Funktionalanalysis 12. Übungsblatt

Funktionalanalysis 12. Übungsblatt

Fachbereich Mathematik Wintersemester 2012/2013

Prof. Dr. Burkhard Kümmerer 24./25. Januar 2013

Andreas Gärtner Gruppenübung

Aufgabe G50 (Reelle und komplexe lineare Funktionale)

Sei V ein C-Vektorraum. Zeigen Sie, dass für die reell-linearen Funktionale f : V → C und g :V →Rfolgende Aussagen äquivalent sind:

(i) Für alle x∈V ist f(x) = g(x)−i g(i x). (ii) Die Abbildung f istC-linear und g=ℜf.

Aufgabe G51 (Eigenschaften der Adjungierten eines Operators)

Seien E,F undG normierte Räume undS,T ∈L(E,F). Zeigen Sie, dass gilt:

(a) Die Adjungierte T⁰:F⁰→E⁰ von T ist stetig und T⁰

Op=kTkOp. Hinweis:Betrachten Sie x∈E,ϕ∈ F⁰mitkxk=1=

ϕ

undϕ(T x) =kT xk=kTkOp−". (b) Für alle α,β ∈Kist(αT +βS)⁰=αT⁰+βS⁰. (Vgl. Hilbertraum-Adjungierte!)

(c) Für die Einschränkung T⁰⁰|E von T⁰⁰:E⁰⁰→F⁰⁰ auf E gilt T⁰⁰|E=T. (d) FürR∈L(F,G)ist(R◦S)⁰ =S⁰◦R⁰.

Aufgabe G52 (Adjungierte eines Funktionals)

Sei(E,k · k)normiert. Interpretieren Sie f ∈E⁰ als lineare Abbildung inL(E,K). Berechnen Sie die Adjungierte inL(K,E⁰).

Aufgabe G53 (Inklusionen der L^p-Räume für endliche Maße)

Sei(Ω,µ)einendlicherMaßraum und1≤q≤p≤ ∞. Zeigen Sie, dass L^p(Ω,µ)⊆ L^q(Ω,µ) ist.

Hinweis:Betrachten Sie die Mengen

|f| ≤1 ⊆Ωund

|f|>1 :=

ω∈Ω : |f(ω)|>1 ⊆Ω. Aufgabe G54 (Fortsetzungen linearer Operatoren auf L^p für endliche Maße)

Sei (Ω,Σ,µ) ein endlicher Maßraum, 2 ≤ p < ∞ und q konjugiert zu p (d.h. q ≤ p). Sei T : L^p(Ω,µ) → L^p(Ω,µ) ein stetiger Operator und T⁰ : L^p(Ω,µ)0 = L^q(Ω,µ) → L^q(Ω,µ) dessen Adjungierte. Zeigen Sie, dass folgende Aussagen äquivalent sind:

(i) L^p(Ω,µ)ist invariant unter T⁰, d.h. T⁰ L^p(Ω,µ)

⊆L^p(Ω,µ).

(ii) Es existiert ein stetiger Operator T˜: L^q(Ω,µ)→L^q(Ω,µ)mit T˜|L^p(Ω,µ)=T, d.h. T lässt sich auf L^q(Ω,µ)fortsetzen.

Hinweis:Betrachten Sie die Adjungierte vonT⁰|L^p(Ω,µ)und von T˜.

1

Hausübung

Aufgabe H32 (Nicht immer gibt es stetige lineare Funktionale) (1 Punkt) Sei0< p <1und sei wie üblichL^p([0, 1]):={f :[0, 1]→Cmessbar:R1

0 |f|^pdλ <∞} und L^p([0, 1]) der Quotient vonL^p([0, 1])nach den Funktionen, die λ-fast überall verschwinden.

λbezeichne das Lebesgue-Maß. Dann ist L^p([0, 1])immer noch ein Vektorraum, wie man leicht sieht. Zeigen Sie:

(a) Sei d(f,g) := R1

0 |f − g|^pdλ für f,g ∈ L^p([0, 1]), dann definiert d eine Metrik auf L^p([0, 1]).

(b) SeiC ⊆ L^p([0, 1])eine offene konvexe Nullumgebung, dann ist C= L^p([0, 1]). Hinweis:Wählen Sie" >0, sodass{f ∈ L^p([0, 1]):d(f, 0)< "} ⊆C und zeigen Sie:

Jedes f ∈ L^p([0, 1])liegt in der konvexen Hülle von{f ∈ L^p([0, 1]):d(f, 0)< "}. Zerlegen Sie dazu geeignet [0, 1] = I₁ ∪I₂∪ · · · ∪ I_n und schreiben Sie f als Konvexkombination

f =P

i 1

n(n·χI_i· f).

(c) Das einzige stetige lineare Funktional auf(L^p([0, 1]),d)ist das Nullfunktional.

Aufgabe H33 (Banachlimiten) (1 Punkt)

Sei S : `<sup>∞</sup><sub>R</sub>(N) → `^∞_R(N) der Linksshift auf den beschränkten reellwertigen Folgen, d.h.

S(x)(n) = x(n+1) für x = (x(n))n∈N ∈ `<sup>∞</sup><sub>R</sub>(N). Ein lineares Funktional ψ : `^∞_R(N) → R mit

ψ

= 1 heißtBanachlimes, falls ψ translationsinvariant und positiv ist, d.h. ψ(x) =ψ(S(x)) für alle x ∈`^∞_R(N)undψ(x)≥0, falls x≥0ist (d.h. x(n)≥0für allen∈N).

(a) Zeigen Sie, dass

• M_:=^¦x−S(x) : x ∈`^∞_R(N)©

ein linearer Teilraum von`^∞_R(N) und

• d(1,M_):=inf¦

1− y

: y∈M^©₌1ist und dass

• ein positives Funktionalϕ:`^∞_R(N)→Rmit ϕ

=1existiert, das aufMverschwindet.

Folgern Sie daraus die Existenz eines Banachlimes.

Hinweis:Für x∈`^∞_R(N)gilt wie bei reellen Zahlen: 0≤x ≤1 ⇐⇒ k1−xk_∞≤1.

(b) Zeigen Sie: Für jeden Banachlimesψ:`<sup>∞</sup><sub>R</sub>(N)→Rund alle x∈`^∞_R(N)gilt:

ψ(1) = ψ

=1 und lim inf

n→∞ x(n)≤ψ(x)≤lim sup

n→∞

x(n) für eine konvergente Folge x∈c(N)ist alsoψ(x) =lim_nx(n)

.

Hinweis:Betrachten SieS^N(x−α1)undS^N(β1−x)fürα <lim inf_nx(n), β >lim sup_nx(n). (c) Seiψ:`<sup>∞</sup><sub>R</sub>(N)→Rein Banachlimes und x = (a,b,a,b, . . .)∈`^∞_R(N). Bestimmen Sieψ(x). Aufgabe H34 (Stetigkeit von Fortsetzungen linearer Funktionale) (1 Punkt) Sei H ein Hilbertraum, M _{⊆ H} ein abgeschlossener Teilraum und B_M ⊆ M eine Hamel- Basis aus Einheitsvektoren. Weiter sei B eine Hamel-Basis von H, die B_M und eine Folge von Einheitsvektoren(x_n)_n∈N⊆H \Menthält, so dass lim

n→∞〈x_n,y₀〉=1ist für ein y₀∈B_M. (a) Geben Sie ein konkretes Beispiel für diese Situation an.

(b) Sei f :M_→Kein stetiges lineares Funktional und sei das FunktionalF :H →Kdefiniert durchF(y):= f(y)für y∈B_MundF(x):=0fürx∈B\B_M. IstF eine stetige Fortsetzung von f? Begründen Sie Ihre Antwort.

2