Fermigas bei T Punkte, schriftlich) Betrachten Sie ein Gas ausN punktf¨ormigen fermionischen Teilchen mit der Masse m und mit Spin1/2

Karlsruher Institut f¨ur Technologie Institut f¨ur Theorie der Kondensierten Materie Ubungen zu Moderne Theoretischen Physik III¨ SS 2016

Prof. Dr. A. Shnirman Blatt 7

PD Dr. B. Narozhny, P. Schad L¨osungsvorschlag

1. Fermigas bei T = 0 (10+10=20 Punkte, schriftlich) Betrachten Sie ein Gas ausN punktf¨ormigen fermionischen Teilchen mit der Masse m und mit Spin1/2. Die fermionischen Teilchen befinden sich in einem Volumen V =L³ bei Temperatur T = 0.

Umk_F (p_F =~k_F) und_F als Funktion vonN undV zu erhalten, berechnen wirN(k_F), was sich mit der Fermiverteilung n_F(_k) darstellen l¨asst als

N = 2X

k

n_F(_k), (1)

mit einem Faktor 2 aus der Spinentartung 2s+ 1 = 2.

Meistens kann die Summe in (1) durch ein Integral ersetzt werden, und zwar genau dann, wenn die typischen Impulse im System k_typ viel gr¨oßer sind als die Impulsquan- tisierung ∼ ∆k = ^2π_L. Bei Fermionen kann jeder Zustand nur einfach besetzt sein, die Gr¨oßenordnung der typischen Impulse ist kF. F¨ur N 1 Fermionen ist kF ^2π_L sicherlich erf¨ullt und wir k¨onnen schreiben

X

k

∆³k

∆³k· · ·= 1

∆³k X

k

∆³k· · ·= V (2π)³

Z

d³k . . . . (2)

Im Fermigas beiT = 0, im Grundzustand, sind alle Zust¨ande bis zu einem Grenzimpuls kF besetzt, die Fermifunktion wird zur Stufenfunktion. Mit (1) und (2):

N = 2 V (2π)³

Z

d³k n_F(_k)^T= 2⁼⁰ 4πV (2π)³

Z kF

0

k²dk = V

3π²k_F³ (3) und mit der Dichte n=N/V:

p_F =~k_F =~ 3π²n1/3

. (4)

Das ist das Ergebnis f¨ur p_F f¨ur beide Teilaufgaben. Die innere EnergieU ist U = 2X

k

_kn_F(_k) = 2V (2π)³

Z

d³k _kn_F(_k) (5) Die innere Energie bei T = 0 ist die Grundzustandsenergie.

(a) Nichtrelativistisch: Mit (4) ergibt sich f¨ur die Fermienergie _F = p²_F

2m = ~²

2m 3π²n2/3

(6)

Die Grundzustandsenergie ist U = 2V

(2π)³ Z

|k|<k_F

d³k~²k²

2m =· · ·= ~²V 2mπ²

Z kF

0

dk k⁴ = ~²V k_F⁵

10mπ² (7)

Als Funktion von N und V ist das U = ~²(3π²N)^5/3

10mπ²V^2/3 = ~² 10m

3⁵π⁴N⁵ V²

1/3

. (8)

Der Druck P ist

P = (3π²)^2/3~²

5m n^5/3. (9)

Bemerkung: Man kann die Grundzustandsenergie auch mit der Fermienergie und der Teilchenzahl ausdr¨ucken:

U = 3

5N _F. (10)

_F ist hier die einzige Energieskala (pro Teilchen), deshalb war zu erwarten dass U von der Ordnung N _F ist.

(b) Relativistisch: Die Fermienergie ist hier

F =cpF =c~ 3π²n1/3

. (11)

Wir berechnen die innere Energie im Grundzustand U_rel = 2V

(2π)³ Z

|k|<k_F

d³k c~|k|= c~V π²

Z kF

0

dk k³ = c~V k_F⁴

4π² (12)

= c~ 4

3⁴π²N⁴ V

1/3

(13) und den Druck

P_rel= c~

4 3π²n⁴1/3

(14) Man kann auch im relativistischen Fall die Grundzustandsenergie durch Fermiener- gie und Teilchenzahl ausdr¨ucken, der Vorfaktor ist aber etwas anders: U_rel= ³₄N _F.

2. Statistik idealer (Quanten-) Gase (10+10+10=30 Punkte, schriftlich) Betrachten Sie folgendes Szenario: N punktf¨ormige Teilchen sollen auf M entartete Zust¨ande der Energieverteilt werden. Die Anzahl der Zust¨andeM ¨ubernimmt hier die Rolle des Volumens. Wir definieren außerdem die Dichte n =N/M, um die Ergebnisse mit n auszudr¨ucken.

(a) klassische ununterschiedbare Teilchen: Jedes der N Teilchen kann jeden der M m¨oglichen Zust¨ande einnehmen, was insgesamt M^N M¨oglichkeiten ergibt. Wegen der Ununterscheidbarkeit der Teilchen sind diejenigen Vielteichenzust¨ande, die per Teilchenpermutationen ineinander ¨uberf¨uhrt werden k¨onnen identisch. Damit die- se Zust¨ande nicht mehrfach gez¨ahlt werden teilen wir noch durch die Anzahl N!

m¨oglicher Permutationen (Gibbs-Faktor). Die Anzahl unterschiedlicher Vielteil- chenzust¨ande ist also

Γ_{M B}(N, M) = M^N

N! (15)

(Bem.: Wir haben hier keine R¨ucksicht darauf genommen, ob die Zust¨ande einfach oder mehrfach besetzt werden k¨onnen. Wenn man das korrekt ber¨ucksichtigt kommt man zur Fermi-Dirac- oder Bose-Einstein-Statistik, siehe unten. Deshalb liefert die hier verwendete Maxwell-Boltzmann-Statistik auch nur im Limes kleiner Dichte, N M, korrekte Ergebnisse.)

Die Gesamtenergie der Vielteilchenzust¨ande ist immerN und es gibt gerade Γ_{M B}(N, M) Zust¨ande. Die kanonische Zustandssumme ist also

Z_K = Γ_{M B}(N, M)e^−βN = M^Ne^−βN

N! (16)

F¨ur die freie Energie F =−k_BT lnZ_K verwenden wir die Stirlingformel F =−k_BT ln

M^Ne^−βN N!

=N(−k_BT) +N k_BT lnN

M (17)

Das chemische Potentialµ= _∂N^∂F

T,M ergibt sich zu (mit der Dichte n=N/M) µ=+k_BT ln N

M =+k_BT lnn (18) Bem.: Das ist, wie erwartet, nur f¨ur Dichten n < 1 ein sinnvolles Ergebnis (dann ist lnn <0). Es istµ(T →0) = , und es gibt eine Nullstelle bei T = _k⁻

Blnn. (b) Bosonen: Im Fall von Bosonen kann jeder Zustand maximalN-fach besetzt sein. Die

Anzahl der Zust¨ande kann auf verschiedenen Wegen erhalten werden.Am einfach- sten ist folgende Variante: die Anzahl der M¨oglichkeiten,N Bosonen inM Zust¨ande zu verteilen ist identisch zur Anzahl der M¨oglichkeiten,N identische B¨alle inM Bo- xen zu verteilen. Wir k¨onnen die M¨oglichkeiten wie folgt bildlich darstellen: Boxen (Zust¨ande) durch und B¨alle (Bosonen) durch •. Z. B.

••• •. . . (19)

Das erste Element muss eine Box (Zustand sein). Dann bleiben N +M −1 Ele- mente, die in irgendeiner Weise angeordnet werden m¨ussen. Allerdings sind die Anordnungen identisch, die durch Permutation von Boxen oder durch Permutati- on von B¨allen ineinander ¨uberf¨uhrt werden k¨onnen, wir m¨ussen deshalb durch die Anzahl m¨oglicher Permutationen N! und (M −1)! teilen. Damit

Γ_B(N, M) = (N +M−1)!

N!(M −1)! (20)

Die kanonische Zustandssumme ist (alle Zust¨ande haben gleiche Energie ) Z_K = Γ_B(N, M)e^−βN = (N +M−1)!e^−βN

N!(M−1)! (21)

F¨ur die freie Energie F = −k_BT lnZ_K verwenden wir die Stirlingformel, (und N, M 1)

F =−k_BT ln

(N+M −1)!e^−βN N!(M −1)!

=. . .

=N +k_BT Nln N

N +M +k_BT Mln M

N +M (22)

F¨ur das chemische Potential erhalten wir nach Rechnung µ=+kBT ln N

N +M =−kBT ln

1 + 1 n

(23) Der temperaturabh¨angige Term ist in jedem Fall negativ. F¨ur kleine Dichtenn 1 istN M, in dieser N¨aherung erh¨alt man das Maxwell-Boltzmann-Ergebnis (18), µ=k_BT. Es ist wiederµ(T →0) =, die Nullstelle ist beiT = ⁻

kBln_N+M^N .

(c) Fermionen: Jeder Zustand kann maximal einfach besetzt werden, um alleN Fermio- nen auf die M Zust¨ande zu verteilen darf die Anzahl der Fermionen nicht gr¨oßer sein als die Anzahl der Zust¨ande: N ≤ M. Wir verteilen die Fermionen auf die Zust¨ande: f¨ur das erste Fermion sind alle M m¨oglich, f¨ur das zweite noch (M−1), f¨ur das N-te noch in (M −(N −1)):

M(M −1). . .(M −N + 1) = M!

(M −N)! (24)

Wir m¨ussen jetzt noch ber¨ucksichtigen, dass manche der damit erhaltenen M¨oglich- keiten identische Permutationen sind, d.h. es ist egal ob Zustand m im ersten oder imn-ten Schritt besetzt wird. Anhand von Beispielen kann man leicht ¨uberpr¨ufen, dass die Anzahl identischer Permutationen genau N! ist. Die gesamte Anzahl un- terschiedlicher Konfigurationen ist also

Γ_F(N, M) = M!

N!(M−N)!). (25)

Die Zustandssumme ist

Z_K = M!e^−βN

N!(M −N)!) (26)

F¨ur die freie Energie erhalten wir mit der Stirlingformel (und N, M 1) F =−k_BT lnZ_K =. . .

=N +k_BT Nln N

M −N +k_BT Mln M

N +M (27)

Wir berechnen noch das chemische Potential und vereinfachen µ=+k_BTln N

M −N =−k_BT ln 1

n −1

(28) Auch dieses Ergebnis kann f¨ur kleine Dichten mitµ=+k_BTlnn gen¨aher werden.

3. Chemisches Potential eines zweidimensionalen Elektronengases

(25 Punkte, m¨undlich) 2D-Elektronengas aus N-Teilchen in einer Fl¨ache A. Die Energien sind k = ^~_2m^2k2. Die Fermiverteilung ist

n_F(_k) = 1

e^β(k−µ)+ 1 (29)

Wir berechnen zun¨achst großkanonisch die Teilchenzahl N als Funktion von (T, A, µ):

(Elektronen: Spin s= 1/2) N = (2s+ 1)A

Z d²k

(2π)² n_F(_k) = 2A Z ∞

0

kdk 2π

1 e^{β(~2m2k2−µ)}+ 1

(30) Substituiere

z =β

~²k² 2m −µ

, dz = ~²

mk_BT k dk.

damit wird der Ausdruck oben zu

N = 2Amk_BT 2π~²

Z ∞

− ^µ

kB T

dz

e^z+ 1 . (31)

Das Integral k¨onnen wir mit der im Hinweis angegebenen Substitution berechnen:

e^z =t −→

Z b

a

dz e^z+ 1 =

Z tb

ta

dt t(t+ 1)

= Z tb

ta

dt 1

t − 1 t+ 1

= ln t t+ 1

tb

ta

= ln e^z

e^z+ 1

tb

ta

(32) Damit

N = 2Amk_BT 2π~² ln

e^z e^z+ 1

∞

− ^µ

kB T

= Amk_BT π~² ln

1 +e

µ kB T

(33) Wir l¨osen nach µauf:

µ(T) = kBT ln

e

π~2N mkB T A −1

. (34)

Um die Limites k_BT _F und k_BT _F zu diskutieren schreiben wirµ als Funktion von_F. Die Fermienergie_F k¨onnen wir aus dem Grenzwert _F =µ(T →0) bestimmen (oder wie in Aufgabe 1 in 2 Dimensionen):

_F = lim

T→0k_BT ln

e ^π~

2N mkB T A −1

=. . . ⇒ _F = π~²N

mA . (35) Einsetzen in (34) liefert die Form

µ(T) =k_BT ln

e^{kB TF} −1

. (36)

Bei der Nullstelle µ= 0 muss das Argument des Logarithmus gerade gleich 1 sein, die entsprechende Temperatur ist also

T_µ=0 = _F

k_Bln 2 (37)

Wir diskutieren noch die Grenzf¨alle und skizzieren µ(T):

k_BT _F : ln

e^{kB TF} −1

= _F

k_BT + ln

1−e^{−kB TF}

≈ _F

k_BT −e^{−kB TF} µ(T)≈_F −k_BT e^{−kB TF} =_F − O

e^{−kB TF}

k_BT _F : ln

e^{kB TF} −1

≈ln

"

_F kBT + 1

2!

_F kBT

2

+. . .

#

µ(T)≈ −k_BT lnkBT _F

4. Planckverteilung und Strahlungsdruck

(13 + 12 = 25 Punkte, m¨undlich) (a) Die Verteilungsfunktion der Photonen in pro Impuls ist gerade die Boseverteilung

mit µ= 0 und Energien =c~|k|. Also

n_B(|k|) = 1

e^βc~|k|−1, (38)

was auch als Planckverteilung bezeichnet wird. Wir berechnen zun¨achst die Pho- tonendichte n(T). Die zwei m¨oglichen Polarisationsrichtungen werden mit einem Faktor 2 ber¨ucksichtigt. Die Dichte ist

n(T) = 2

Z d³k

(2π)³n_B(|k|) = 2

Z d³k (2π)³

1

e^βc~|k|−1 = 1 π²

Z ∞

0

k²dk e^βc~k−1

subs.

= k_B³T³ π²~³c³

Z ∞

0

y²dy e^y−1

note= k_B³T³ π²~³c³

∞

X

n=1

Z ∞

0

dy y²exp(−ny)

= 2k_B³T³ π²~³c³

∞

X

n=1

1

n³ (39) Mit dem zweiten Hinweis erhalten wir

n(T) = 2k³_BT³

π²~³c³ζ(3) (40)

mit der ´Apery-Konstante ζ(3), dem Wert der Riemannschen ζ-Funktion bei 3.

Was ist die Zahl der Photonenn^?, die pro Zeitintervall dt und pro Fl¨achenelement dSauf den schwarzen K¨orper auftreffen? Zun¨achst istn^? ∝dtundn^? ∝dS, der Pro- portionalit¨atsfaktor ist der Photonenfluss in z-Richtung, senkrecht zur Fl¨ache dS.

Photonen bewegen sich mit Lichtgeschwindigkeitc, die Geschwindigkeiten verteilen sich isotrop in alle Raumrichtungen. Es k¨onnen nur Photonen auf den schwarzen K¨orper auftreffen, die eine positive Geschwindigkeitskomponente inz-Richtung ha- ben, v_z >0. Wegen der Isotropie sind das gerade die H¨alfte der Photonen, Faktor 1/2. Die z-Komponent ist vz(Θ) =ccos Θ, f¨ur die mittlere (positive) Geschwindig- keit inz-Richtung ¯v_z,> integrieren wir ¨uber die positiven Werte von cos Θ

¯ v_z,> =

Z π/2

0

v_z(Θ) sin ΘdΘ =− Z π/2

0

ccos Θd(cos Θ) =−c Z 0

1

ydy= c

2 (41) Der positive Anteil des Photonenflusses ist also ¹₂ · ₂^c ·n(T) = ^{c n(T}₄ ⁾. Damit ergibt sich die gesuchte Anzahl der Photonen zu

n^? = cn(T)

4 dSdt= dSdt 4

2k³_BT³

π²~³c²ζ(3). (42) (b) Auch f¨ur den mittleren Impuls¨ubertrag ¯pgilt ¯p∝dSdt, der Proportionalit¨atsfaktor ist jetzt aber Photonenfluss mal Impuls, wobei ¨uber alle Impulse mit der Verteilung (38) integriert werden muss. Die Anzahl der Photonen mit Impulsbetrag im Intervall (k, k+dk) und Winkel (θ, θ+dθ) zwischen Impulsrichtung und z-Achse ist

2×2πk²dksinθdθ 1 (2π)³

1

e^βc~k−1 (43)

Faktor 2 wegen Polarisationsrichtungen und 2π aus Winkelintegration. Die Ge- schwindigkeit der Photonen istv_z(Θ) =ccos Θ, der Impuls¨ubertrag istp_z =~kcosθ.

Der auf den schwarzen K¨orper ¨ubertragene Impulsδp_z pro Fl¨achenelement dS und Zeitintervalldt ist also

δp_z =dSdt Z π/2

0

dθ Z ∞

0

dk

4πk²sin Θ (2π)³(e^βc~k−1)

×ccosθ×~kcosθ

= c~dS dt 2π²

Z π/2

0

sinθcos²θdθ

| {z }

=¹₃

Z ∞

0

dk k³ e^βc~k−1

| {z }

Hinw.

= kB T

c~

4 π4 15

(44)

Mit den Ergebnissen der Integrale erhalten wir δp_z = 1

2 π² 45

(k_BT)⁴

(~c)³ dSdt. (45)

Das ist gerade die H¨alfte des angegebenen Ergebnisses f¨ur den Strahlungsdruck (Dimensionen: Druck=Kraft/Fl¨ache= Impuls/(Zeit Fl¨ache))

P = π² 45

(k_BT)⁴

(~c)³ . (46)

Die andere H¨alfte des Beitrags kommt von den Photonen, die vom schwarzen K¨orper emittiert werden. Diese wurden hier nicht ber¨ucksichtigt.