Mögliche Variationen:

Anhang 45: Dreiecksinhalt

Initialproblem:

Zeige, daß für den Flächeninhalt eines Dreiecks mit den Seiten(längen) a und b sowie dem Zwischenwinkel γ gilt:

ADreieck ABC = ½ a⋅b ⋅ sin γ .

Lösung:

ADreieck ABC = ½ a⋅ha = ½ a⋅b ⋅ sin γ

Mögliche Variationen:

a)

Gibt es Sonderfälle ? Strategie: spezifizieren

(gleichschenkliges Dreieck: A = ½ s² ⋅ sin γ rechtwinkliges Dreieck: A = ½ ab

gleichseitiges Dreieck: A = ½ s² ⋅ sin 60° = ¼ s² 3 )

b)

Was ergibt sich bei zwei anderen Seiten und deren Zwischenwinkel?

Strategie: geringfügig ändern

(Genau das gleiche: A = ½ b⋅c ⋅ sin α = ½ c⋅a ⋅ sin β .) Hinweis: Hieraus folgt unmittelbar der Sinussatz.

c)

Wie ist das bei einem Parallelogramm?

Strategie: analogisieren

(Mit zwei Nachbarseiten a,b und Zwischenwinkel α gilt AParallelogramm = a⋅b ⋅ sinα .

d)

Und bei einem Viereck?

Strategie: analogisieren bzw. ver- allgemeinern (von

c)

her)

(AViereck ABCD

= ½ e ⋅ (a⋅sinα1 + d⋅sinα2) )

A

B D

C

ha

c a b

γ

A B

D C

a d e

α1 α2

e)

Wie bestimmt man den Inhalt eines regelmäßigen n-Ecks mit Umkreisradius r?

Strategie: bekannte Zusammenhänge nutzen (Brücken gehen) (Arglm. n-Eck = n ⋅ ABestimmungsdreieck = n ⋅ ½ ⋅ r² ⋅ sin(360°/n) )

f)

Wie groß ist der Umfang des Ausgangsdreiecks?

Strategie: analogisieren

(uDreieck ABC = a + b + c mit c² = ha

2 + |BD|² = b² ⋅ sin² γ + (a − b ⋅ cos γ)² = a² + b² − 2ab ⋅ cos γ )

Hinweis: Diese Variante führt zum Kosinussatz.

g)

Wie kann man den Inhalt des Ausgangsdreiecks vergrößern?

Strategie: umzentrieren (Blick wechseln)

(indem man die Seiten vergrößert oder aber sinγ . Im letzten Falle ergibt sich ein Maximum für γ = 90°.)

h)

Wie kann man den Umfang des Ausgangsdreiecks vergrößern?

Strategie: analogisieren (von

g)

her)

(indem man a oder b vergrößert oder γ möglichst groß (cosγ möglichst klein) macht. Letzteres führt zu einem Randmaximum.)

i)

Wie kann man den Inhalt eines Dreiecks aus drei ganz anderen Hauptstücken (Seiten oder Winkel) berechnen?

Strategie: analogisieren (im Hinblick auf die bekannten Kongruenzsätze) (Beispiel: Gegeben seien die drei Seiten a,b,c .

Es ist cos γ = a b c ab

2 2 2

2

+ − , also sin γ = 1

2

2 2 2

− + − 2

(a b c )

ab und daher ADreieck = ½ ab ⋅ 4

4

2 2 2 2 2 2

2 2

a b a b c

a b

−( + − )

= ¼ ((a+b)² −c²) (⋅ c² − −(a b) )²

= ¼ (a+ +b c a)( + −b c b)( + −c a c)( + −a b)

Das ist die berühmte Heron-Formel, die von weit größerer Praxisrelevanz ist als die übliche Formel ½ g⋅h . )

j)

Wie lautet die entsprechende Aufgabe für ein Tetraeder?

Strategie: Dimension wechseln

(Welches ist das Volumen eines Tetraeders, von dem die Länge dreier Kanten bekannt sind, die von derselben Ecke ausgehen, sowie die zugehörigen Zwischenwinkel? )

A B

C D

a d

c α δ

ε

Hinweis: Es genügt hier durchaus, die Aufgabe zu formulieren. Ihre Lösung ist zu schwierig.

k)

Wie verändert sich der Dreiecksinhalt (Dreiecksumfang), wenn man a und b ver-n-facht?

Strategie: präzisieren (gegenüber

g))

(gemäß Sinussatz wird der Inhalt ver-n²-facht und gemäß Kosinussatz der Umfang ver-n-facht)

Anhang 46: Summenbildung

Initialproblem:

1 = 1 1 + 3 = 4 1 + 3 + 5 = 9 ...

Setzen Sie diese Reihe fort. Was fällt Ihnen auf? Beweisen Sie Ihre Vermutung.

Lösung:

Vermutung: 1 + 3 + 5 + ... + (2n−1) = n² Beweise:

a) S = 1 + 3 + ... + (2n−3) + (2n−1)

S = (2n−1) + (2n−3) + ... + 3 + 1

2S = 2n + 2n + ... + 2n + 2n = n ⋅ 2n = 2n² S = n²

Hinweis: Wir sprechen vom Gauß-Verfahren, weil der kleine CARL FRIED-

RICH GAUß (1777-1855) es (ohne Vorbild) praktizierte, als er in der Schule die Summe der Zahlen 1 bis 100 bilden sollte.

b) n² − (n−1)² = 2n − 1 (n−1)² − (n−2)² = 2n − 3 ....

2² − 1² = 3 1² − 0² = 1 ——————————

n² = 1 + 3 + ... + (2n−1) c)

1 1 1 1 1 .... 1 1 ...

1 1 1 1 1 .... 1 1 1 1 1 1 1 .... 1 1

1 1 1 1 1 .... 1 1 (n+1)² = n² + (2n + 1) 1 1 1 1 1 .... 1 1 Quadrat = nächstkleineres Quadrat 1 1 1 1 1 .... 1 1 + Winkel

d) vollständige Induktion (als Präzisierung von b) bzw. c))

Hinweis: Diese Beweisform ist auch im folgenden meist möglich, setzt je- doch eine Vermutung voraus, die sich nicht immer so aufdrängt wie hier.

Mögliche Variationen:

a)

Welches ist die Summe der ersten n geraden Zahlen?

Strategie: analogisieren

(2 + 4 + ... + 2n = n² + n Beweis nach dem Gauß-Verfahren oder mit 2 + 4 + ... + 2n = (1 + 3 + ... + 2n−1) + (1 + 1 + ... + 1) )

b)

Welches ist die Summe der ersten n natürlichen Zahlen?

Strategie: vervollständigen

(1 + 2 + ... + n = ½ ⋅(n² + n

) Beweis nach dem Gauß-Verfahren oder mit

1 + 2 + ... + n = ½ ⋅ (2 + 4 + ... + 2n) = ½ ⋅(n² + n

) oder mit 1 + 2 + ... + (2n

−

1) + 2n = n

²

+ (n

²

+ n) = 2n

²

+ n ; wenn man nun kon-

sequent 2n durch n, also n durch n/2 ersetzt:

1 + 2 + ... + n = 2⋅(n/2)² + n/2

= ½ ⋅(n² + n) )

c)

Welches ist die Summe der ersten n durch 3 teilbaren Zahlen?

Strategie: analogisieren (von

a)

her) (3 + 6 + ... + 3n = 3/2 ⋅ (n² + n)

Beweis mit dem Gauß-Verfahren oder über 3 + 6 + ... + 3n = 3⋅(1 + 2 + ... + n) )

d)

Welches ist die Summe der ersten n durch m teilbaren Zahlen?

Strategie: verallgemeinern

(m + 2m + ... + n⋅m = m/2 ⋅ (n² + n) Beweise wie in

c)

.

e)

Welches ist die Summe der ersten n Zahlen, die bei Division durch m den Rest r (< m) lassen?

Strategie: erweitern

((m+r) + (2m + r) + ... + (n⋅m + r) = m/2 ⋅ (n² + n) + r⋅n Beweis durch Abspalten der n Summanden r.)

f)

Welches ist die Summe der ersten n Glieder einer arithmetischen Folge mit dem Anfangsglied a und der konstanten Differenz d ?

Strategie: verallgemeinern

(a + (a+d) + (a + 2d) + ... + (a + (n−1)⋅d) = d/2⋅(n² − n) + n⋅a

Beweis mit dem Gauß-Verfahren oder durch geeignetes Abspalten, wobei

1 + 2 + ... + (n−1) = ½ ⋅ (n²−n) gebraucht wird, was sich aus 1 + 2 + ... + n =

½ ⋅ (n²+n) durch Subtraktion von n leicht ergibt. )

g)

Welches ist die Summe der ersten n Quadratzahlen?

Strategie: Bedingung erschweren (1² + 2² + ... + n² = 1/6⋅n⋅(n+1)⋅(2n+1) Beweis:

(n+1)³ − n³ = 3n² + 3n + 1 n³ − (n−1)³ = 3(n−1)² + 3(n−1) + 1 ...

2³ − 1³ = 3⋅1² + 3⋅1 + 1

——————————————————————————————————————

(n+1)³ − 1³ = 3⋅(Quadratsumme) + 3⋅(einfache Summe) + n n³ + 3n² + 3n = 3⋅(Quadratsumme) + 3/2⋅(n² + n) + n, woraus sich die Behauptung leicht ergibt.)

h)

Welches ist die Summe der ersten n Kubikzahlen?

Strategie: iterieren

(1³ + 2³ + ... + n³ = ¼ (n² + n)² (= (1 + 2 + ... + n)² )

Beweis analog zu g) über die Differenzenkette (i+1)⁴ − i⁴ )

i)

Welches ist die Summe der ersten n Primzahlen?

Strategie: analogisieren

(Die Summe läßt sich nicht als Funktion von n angeben, weil die Primzahl- folge keine Regelmäßigkeit aufweist. Doch eine Abschätzung ist möglich: Sie ist größer als n², weil bereits der erste Summand größer ist als die erste unge- rade Zahl und die weiteren Summanden schneller ansteigen, da nicht jede un- gerade Zahl auch Primzahl ist.)

j)

Welches ist das Produkt der ersten n ungeraden Zahlen?

Strategie: analogisieren

(Hier ist keine Aussage mehr möglich.)

k)

Welches ist die (algebraische) Summe der ersten n gemischt verknüpften ganzen Zahlen 1 − 3 + 5 − 7 + ... + (−1)^n-1⋅(2n−1) ?

Strategie: kombinieren

(Die Summe ist (−1)^n-1⋅n; denn (−1)^n-1⋅n + (−1)ⁿ⋅(2n+1) = (−1)ⁿ⋅(n+1) .)

l)

Welches ist die Summe der n ersten Zweierpotenzen ?

Strategie: analogisieren

( 2S = 2² + 2³ + ... + 2ⁿ⁺¹ S = 2¹ + 2² + ... + 2ⁿ

Für die Differenz S ergibt sich S = 2ⁿ⁺¹ − 2 . )

Hinweis: Von hier aus könnte verallgemeinernd die Summenformel für geometrische Folgen sowie diejenige für unendliche geometrische Reihen erreicht werden.

m)

Welches ist das Produkt der n ersten Zweierpotenzen?

Strategie: kombinieren

(P = 2¹ ⋅ 2² ⋅ ... ⋅ 2ⁿ = 21+2+ ... + n

= 2^{1/2⋅n⋅(n+1)} )

Anhang 47: Sinusfunktionen

Initialaufgabe:

Zeichne den Graph der Funktion g: y = sin(2x) und vergleiche ihn mit dem Graph von f: y = sinx.

Lösung:

Der Graph von g geht aus dem von f durch axiale Streckung hervor. Streckachse ist die y-Achse, der Streckfaktor ist ½ . Daraus folgt, daß sich die Periode hal- biert: Es ist f(x + 2π) = f(x) für alle x, aber schon g(x + π) = g(x) für alle x.

Auch die Symmetrieachsen und -zentren werden entsprechend verändert, blei- ben aber als solche erhalten.

Hinweis: Bei Vergleichen dieser Art sollte wenn irgend möglich ein zeitsparen- der Funktionenplotter eingesetzt werden.

Mögliche Variationen:

a)

Vergleiche die Graphen von g: y = sin(ax) und f: y = sinx Strategie: verallgemeinern

(Der Streckfaktor ist 1

a. Im Falle a < 0 kommt noch eine Spiegelung an der x-Achse hinzu. Die Periode ist 2π

a .)

b)

Vergleiche die Graphen von g: y = sin(x+2) und f: y = sinx . Strategie: analogisieren

(Der Graph von g ist gegenüber dem Graph von f entlang der x-Achse um −2 (phasen)verschoben. Die Periode bleibt unberührt, die Symmetrieachsen und - zentren werden mitverschoben.

c)

Vergleiche die Graphen von g: y = sin(x+b) und f: y = sinx.

Strategie: verallgemeinern (s.

b)

mit b für 2)

Hinweis: Wegen cosx = sin(x + π/2) gehört zu diesen Kurven auch der Graph der Kosinusfunktion.

d)

Vergleiche die Graphen von g: y = 2⋅sinx und f: y = sinx.

Strategie: analogisieren

Die Periode bleibt unverändert; es findet keine wirkliche Verschiebung statt (die Phase ist 0). Doch werden die Funktionswerte und insbesondere die Extremwerte der Funktion verdoppelt. Die Symmetrien bleiben unverän- dert.)

e)

Vergleiche die Graphen von g: y = c⋅sinx und f: y = sinx.

Strategie: verallgemeinern

(wie

d)

mit c für 2. Das Maximum der Funktion (die Amplitude des Graphs) ist c statt 1.)

f)

Vergleiche die Graphen von g: y = 3⋅sin(2x+1) und f: y = sinx.

Strategie: kombinieren

(Der Graph bzw. die Funktion hat die Amplitude 3, die Periode π und die Phasenverschiebung −1.)

g)

Vergleichen Sie die Graphen von g: y = c⋅sin(ax+b) und f: y = sinx.

Strategie: verallgemeinern (von

h)

her bzw. kombinieren (von

a), c)

und

e)

her)

(s.

f)

. Die Amplitude der allgemeinen Sinusfunktion ist c, die Periode 2π a , die Phasenverschiebung −b.)

h)

Wo kommen solche Funktionen bzw. Graphen vor?

Strategie: anwenden

(bei allen harmonischen Schwingungen (y = a⋅sin(ωt + ϕ) mit t als Zeit- punkt, ω als als Kreisfrequenz und ϕ als Phasenverschiebung), z.B. beim Fadenpendel und beim Federpendel, s. Physik)

i)

Welche Gleichung hat die Sinusfunktion mit folgendem Graph?

Strategie: umkehren

(y = 1.5 ⋅ sin(3x − 1). Die Amplitude kann man direkt ablesen, den Koeffizi- enten 3 aus dem Vergleich der beiden Perioden, und die Phasenverschiebung wieder direkt.)

Hinweis: Hier bietet sich Partnerarbeit an. Jeder Partner läßt eine Funktion zeichnen, druckt sie ohne Kenntlichmachen aus und gibt sie dem anderen zur nachträglichen Analyse.

j)

Vergleichen Sie die Graphen von g: y = tan(2x) und f: y = tanx . Strategie: analogisieren

Es findet eine axiale Streckung an der y-Achse mit dem Faktor ½ statt.

Demgemäß wird die Periode halbiert: Es ist f(x + π) = f(x) für alle x, aber g(x + π/2) = g(x) für alle x. Die Symmetriezentren werden mitgestaucht.)

k)

Vergleiche die Graphen von g: y = sin(x²) und f: y = sinx.

Strategie: kombinieren (Sinus- und Quadratfunktion)

(g ist nicht mehr periodisch, allerdings noch symmetrisch in bezug auf die y- Achse. Die Amplitude bleibt unverändert.)

l)

Vergleiche die Graphen von f: y = sinx, g: y = cosx und h: y = sinx + cosx.

Strategie: umzentrieren (von der Funktionsveränderung zur Funktionsver- knüpfung)

(h scheint eine allgemeine Sinusfunktion zu sein. Wenn ja, ist ihre Periode dieselbe wie die der Summandenfunktionen. Setzen wir

sinx + cosx = c ⋅ sin(x + b), so gilt sinx + cosx = sinx⋅(c⋅cosb) + cosx(c⋅sinb).

Ein Koeffizientenvergleich erbringt 1 = c⋅cosb ∧ 1 = c⋅sinb .

Daraus folgt tanb = 1 und b = π/4 sowie 2 = c²⋅cos²b + c²⋅sin²b, d.h. c = 2 . Demnach h: y = 2⋅sin(x + π/4). )

m)

Vergleiche die Graphen der Funktionen f: y = sinx, g: y = sin(2x) und h: y = sinx + sin(2x).

Strategie: experimentieren

(Offensichtlich entsteht hier keine Sinusfunktion. Dazu ist wohl erforderlich, daß die beiden Perioden übereinstimmen.)

n)

Vergleiche die Graphen der Funktionen f: y = sinx und g: y = sin(sinx).

Strategie: iterieren

(Symmetrien, Nullstellen und Extremstellen stimmen überein. Maximum ist sin(sin(π/2)) = sin1 ˜ 0,84. Wegen |x| ≥ |sinx| ist auch |sinx| ≥ |sin(sinx)| .)

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