤ u ≤ v ≤ 1

u^3/2(1 − v) + v^3/2(1 − u)u(1 − v)^3/2 + v(1 − u)^3/2 − (u − v)^3/2

−v − u + 2uv f¨ur 0 ≤ v ≤ u ≤ 1

BEACHTE: Da f und entsprechend f¹ nach oben nicht beschr¨ankt, aber nach unten beschr¨ankt sind, muß

Θ(f¹) = [0,1/a]

sein mit −a = inf_[0,1]²{f¹(u, v)} = −4/3.

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Copulas mit polygonaler Kovarianzcharakteristik (PCC-Copula)

f¹(u, v) = f₁¹(u, v) + f₂¹(u, v) − 2K(1) mit

f₁¹(u, v) =

κ(u − v) f¨ur u ≥ v κ(v − u) f¨ur v ≥ u und

f₂¹(u, v) =

κ(u + v) f¨ur u ≤ 1 − v κ(2 − u − v) f¨ur u ≥ 1 − u, wobei κ eine auf [0,1] stetige und monotone Funktion und

BEACHTE: Isoquanten verlaufen parallel zur Hauptdiagonalen bzw. zur Gegendiagonalen des Einheitsquadrates.

Long & Krzysztofowicz bezeichnen κ als regression characteristic, da die zweite Ableitung, d.h. die Kr¨ummung der Regressionskurve E(U|V = v) nur durch κ bestimmt wird:

d²E(U|V = v)

dv² = 2θ(κ(v) − κ(1 − v)) f¨ur 0 ≤ v ≤ 1.

24

PCC-Copula:

C(u, v) = uv+θ



















K˜(u + v) − K˜ (u − v) − 2uvK(1) f¨ur u ≥ v, u ≤ 1 − v K˜(u + v) − K˜ (v − u) − 2uvK(1) f¨ur u ≤ v, u ≤ 1 − v K˜(2 − (u + v)) − K˜(u − v) − 2(1 − u)(1 − v)K(1)

f¨ur u ≥ v, u ≥ 1 − v K˜(2 − (u + v)) − K˜(v − u) − 2(1 − u)(1 − v)K(1)

f¨ur u ≤ v, u ≥ 1 − v.

mit K˜(ω) = R ω

0 K(t)dt.

Copula mit Power Regression Characteristic (PRC-Copula)

Power Regression Characteristic:

κ(ω) = (1 − ω)^β f¨ur 0 ≤ ω ≤ 1, β > 0

Je nach dem Wert f¨ur β ergibt sich ein konkaver (0 < β < 1), linearer (β = 1) oder konvexer (β > 1) Verlauf von κ.

Parameterraum f¨ur θ:

Θ(κ) =

−β + 1

2β , β + 1 2

.

26

F¨ur die ”power regression characteristric” sind speziell K(ω) = 1

β + 1 1 − (1 − ω)^β+1 und

K˜(ω) = 1

(β + 1)(β + 2) −1 + (β + 2)ω + (1 − ω)^β+2 f¨ur 0 ≤ ω ≤ 1.

28

30

Allgemeine Produktcopulas (Sarmanov-Copulas)

F¹(u, v) = φ(u)ψ(v) − uψ(v)φ(1) − vφ(u)ψ(1) + uvφ(1)ψ(1)

= (φ(u) − uφ(1))(ψ(v) − vψ(1))

f¨ur φ und ψ Funktionen auf [0,1] mit φ(1) < ∞ und ψ(1) < ∞.

Sind φ und ψ auf [0,1] differenzierbar mit beschr¨ankten Ableitungen φ⁰ und ψ⁰, dann existiert ein θ, so daß

0 0

Der Vorteil der Produktcopula besteht darin, daß der Parameter nicht nur die Rolle eines Kovarianzskalierers spielt, der im wesentlichen das Vor- zeichen der Abh¨angigkeit determiniert, sondern komplett die Abh¨angig- keitsstruktur festlegt.

Wenn −a = inf_[0,1]²{(φ⁰(u) − φ(1))(ψ⁰(v) − ψ(1)} > −∞ und b = sup_[0,1]¹{φ⁰(u)ψ⁰(v)} < ∞, dann ist

Θ(f¹) = [−1/b, 1/a].

32

BEISPIEL: Potenzcopula

φ⁰(u) = u^k und ψ⁰(v) = v^q f¨ur u, v ∈ [0,1].

Dann sind

φ(u) = 1

k + 1u^k+1 und ψ(v) = 1

q + 1v^q+1 f¨ur u, v ∈ [0,1],

so daß φ(1) = 1/(k + 1) und ψ(1) = 1/(q + 1). Die zugeh¨orige Copula- dichte ist dann

c(u, v;k, q) = 1 + θ

u^k − 1

k + 1 v^q − 1 q + 1

f¨ur

34

BEISPIEL: Produktcopula mit festem Nullpunkt F¨ur k ≥ 0 sei

φ(u;k) = 1

k + 1u^k+1 1

2π sin(2πu) mit φ(0) = φ(1) = 0 und

φ⁰(u;k) = u^k 1

2π sin(2πu) + 1

k + 1u^k+1 cos(2πu).

Beachte: φ(u;k) = 0 f¨ur u = 0,1 und f¨ur u = 0.5.

Es wird die Produktcopula

c(u, v;k, q) = 1 + θu^k cos(2πu)v^q cos(2πv) betrachtet.

36

BEISPIEL: Produktcopula mit variablem Nullpunkt φ(u;k) = u(1 − u)(1 − ku) mit den Nullstellen u = 0,1 und u = 1/k. Es ist

φ⁰(u;k) = 3ku² − 2u(k + 1) + 1.

Es wird die Produktcopula

C(u, v;k, q) = 1 + θu(1 − u)(1 − ku)v(1 − v)(1 − qv) betrachtet.

Semiparametrische Produktcopula nach Amblard &

Girard

Spezialfall einer Produktcopula mit ψ(u) = φ(u):

C(u, v;φ) = uv + θ(φ(u) − uφ(1))(φ(v) − vφ(1)) bzw.

c(u, v;φ) = 1 + θ(φ⁰(u) − φ(1))(φ⁰(v) − φ(1)), wenn ein entsprechendes θ existiert.

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Amblard & Girard (2000) betrachten den Spezialfall einer Funktion φ^∗ mit φ^∗(1) = 0 und fordern weiterhin, daß Θ = [−1,1] ist.

Wenn φ eine beidseitig beschr¨ankte Ableitung φ⁰ besitzt, dann stellen diese Forderungen keine Beschr¨ankung der Allgemeinheit dar, da

φ^∗(u) = φ(u) − uφ(1) max{a, b}

mit

−a = inf

[0,1]²

{(φ⁰(u) − φ(1))(φ⁰(v) − φ(1))}

b = sup{(φ⁰(u) − φ(1))(φ⁰(v) − φ(1))}

Bestimmte Werte von θ sichern spezielle Eigenschaften von φ bzw. (falls existent) von deren Ableitung φ⁰:

1. Wenn es θ 6= 0 gibt, so daß

C(u, v) = uv + θφ(u)φ(v) f¨ur u, v ∈ [0,1]

eine Copula ist, dann sind wegen C(0,0) = 0 und C(1,1) = 1 φ(0) = 0 und φ(1) = 0.

2. Weiterhin ist f¨ur θ = −1

(u₂ − u₁)(v₂ − v₁) ≥ −θ(φ(u₂) − φ(u₁))(φ(v₂) − φ(v₁)),

so daß, wenn u_i = v_i, i = 1,2 gesetzt wird, die Lipschitz-Bedingung

|u₂ − u₁| ≥ |φ(u₂) − φ(u₁)| f¨ur alle u₁, u₂ ∈ [0,1]

40

gilt. F¨ur u₁ = 0 und u₁ = u ∈ [0,1] ist zus¨atzlich u ≥ φ(u).

F¨ur u₂ = 1 und u₁ = u ∈ [0,1] ist mit φ(1) = 0 (da θ = −1 6= 0):

1 − u ≥ −φ(u) ⇐⇒ φ(u) ≤ 1 − u.

Insgesamt ist also φ(u) ≤ min{u,1 − u} f¨ur u ∈ [0,1].

3. Ebenfalls f¨ur θ = −1 ergibt sich f¨ur u ∈ [0,1]:

Somit l¨aßt sich φ insbesondere dann n¨aher charakterisieren, wenn C(u, v) = uv + θφ(u)φ(v) f¨ur θ = −1 eine Copula ist.

O.B.d.A. lassen sich aber Funktionen φ betrachten, f¨ur die C(u, v) = uv+θφ(u)φ(v) f¨ur ein θ < 0 eine Copula ist, da dann ein zugeh¨origes φ^∗ konstruiert werden kann, so daß C(u, v) = uv +θφ^∗(u)φ^∗(v) f¨ur θ = −1 eine Copula ist.

Hinreichend daf¨ur ist, daß φ⁰ nach oben beschr¨ankt ist.

42

Dichtegenerierte Produktcopula nach Fischer

Zur Konstruktion von Copulas nach dem Verfahren von Amblard & Gi- rard eignen sich besonders solche Funktionen mit φ(0) = φ(1) = 0.

Prinzipiell besitzen viele Dichtefunktionen, deren Tr¨ager die reellen Zah- len sind und f¨ur die limx→−∞ f(x) = limx→∞ f(x) = 0 gilt, diese Eigenschaften, wenn sie an der Stelle der Quantilsfunktion

φ_f(u) = f(F⁻¹(u)) f¨ur u ∈ (0,1).

und der Grenz¨ubergang

Die zugeh¨orige Copula lautet f¨ur geeignete θ

C(u, v;θ, f) = uv + θf(F⁻¹(u))f(F⁻¹(v)) f¨ur u, v ∈ [0,1]

Die Copuladichte ist, sofern f differenzierbar ist:

c(u, v;θ, f)(u, v) = 1+θ

−f⁰

f (F⁻¹(u)) −f⁰

f (F⁻¹(v))

f¨ur u, v ∈ [0,1].

D.h. die Copuladichte wird durch die Scorefunktion −f⁰/f bestimmt.

F¨ur die Existenz der Copula f¨ur θ = −1 ist allerdings entscheidend, daß diese Scorefunktion nach oben beschr¨ankt ist.

44

Damit kommen sofort einige Dichtefamilien nicht mehr in Frage. Zu ihnen geh¨ort die Power Exponential Family

f(x) = k₁ exp −k₂|x|^k3

f¨ur x ∈ R,

wobei k₁ > 0, k₂ > 0 und k₃ ≥ 2 so gew¨ahlt sind, daß f(x) eine Dichte darstellt.

Die zugeh¨orige Scorefunktion ist ein Polynom mindestens 1. Grades und beidseitig unbeschr¨ankt.

Zu dieser Verteilungsfamilie geh¨ort auch die Standardnormalverteilung.

Fischer (2003) behandelt die Beispiele der Laplace-, der logistischen, der hyperbolischen Sekant- und der Cauchy-Verteilung, die allesamt zu in der Literatur wohlbekannten Copulas f¨uhren.

Diese Funktionen sind s¨amtlich symmetrisch.

46

Das folgende Beispiel diskutiert mit der Gumbelverteilung eine asymme- trische Verteilung:

Es ist

F(x) = exp −e^−x

f¨ur x ∈ R, so daß

f(x) = e^−xF(x) f¨ur x ∈ R und

−f⁰(x)

f(x) = 1 − e^−x f¨ur x ∈ R sind.

D.h. die Scorefunktion besitzt den Wert 1 als kleinste obere Schranke, ist aber nach unten nicht beschr¨ankt.

Mit der zugeh¨origen Quantilsfunktion

F⁻¹(u) = − ln(−ln(u)) f¨ur u ∈ (0,1]

ist

φ_f(u) = f F⁻¹(u)

= ulnu f¨ur u ∈ (0,1].

F¨ur u → 0⁺ ist φ_f(0) ≡ lim_u→0⁺ ulnu = 0.

48

Welche Dichten generieren Potenzcopulas?

Die zu einer Funktion φ zugeh¨orige Dichte f errechnet sich durch L¨osen der Differentialgleichung

F⁰(F⁻¹(u)) = φ(u) ⇐⇒ F⁰(x) = φ(F(x)) nach F.

Diese Differentialgleichung l¨aßt sich z.B. f¨ur die in der Potenzcopula auftretenden Funktion

φ(u) = 1

k + 1u 1 − u^k

durch ¨Uberf¨uhren in einer Bernoullische Differentialgleichung explizit l¨osen.

50

Die L¨osung lautet

F(x) = k

1 + Ce^−k/(k+1)x

^−k ,

wobei C derart, daß F die Eigenschaften einer Verteilungsfunktion be- sitzt.

Beweis: Setze y = F(x) und y⁰ = f(x). Dann ist zu l¨osen y⁰ − 1

k + 1y = − 1

k + 1y^k+1. Division durch y^k+1 ergibt

y⁰

y^k+1 − 1

k + 1y^−k = − 1 k + 1.

Substituiert man z = y^−k, so ist z⁰ = −ky^−(k+1)y⁰, so daß

−1

kz⁰ − 1

k + 1z = − 1 k + 1.

Multipliziert man mit −k, so ergibt sich ein Spezialfall der einfachen Differentialgleichung 1. Ordnung

z⁰ + P(x)z = Q(x),

52

deren L¨osung

z = e⁻

R P(x)dx

Z

Q(x)e

R P(x)dx

dx + C

lautet (siehe z.B. Bronstein & Semendjajew). Mit P(x) = Q(x) = k/(k + 1) ist

z = e^−k/(k+1)x

k k + 1

Z

e^k/(k+1)xdx + C

= 1 + Ce^−k/(k+1)x.

Substituiert man y = z^k zur¨uck, so ist schließlich

R¨ uschendorf-Copulas II: Bivariater Fall Eigenschaften

54

Eigenschaften

• Symmetrie

• Abh¨angigkeitseigenschaft

• Abh¨angigkeitsordnung

• Abh¨angigkeitsmaße

• Tailabh¨angigkeit

Symmetriekonzepte

1. Austauschbarkeit: X und Y heißen austauschbar, wenn (X, Y ) und (Y, X) dieselbe Verteilung besitzen.

2. Marginale Symmetrie: (X, Y ) heißt marginal symmetrisch um (a, b), wenn die Verteilung von X − a und a − X bzw. Y − b und b − Y dieselbe Verteilung besitzen.

3. Radiale Symmetrie: (X, Y ) heißen radialsymmetrisch um (a, b), wenn (X − a, Y − b) und (a − X, b − Y ) dieselbe Verteilung besitzen.

4. Gemeinsame Symmetrie: (X, Y ) heißen gemeinsam symmetrisch um (a, b), wenn wenn (X − a, Y − b) und (a − X, b − Y ) (X − a, b − Y ) und (a − X, Y − b) dieselbe Verteilung besitzen.

56

Spezialfall: Copulas

Da Copulas Verteilungsfunktionen zweier Zufallsvariablen U und V uber¨ [0,1]² mit Rechteckverteilungen als Randverteilungen sind, liegt margi- nale Symmetrie von (U, V ) um (1/2,1/2) vor.

Radiale Symmetrie ist gegeben, wenn

P(U − 1/2 ≤ x, V − 1/2 ≤ y) = P(U ≤ x + 1/2, V ≤ y + 1/2)

= P(1/2 − U ≤ x, 1/2 − V ≤ y)

= P(U ≥ 1/2 − x, V ≥ 1/2 − y) f¨ur x, y ∈ [−1/2,1/2] sind.

Gemeinsame Symmetrie einer Copula C liegt vor, wenn zus¨atzlich zur radialen Symmetrie

C(u, v) = u − C(u, 1 − v) = v − C(1 − u, v) f¨ur u, v ∈ [0,1]

gilt.

58

Symmetrie der R¨ uschendorf-Copula

F¨ur die R¨uschendorf-Copula liegt Radialsymmetrie vor, wenn F¹(u, v) = F¹(1 − u, 1 − v) ist, da dann

C(u, v) = uv + θF¹(u, v)

= u + v − 1 + (1 − u)(1 − v) + θF¹(1 − u, 1 − v)

= u + v − 1 + C(1 − u, 1 − v) f¨ur 0 ≤ u, v ≤ 1 ist.

BEISPIEL: Betrachte

F¹(u, v) = min(u, v) − uv f¨ur 0 ≤ u, v ≤ 1.

Dann ist

F¹(1 − u,1 − v) = min(1 − u, 1 − v) − (1 − u)(1 − v) Sei o.B.d.A. u < v, dann ist 1 − u > 1 − v und

F¹(1 − u,1 − v) = 1 − v − (1 − u)(1 − v) = (1 − v)(1 − (1 − u))

= u(1 − v) = min(u, v) − uv = F¹(u, v).

60

Gemeinsame Symmetrie der R¨uschendorf-Copula ist gegeben, wenn

F¹(u, v) = F¹(1−u,1−v) = −F¹(u,1−v) = −F¹(1−u, v) f¨ur u, v ∈ [0,1]

gelten, da dann z.B.

u − C(u, 1 − v) = u − u(1 − v) − θF¹(u,1 − v) = uv − θF¹(u,1 − v)

= uv + θF¹(u, v) = C(u, v)

f¨ur u, v ∈ [0,1] ist. Analog kann v − C(1 − u, v) = C(u, v) untersucht werden.

BEISPIEL: Betrachte die FGM-Copula mit

F¹(u, v) = u(1 − u)v(1 − v).

Dann sind

F¹(u, v) = u(1 − u)v(1 − v) = (1 − u)u(1 − v)v = F¹(1 − u, 1 − v) F¹(u, v) = u(1 − u)(1 − v)v = F¹(u,1 − v)

F¹(u, v) = (1 − u)uv(1 − v) = F¹(1 − u, v), so daß

F¹(u, v) 6= −F¹(u,1 − v) f¨ur u, v 6= 1/2 ist.

D.h. die FGM-Copula ist zwar radial, aber nicht gemeinsam symmetrisch.

62

BEISPIEL: Betrachte eine verallgemeinerte FGM-Copula mit F¹(u, v) = u(1 − u)(1 − 2u)v(1 − v)(1 − 2v).

Beachte: 1 − 2u = −(1 − 2(1 − u)).

Damit ist zwar F¹(u, v) = F¹(1 − u,1 − v). Es gilt aber auch F¹(u, v) = −F¹(u, 1 − v) = −F¹(1 − u, v).

D.h. diese verallgemeinerte FGM-Copula ist gemeinsam symmetrisch.

64

Symmetrie der ”diagonal concentrated copula”

F¨ur

F¹(u, v) = 4 3











u^3/2(1 − v) + v^3/2(1 − u) + u(1 − v)^3/2 + v(1 − u)^3/2 − (v − u)^3/2

−v − u + 2uv f¨ur 0 ≤ u ≤ v ≤ 1

u^3/2(1 − v) + v^3/2(1 − u)u(1 − v)^3/2 + v(1 − u)^3/2 − (u − v)^3/2

−v − u + 2uv f¨ur 0 ≤ v ≤ u ≤ 1

ist offensichtlich F¹(u, v) = F¹(1 − u, 1 − v), da aus 0 ≤ u ≤ v ≤ 1 0 ≤ 1 − v ≤ 1 − u ≤ 1 folgt und (1 − u − (1 − v)) = v − u gilt.

66

Weiterhin ist

F¹(u,1−v) = 4 3



















u^3/2v + (1 − v)^3/2(1 − u) + uv^3/2 + (1 − v)(1 − u)^3/2

−((1 − v) − u)^3/2 − (1 − v) − u + 2u(1 − v) f¨ur 0 ≤ u ≤ 1 − v ≤ 1

u^3/2v + (1 − v)^3/2(1 − u)uv^3/2 + (1 − v)(1 − u)^3/2

−(u − (1 − v))^3/2 − (1 − v) − u + 2u(1 − v) f¨ur 0 ≤ 1 − v ≤ u ≤ 1

Setze u = 1/4 und v = 1/3, dann sind

F¹(u, v) =

1 4

^3/2 2 3

+

3 4

1 3

^3/2 +

1 4

2 3

^3/2

3 4

^3/2 1 3

−

1 12

^3/2

− 1

4

− 1

3

+ 2 1

4

1 3

= 0.1395 und

F¹(u,1 − v) =

1 4

^3/

L2 1 3

+

3 4

2 3

^3/2 +

1 4

1 3

^3/2 3 4

^3/2 2 3

−

5 12

^3/2

− 1

4

− 2

3

+ 2 1

4

2 3

= 0.0782, womit F¹(1/4,1/3) 6= −F¹(1/4,2/3), so daß keine gemeinsame Sym- metrie vorliegt.

68

Symmetrie der PCC-Copula

F¨ur die ”Polygonal Covariance Characteristic”-Copula ist

F¹(u, v) =



























K˜(u + v) − K˜ (u − v) − 2uvK(1) f¨ur u ≥ v, u ≤ 1 − v K˜(u + v) − K˜ (v − u) − 2uvK(1)

f¨ur u ≤ v, u ≤ 1 − v

K˜(2 − (u + v)) − K˜(u − v) − 2(1 − u)(1 − v)K(1) f¨ur u ≤ v, u ≥ 1 − v

K˜(2 − (u + v)) − K˜(v − u) − 2(1 − u)(1 − v)K(1) f¨ur u ≥ v, u ≥ 1 − v.

F¨ur u ≥ v und u ≤ 1−v sind, ist 1−u ≤ 1 −v und 1−u ≥ 1−(1−v), so daß

F¹(1 − u,1 − v) = K˜(2 − (1 − u + (1 − v))) − K˜(1 − v − (1 − u))

−2(1 − (1 − u))(1 − (1 − v))K(1)

= K˜(u + v) − K˜ (u − v) − 2uvK(1) = F¹(u, v).

Analog lassen sich die anderen drei F¨alle abarbeiten, so daß die PCC- Copula f¨ur jede Wahl von κ radial symmetrisch ist.

Allerdings lassen sich wieder sehr einfach u und v derart w¨ahlen, daß F¹(u, v) 6= −F¹(u, 1 − v), womit die PCC-Copula im allgemeinen keine gemeinsame Symmetrie aufweist.

Diese Ergebnisse gelten nat¨urlich insbesondere f¨ur den Spezialfall der

”Power Regression Characteristic”-Copula.

70

Symmetrie der allgemeinen Produktcopula

Betrachte C(u, v;φ, ψ) = uv + θφ(u)ψ(v) f¨ur u, v ∈ [0,1]. Somit ist F¹(u, v) = φ(u)ψ(v).

Hinreichende und notwendige Bedingung f¨ur die radiale Symmetrie von C ist F¹(u, v) = F¹(1 − u,1 − v) f¨ur u, v ∈ [0,1], d.h.

φ(u)ψ(v) = φ(1 − u)ψ(1 − v).

Hinreichende Bedingungen f¨ur radiale Symmetrie sind offensichtlich φ(u) = φ(1 − u) und ψ(v) = ψ(1 − v) bzw. φ(u) = −φ(1 − u) und ψ(v) = −ψ(1 − v).

1. Ist φ(1/2) 6= 0 folgt aus φ(u)ψ(v) = φ(1−u)ψ(1−v) f¨ur u, v ∈ [0,1]

ψ(v) = ψ(1 − v) f¨ur v ∈ [0,1].

Dann ist aber auch φ(u) = φ(1 − u). Analog verh¨alt es sich, wenn ψ(1/2) 6= 0 ist. Somit ist im Falle φ(1/2) 6= 0 oder ψ(1/2) 6= 0 notwendig f¨ur radiale Symmetrie, daß

φ(u) = φ(1 − u) und ψ(v) = ψ(1 − v) f¨ur u, v ∈ [0,1]

gelten.

2. Wenn φ(1/2) = ψ(1/2) = 0 ist und es existiert ein u^∗ ∈ [0,1] oder ein v^∗ ∈ [0,1] mit φ(u^∗) = φ(1 − u^∗) oder ψ(v^∗) = ψ^∗(1 − v^∗), dann sind offensichtlich ebenfalls

φ(u) = φ(1 − u) und ψ(v) = ψ(1 − v) f¨ur u, v ∈ [0,1]

72

notwendig sein.

3. Verbleibt der Fall φ(1/2) = ψ(1/2) = 0 und φ(u) 6= φ(1 − u) und ψ(u) 6= ψ(1 − u) f¨ur u 6= 1/2. Existiert ein u^∗ ∈ [0,1] oder v^∗ ∈ [0,1]

mit φ(u^∗) = −φ(1 − u^∗) oder ψ(v^∗) − ψ(1 − v^∗), dann sind

φ(u) = −φ(1 − u) und ψ(v) = −ψ(1 − v) f¨ur u, v ∈ [0,1]

notwendig f¨ur radiale Symmetrie.

4. Schließlich gibt es noch den Fall φ(1/2) = ψ(1/2) = 0 und |φ(u)| 6=

|φ(1 − u)| und |ψ(u)| 6= |ψ(1 − u)| f¨ur u 6= 1/2. Dann ist

Es sind weiterhin

F¹(u, v) = −F¹(u,1 − v) ⇐⇒ φ(u)(ψ(v) + ψ(1 − v)) = 0 und

F¹(u, v) = −F¹(1 − u, v) ⇐⇒ ψ(v)(φ(u) + φ(1 − u)) = 0 f¨ur alle u, v ∈ [0,1].

Wenn es ein u^∗ ∈ [0,1] und ein v^∗ ∈ [0,1] gibt mit φ(u^∗) 6= 0 und ψ(v^∗) 6= 0, dann ist hinreichend und notwendig f¨ur die gemeinsame Symmetrie von C(u, v;φ, ψ), daß

φ(u) = −φ(1 − u) und ψ(v) = −ψ(1 − v) f¨ur u, v ∈ [0,1]

gelten.

74

Somit folgt mit φ(1/2) 6= 0 bzw. ψ(1/2) 6= 0, daß keine gemeinsame Symmetrie vorliegen kann.

Spezialfall: Potenzcopula

Wir betrachten die Potenzcopula mit φ(u) = 1

k + 1u u^k − 1

und ψ(v) = 1

q + 1v (v^q − 1) f¨ur u, v ∈ [0,1].

Es sind φ(1/2) 6= 0 und ψ(1/2) 6= 0. Damit kann keine gemeinsame Symmetrie der Produktcopula vorliegen.

F¨ur radiale Symmetrie m¨ussen φ(u) = 1

k + 1u u^k − 1

= 1

k + 1(1 − u) (1 − u)^k − 1

= φ(1 − u) f¨ur alle u ∈ [0,1] sein.

76

Dies kann aber nur sein, wenn

u^k+1 − 2u + 1 = (1 − u)^k+1 u ∈ [0,1]

ist, was nur f¨ur k = 1 erf¨ullbar ist.

D.h. nur

φ(u) = 1

2u(u − 1) und ψ(v) = 1

2v (v − 1) f¨ur u, v ∈ [0,1].

liefert eine radial symmetrische Copula.

Symmetrie der Produktcopula nach Amblard & Girard

Amblard & Girard (2000) diskutieren ebenfalls radiale und gemeinsame Symmetrie ihrer semiparametrischen Copula C(u, v) = uv + θφ(u)φ(v).

Als Spezialfall der allgemeinen Produktcopula ergibt sich sofort, daß hinreichend f¨ur radiale Symmetrie ist, daß φ(u) = φ(1 − u) f¨ur u ∈ [0,1]

oder φ(u) = −φ(1 − u) f¨ur u ∈ [0,1] gelten.

Da φ(u)² = φ(1−u)² f¨ur u ∈ [0,1] ist, folgt f¨ur u^∗ ∈ [0,1], daß entweder φ(u^∗) = φ(1 − u^∗) oder φ(u^∗) = −φ(1 − u^∗) sind.

78

Damit entf¨allt der vierte Fall, in dem f¨ur die allgemeine Produktcopula nicht gezeigt werden konnte, daß

φ(u) = φ(1 − u) und ψ(v) = ψ(1 − v) f¨ur u, v ∈ [0,1]

oder

φ(u) = −φ(1 − u) und ψ(v) = −ψ(1 − v) f¨ur u, v ∈ [0,1]

notwendig f¨ur radiale Symmetrie sind.

Damit ist φ(u) = φ(1 − u) f¨ur u ∈ [0,1] oder φ(u) = −φ(1 − u) f¨ur u ∈ [0,1] hinreichend und notwendig f¨ur radiale Symmetrie von C(u, v;φ).

Amblard & Girard (2000) geben einige Beispiele f¨ur die Funktion φ an, die sich bez. radialer und gemeinsamer Symmetrie klassifizieren lassen:

1. φ(u) = u(1− u) liefert radiale, aber keine gemeinsame Symmetrie f¨ur

−1 ≤ θ ≤ 1.

2. φ(u) = u(1 − u)(1 − 2u) ergibt eine Copula mit gemeinsamer Sym- metrie f¨ur −1 ≤ θ ≤ 1.

3. φ(u) = −ulnu f¨uhrt zu keiner radial symmetrischen Copula f¨ur 0 ≤ θ ≤ 0.3769.

80

Produktcopula nach Fischer

Der Ansatz von Fischer schließt zun¨achst gemeinsam symmetrische Co- pulas aus, da −f(F⁻¹(1 − u)) ≤ 0 f¨ur alle u ∈ [0,1] sein muß.

Ausgehend von einer um 0 symmetrischen Dichtefunktion ist allerdings f(F⁻¹(u)) = f(F⁻¹(1 − u)) f¨ur u ∈ [0,1],

so daß dann radiale Symmetrie vorliegen muß. Umgekehrt folgt aus dieser Bedingung, daß die zugrunde liegende Dichte symmetrisch um 0 sein muß.

Abh¨ angigkeitseigenschaft

Seien (X, Y ) Zufallsvariablen mit der gemeinsamen Verteilung F_X,Y und der gemeinsamen Dichte f_X,Y.

1. P F D: X und Y heißen ”positive function dependent”, wenn f¨ur jede integrierbare reellwertige Funktion g gilt:

Cov(g(X)g(Y )) = E(g(X)g(Y )) − E(g(X))E(g(Y )) ≥ 0.

2. P QD: X und Y heißen ”positive quadrant dependent”, wenn gilt:

P(X ≤ x, Y ≤ y) ≥ P(X ≤ x)P(Y ≤ y) f¨ur alle x, y ∈ R.

3. LT D(Y |X): Y heißt ”left tail decreasing in X”, wenn gilt:

P(Y ≤ y|X ≤ x) ist nicht abnehmend in x f¨ur alle y ∈ R.

82

4. RT I(Y |X): Y heißt ”right tail increasing in X”, wenn gilt:

P(Y > y|X > x) ist nicht abnehmend in x f¨ur alle y ∈ R.

5. SI(Y |X): Y heißt ”stochastically increasing in X”, wenn gilt:

P(Y > y|X = x) ist nicht abnehmend in x f¨ur alle y ∈ R.

6. LCSD: X und Y heißen ”left corner set decreasing”, wenn gilt:

P(X ≤ x, Y ≤ y|X ≤ x⁰, Y ≤ y⁰) ist nicht zunehmend in x⁰ und y⁰

7. RCSI: X und Y heißen ”right corner set increasing”, wenn gilt:

P(X > x, Y > y|X > x⁰, Y > y⁰) ist nicht abnehmend in x⁰ und y⁰ f¨ur alle x, y ∈ R.

8. T P2: (X, Y ) besitzen die ”total positivity of order 2-Eigenschaft, wenn gilt:

f_X,Y (x₁, y₁)f_X,Y (x₂, y₂) − f_X,Y(x₁, y₂)f_X,Y(x₂, y₁) f¨ur alle x₁, x₂, y₁, y₂ ∈ R mit x₁ ≤ x₂ und y₁ ≤ y₂.

X, Y werden auch likelihood ratio dependent (LRD) genannt.

84

Abh¨ angigkeitseigenschaften von Copulas

• Bedingungen f¨ur Tail-Monotonie:

LT D(Y |X) ⇐⇒ C(u, v)

u nichtzunehmend in u bzw.

LT D(Y |X) ⇐⇒ P(V ≤ v|U = u) = ∂C(u, v)

∂u ≤ C(u, v) u .

bzw.

RT I(Y |X) ⇐⇒ v − C(u, v)

1 − u nichtzunehmend in u bzw.

RT I(Y |X) ⇐⇒ P(V ≤ v|U = u) = ∂C(u, v)

∂u ≥ v − C(u, v) 1 − u .

86

• Stochastically Increasing:

SI(Y |X) ⇐⇒ P(V ≤ v|U = u) = ∂C(u, v)

∂u nicht zunehmend in u bzw.

SI(Y |X) ⇐⇒ C(u, v) konkav in u

• Corner Set Eigenschaften:

LCSD(X, Y ) ⇐⇒ C(u, v)C(u⁰, v⁰) ≥ C(u, v⁰)C(u⁰, v) f¨ur alle u, u⁰, v, v⁰ ∈ [0,1] mit u < u⁰, v < v⁰.

bzw.

RCSI(X, Y ) ⇐⇒ C(u, v)C(u⁰, v⁰) ≥ C(u, v⁰)C(u⁰, v) f¨ur alle u, u⁰, v, v⁰ ∈ [0,1] mit u < u⁰, v < v⁰.

88

Beachte:

LCSD(X, Y ) ⇐⇒ C ist TP2 und

RCSI(X, Y ) ⇐⇒ Cˆ ist TP2.

• Totally Positivity of order 2 (TP2):

c(u, v) c(u, v⁰) c(u⁰, v) c(u⁰, v⁰)

≥ 0 f¨ur alle u < u⁰, v < v⁰.

• Ubersicht der Zusammenh¨¨ ange:

90

• Beachte: Die PQD-Eigenschaft ist die schw¨achste Eigenschaft, die aus allen anderen folgt.

D.h.: Liegt sie nicht vor, kann auch keine der anderen Abh¨angigkeits- eigenschaften erf¨ullt sein.

92

Abh¨ angigkeitseigenschaften von R¨ uschendorf-Copulas

Allgemeine Voraussetzung: θ > 0.

• X und Y sind im allgemeinen nicht P F D,

Cov(g(X)g(Y )) = Cov(g(F⁻¹(U)), g(F⁻¹(V ))

= θ

Z Z

g(u)g(v)f¹(u, v)dudv.

• Positive Quadranten Eigenschaft (PQD):

• Tail-Monotonie:

LT D(X, Y ) ⇐⇒ θF¹(u, v)

u monoton nichtzunehmend in u

⇐⇒ ∂F¹(u, v)

∂u ≤ F¹(u, v)

u .

RT I(X, Y ) ⇐⇒ θF¹(u, v)

1 − u monoton nichtabnehmend in u

⇐⇒ ∂F¹(u, v)

∂u ≥ F¹(u, v) 1 − u .

94

• Stochastically Increasing:

SI(Y |X) ⇐⇒ θ∂²F¹(u, v)

∂u² ≤ 0.

D.h. f¨ur θ > 0 muß F¹(u, v) konkav und f¨ur θ < 0 konvex in u sein.

• Corner Set Eigenschaften:

LCSD(X, Y ) ⇐⇒ θ(F¹(u₂, v₂)F¹(u₁, v₁) − F¹(u₁, v₂)F¹(u₂, v₁))

≥ −u₂v₂F¹(u₁, v₁) − u₁v₁F¹(u₂, v₂) +u₁v₂F¹(u₂v₁) − u₂v₁F¹(u₁v₂)

f¨ur u₁, u₂, v₁, v₂ ∈ [0,1] mit u₁ < u₂, v₁ < v₂.

Die TP2-Eigenschaft f¨ur F¹ reicht nicht aus, um die LCSD-Eigenschaft zu sichern.

F¨ur die RCSI-Eigenschaft wird

Cˆ(u, v) = u − (1 − v) + (1 − u)(1 − v) + θF¹(1 − u, 1 − v)

= (1 − u)(1 − v) + θF¹(1 − u, 1 − v) ben¨otigt.

96

• Totally Positivity of order 2 (TP2):

T P2(X, Y ) ⇐⇒ θ(f¹(u₂, v₂)f¹(u₁, v₁) − f¹(u₁, v₂)f¹(u₂, v₁))

≥ −f¹(u₁, v₁) − f¹(u₂, v₂) + f¹(u₂v₁) − f¹(u₁v₂).

Abh¨ angigkeitseigenschaften von Produktcopulas

Allgemeine Voraussetzung: θ > 0.

• X und Y sind im allgemeinen nicht P F D,

Cov(g(X)g(Y )) = Cov(g(F⁻¹(U)), g(F⁻¹(V ))

= θ

Z Z

g(u)g(v)φ⁰(u)ψ⁰(v)dudv

= θ Z 1

0

g(u)φ⁰(u)du Z 1

0

g(v)ψ⁰(v)dv

98

Hinreichende und notwendige Bedingung f¨ur die PQD-Eigenschaft:

P QD(X, Y ) ⇐⇒ θφ(u)ψ(v) ≥ 0

Daß nicht jede Produktcopula doe PQD-Eigenschaft besitzt, zeigen die Beispiel der Copulas mit fixem und variablem Nullpunkt.

Notwendige Bedingung f¨ur die PQD-Eigenschaft:

P QD(X, Y ) =⇒ θφ(u)ψ(u) ≥ 0

D.h.: sign(φ(u)) = sign(ψ(u)).

Diese notwendige Bedingung wird von der Copula mit festem Null- punkt, aber nicht von der Copula mit variablem Nullpunkt erf¨ullt.

100

102

• Beachte: Wenn aber sign(φ(u)) 6= sign(ψ(u)), dann gilt nicht P QD(X, Y ) und damit auch keine der anderen Abh¨angigkeitseigen- schaften außer u.U. P F D(X, Y ).

• Sei φ(u^∗) 6= 0 f¨ur ein u^∗ ∈ [0,1] und ψ(v^∗) 6= 0 f¨ur ein v^∗ ∈ [0,1].

Eine hinreichende und notwendige Bedingung f¨ur P QD(X, Y ) liefert:

φ(u) ≥ 0 und ψ(v) ≥ 0 f¨ur u, v ∈ [0,1]

oder

φ(u) ≤ 0 und ψ(v) ≤ 0 f¨ur u, v ∈ [0,1]

Beweis: Sei φ(u)ψ(v) ≥ 0 f¨ur alle u, v ∈ [0,1].

1. Wenn es ein u^∗ gibt mit φ(u^∗) > 0, dann ist ψ(v) ≥ 0 f¨ur alle v ∈ [0,1].

2. Wenn es ein u^∗ gibt mit φ(u^∗) < 0, dann ist ψ(v) ≤ 0 f¨ur alle v ∈ [0,1].

3. Wenn es ein v^∗ gibt mit ψ(v^∗) > 0, dann ist φ(u) ≥ 0 f¨ur alle u ∈ [0,1].

4. Wenn es ein v^∗ gibt mit φ(u^∗) < 0, dann ist φ(u) ≤ 0 f¨ur alle u ∈ [0,1].

Da die PQD-Eigenschaft eine notwendige Bedingung f¨ur die anderen Abh¨angigkeitseigenschaften ist, wird im folgenden vorausgesetzt, daß φ und ψ entweder gemeinsam nichtnegativ oder gemeinsam nichtpositiv sind.

104

BEISPIEL: Potenzcopula

φ(u) = u(u^k − 1) ≤ 0 und ψ(v) = v(v^q − 1) ≤ 0 f¨ur u, v ∈ [0,1].

• Tail-Monotonie: Setzt man

F¹(u, v) = φ(u)ψ(v)

in die hinreichende und notwendige Bedingung f¨ur die LT D- und RT I-Eigenschaft ein, folgt sofort

LT D(Y |X) ⇐⇒ F¹(u, v)

u monoton nichtzunehmend in u

⇐⇒ φ(u)

u ψ(v) monoton nichtzunehmend in u 1. Wenn ψ nichtnegativ ist, muß φ(u)/u monoton nichtzunehmend

sein.

2. Wenn ψ nichtpositiv ist, muß φ(u)/u monoton nichtabnehmend sein.

106

D.h.

LT D(Y |X) ⇐⇒ φ(u)/u monoton.

LT D(X|Y ) ⇐⇒ ψ(v)/v monoton.

LT D(X|Y ) und LT D(Y |X) ⇐⇒ φ(u)/u und ψ(v)/v

gemeinsam nichtabnehmend oder gemeinsam nichtzunehmend.

RT I(Y |X) ⇐⇒ F¹(u, v)

1 − u monoton nichtzunehmend in u

⇐⇒ φ(u)

1 − uψ(v) monoton nichtzunehmend in u

RT I(X|Y ) und RT I(Y |X) ⇐⇒ φ(u)/(1 − u) und ψ(v)/(1 − v) gemeinsam monoton nichtabnehmend oder gemeinsam nichtzunehmend.

108

BEISPIEL: Potenzcopula

φ(u)/u = u^k − 1 monoton nichtabnehmend in u bzw.

φ(u)/(1 − u) = uu^k − 1

1 − u = monoton nichtabnehmend in u,

da (u^k − 1) und u/(1 − u) monoton nichtabnehmend sind, ist die Potenzcopula LT D und RT I-abh¨angig.

• Stochastically Increasing:

SI(Y |X) ⇐⇒ ∂²F¹(u, v)

∂u² ≤ 0

⇐⇒ ψ(v)φ⁰⁰(u) ≤ 0.

Da ψ(v) ≥ 0 f¨ur alle v ∈ [0,1] oder ψ(v) ≤ 0 f¨ur alle v ∈ [0,1] sein muß, gilt

SI(Y |X) ⇐⇒ φ konkav oder konvex.

Da φ und ψ ¨uberall gemeinsam nichtnegativ oder ¨uberall gemeinsam nichtpositiv sind, folgt:

SI(Y |X) und SI(X|Y ) ⇐⇒ φ und ψ

gemeinsam konkav oder gemeinsam konvex.

110

BEISPIEL: Potenzcopula

Es sind ψ(v) ≤ 0 f¨ur v ∈ [0,1] und

φ⁰⁰(u) = (k + 1)ku^k−1 ≥ 0 f¨ur u ∈ [0,1].

• Corner Set Eigenschaft LCSD:

LCSD(X, Y ) ⇐⇒ θ(F¹(u₂, v₂)F¹(u₁, v₁) − F¹(u₁, v₂)F¹(u₂, v₁))

≥ −u₂v₂F¹(u₁, v₁) − u₁v₁F¹(u₂, v₂) +u₁v₂F¹(u₂v₁) − u₂v₁F¹(u₁v₂)

f¨ur u₁, u₂, v₁, v₂ ∈ [0,1] mit u₁ < u₂, v₁ < v₂.

112

D.h.

LCSD(X, Y ) ⇐⇒ φ(u₂)ψ(v₂)φ(u₁)ψ(v₁) − φ(u₁)ψ(v₂)φ(u₂)ψ(v₁)

≥ 1

θ(−u₂v₂φ(u₁)ψ(v₁) − u₁v₁φ(u₂)ψ(v₂) + u₁v₂φ(u₂)ψ(v₁) − u₂v₁φ(u₁)ψ(v₂)) f¨ur u₁, u₂, v₁, v₂ ∈ [0,1] mit u₁ < u₂, v₁ < v₂.

Dann ist

LCSD(X, Y ) ⇐⇒

φ(u₂)

u₂ − φ(u₁) u₁

ψ(v₂)

v₂ − ψ(v₁) v₁

u₁u₂v₁v₂ ≥ 0 f¨ur u₁, u₂, v₁, v₂ ∈ [0,1] mit u₁ < u₂, v₁ < v₂.

Wenn φ(u₂)/u₂ ≥ φ(u₁)/u₁) ist, dann folgt ψ(v₂)/v₂ ≥ ψ(v₁)/v₁ f¨ur alle v₁ < v₂, so daß ψ(v)/v monoton nichtabnehmend ist. Insgesamt gilt:

LCSD(X, Y ) ⇐⇒ φ(u)/u und ψ(v)/v

gemeinsam nichtabnehmend oder gemeinsam nicht zunehmend

⇐⇒ LT D(Y |X) und LT D(X|Y ).

114

BEISPIEL: Potenzcopula

Die gleichgerichtete Monotonie von φ(u)/u = u^k−1 und ψ(v) = v^q−1 sichert LCSD(X, Y ).

• Corner Set Eigenschaft RCSI:

Analog RSCI(X, Y ):

RCSI(X, Y ) ⇐⇒ φ(u)/(1 − u) und ψ(v)/(1 − v) gemeinsam nichtabnehmend oder gemeinsam nicht zunehmend

⇐⇒ RT I(Y |X) und RT I(X|Y ).

116

• Totally Positivity of Order 2 (TP2):

Es ist

f¹(u, v) = φ⁰(u)ψ⁰(v), so daß

T P2(X, Y ) ⇐⇒ (φ⁰(u₂) − φ⁰(u₁)(ψ⁰(v₂) − ψ⁰(v₁)) ≥ 0 f¨ur u₁ ≤ u₂ und v₁ ≤ v₂.

Damit m¨ussen φ⁰ und ψ⁰ gemeinsam monoton nichtabnehmend oder gemeinsam monoton nichzunehmend sein, so daß gilt:

T P2(X, Y ) ⇐⇒ φ und ψ

Zusammenfassung:

118

Abh¨ angigkeitseigenschaften von Produktcopulas nach Amblard & Girard

Die Bedingungen f¨ur die Abh¨angigkeitseigenschaften entsprechen bis auf eine Ausnahme denen der Produktcopulas.

Ausnahme: Produktcopulas nach Amblard & Girard besitzen stets die P F D-Eigenschaft.

Cov(g(X)g(Y )) = Cov(g(F⁻¹(U)), g(F⁻¹(V )) = θ

Z Z

g(u)g(v)φ⁰(u)φ⁰(v)dudv Z 1 ²

Abh¨ angigkeitseigenschaften von Produktcopulas nach Fischer

Werden φ und ψ durch Dichtefunktionen f bzw. g entsprechend φ(u) = f(F⁻¹(u)) ≥ 0 f¨ur alle u ∈ [0,1]

und

ψ(v) = g(G⁻¹(u)) ≥ 0 f¨ur alle v ∈ [0,1]

erzeugt, folgt sofort die P QD-Eigenschaft, da φ(u)ψ(v) ≥ 0 f¨ur u, v ∈ [0,1] ist.

120

Sind f⁰/f(F⁻¹(u)) und g⁰/g(G⁻¹(v)) gemeinsam monoton nichtabneh- mend oder gemeinsam monoton nichtzunehmend, dann folgen die T P2- und damit alle anderen Abh¨angigkeitseigenschaften.

BEISPIEL: F¨ur die Cauchy-Verteilung sind f(F⁻¹(u)) = 1

π

1

1 + (tan(π ∗ (u − 1/2)))²

und f⁰

f (F⁻¹(u)) = −sin(2πu),

so daß keine LT D- und keine T P2-Eigenschaft vorliegen kann.

Problem: W¨ahle f, so daß LT D- aber keine T P2-Eigenschaft vorliegt.

122

Globale Abh¨ angigkeitsmaße

• (Linearer) Korrelationskoeffizient

• Volumenmaß

• Rangkorrelationskoeffizient von Spearman

• Pangkorrelationsloeffizient von Kendall

• Rangkorrelationskoeffizient von Blest

(Linearer) Korrelationskoeffizient (allgemein)

corr(X₁, X₂) = E

X₁ − µ₁) σ₁

X₂ − µ₂ σ₂

124

Grenzen des linearen Korrelationskoeffizienten f¨ ur Produktcopulas

f(x₁, x₂) = f₁(x₁)f₂(x₂)(1 + θφ^∗(x₁)ψ^∗(x₂))

mit Z

φ^∗(x₁)f₁(x₁)dx₁ = Z

ψ^∗(x₂)f₂(x₂)dx₂ = 0.

und

φ^∗(x₁) = φ(F₁(x₁)) und ψ^∗(x₂) = ψ(F₂(x₂)) bzw.

φ(u) = φ^∗(F₁⁻¹(u)) und ψ(v) = ψ(F₂⁻¹(v))

Linearer Korrelationskoeffizient (Lee (1996)):

corr(X₁, X₂) = θ R¹

0 F₁⁻¹(u)φ(u)duR ¹

0 F₂⁻¹(v)ψ(v)dv σ₁σ₂

126

Seien −1 ≤ −h₁ ≤ φ(u) ≤ 1 und −1 ≤ −h₂ ≤ ψ(v) ≤ 1 und setze L(h_i) = −E

X_i − µ_i

σ_i |F_i(X) ≥ h 1 + h

U(h_i) = −E

X_i − µ_i

σ_i |F_i(X) ≤ h 1 + h

,

dann sind (Shubina & Lee (1994)):

L(h₁) ≤ R 1

0 F₁⁻¹(u)φ(u)du

σ₁ ≤ U(h₁) und

R1 −1

Setze weiterhin

L(h₁, h₂) = min(L₁(h₁)U₂(h₂), L₂(h₂)U₁(h₁)) und

U(h₁, h₂) = max(L₁(h₁)L₂(h₂), U₁(h₁)U₂(h₂)), dann ist

min

−U(h₁, h₂), L(h₁, h₂) max(h₁, h₂)

≤ corr(X₁, X₂) ≤ max

−L(h₁, h₂), U(h₁, h₂) max(h₁, h₂)

.

128

BEISPIEL: Exponentialverteilung

L(h) = − ln(1 + h) undU(h) = hln((1 + h)/h).

−0.4804 ≤ corr(X₁, X₂) ≤ 0.6476 (f¨ur h = 0.2550).

Spezialfall: Symmetrische Dichten

− U(h₁, h₂)

max(h₁, h₂) ≤ corr(X₁, X₂) ≤ U(h₁, h₂) max(h₁, h₂).

Maximal erreichbarer Bereich f¨ur den linearen Korrelationskoeffizienten:

−max

h

U(h, h)

h ≤ corr(X₁, X₂) ≤ max

h

U(h, h) h .

130

BEISPIEL: [0,1]-Rechteckverteilung U(h, h)

h = 3h

1 + h)²,

ist monoton zunehmend auf [0,1], so daß f¨ur h = 1

−3

4 ≤ corr(X₁, X₂) ≤ 3 4.

BEISPIEL: Normalverteilung

−2

π ≤ corr(X₁, X₂) ≤ 3 4.

132