Aufgabe 1: (1+1+2=4 Punkte) a) Untersuchen Sie die Reihen

LEHRSTUHL II F ¨ UR MATHEMATIK DER RHEINISCH – WESTF ¨ ALISCHEN TECHNISCHEN HOCHSCHULE AACHEN

Prof. Dr. Eberhard Triesch

Aachen, den 11.08.2004

Klausur zur Vorlesung H¨ ohere Mathematik II Herbst 2004

Aufgabe 1: (1+1+2=4 Punkte) a) Untersuchen Sie die Reihen

∞

P

n =1

a _n auf Konvergenz bzw. Divergenz. Dabei ist a _n =

i) 3n ⁿ

n (2 n ² + 4 n + 2) ⁿ ii)

n + 3 n + 4

n +1

.

b) Bestimmen Sie den Wert der Reihe

∞

X

n=1

2 ⁿ − 3 4 ⁿ .

Aufgabe 2: (1+2=3 Punkte) Bestimmen Sie die folgenden Grenzwerte:

a) lim

x →0

x tan x

sin ² x b) lim

x →0

cos x + ^x ₂

− 1 [sin x] ⁴ .

Aufgabe 3: (3+2=5 Punkte)

a) F¨uhren Sie f¨ur den Bruch 2x ³ + 8x ² + 16x + 16

x ⁴ + 6x ³ + 14x ² + 14x + 5 eine Partialbruchzerlegung durch.

b) F¨ur den Bruch 3x ³ + 2x ² + 2x + 7

x ⁴ + x ² − 6x + 4 ist die Partialbruchzerlegung 3x ³ + 2x ² + 2x + 7

x ⁴ + x ² − 6x + 4 = 2x + 3

x ² + 2x + 4 + 2

(x − 1) ² + 1 x − 1

gegeben. L¨osen Sie das Integral

β

Z

α

3 x ³ + 2 x ² + 2 x + 7

x ⁴ + x ² − 6x + 4 dx und bestimmen Sie die zul¨assigen Grenzen.

Aufgabe 4: (1.5+2.5=4 Punkte)

Gegeben sei die Kurve Γ durch die Parameterdarstellung γ(t) =





1 3 t ³ − ¹

2 t ²

1

3 t ³ + ¹ ₂ t ²



 mit t ∈ R . a) Bestimmen Sie die Bogenl¨ange L(T ) f¨ur das Parameterintervall [0 , T ] f¨ur T > 0.

b) Bestimmen Sie Radius und Mittelpunkt des Kr¨ummungskreises C Γ (γ(t 0 )) f¨ur t 0 = 1.