CornelisDullemondKapitel2:Integration ¨UbungenzurVorlesungMathematischeMethodeninderPhysik(WS2010/11)

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Ubungen zur Vorlesung ¨

Mathematische Methoden in der Physik (WS2010/11)

Cornelis Dullemond Kapitel 2: Integration

1. Berechnen Sie die folgenden unbestimmten Integrale, indem Sie die verschiedenen Tricks der Vorlesung anwenden ( keine Integral-Tabellen sind notwendig):

(a) Z

(sin x + cos x)dx (1)

(b) Z

sin(3x)dx (2)

(c) Z

xe ^x

dx (3)

(d)

Z dx

√ x + a (4)

(e)

Z x

√ x + a dx (5)

(f)

Z x

√ x ² + a dx (6) (g)

Z

sin ² xdx (7)

(h) Z

x sin xdx (8)

2. Berechnen Sie die folgenden unbestimmten Integrale, indem Sie sie in eine Form bringen, die man in der Integraltabelle finden kann:

(a)

Z 1

p 1 − x ² /a ² dx (9) (b)

Z

10 ^x sin xdx (10)

(c)

Z r x − a

x dx (11)

3. Berechnen Sie die folgenden bestimmten Integrale:

(a)

Z ⁴

2 (x − 1) ² dx (12)

(b)

Z ⁴

2

1 x − 1 dx (13)

1

(2)

4. Leiten Sie mit Hilfe der Formel eines Kreises y = √

r ² − x ² her, dass die Oberfl¨ache πr ² ist.

5. Benutzen Sie ein ¨ahnliches Verfahren um herzuleiten, dass das Volumen einer Kugel gleich ^4π ₃ r ³ ist.

2

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Mathematische Methoden in der Physik (WS2010/11)

Cornelis Dullemond Kapitel 2: Integration

1. Berechnen Sie die folgenden unbestimmten Integrale, indem Sie die verschiedenen Tricks der Vorlesung anwenden ( keine Integral-Tabellen sind notwendig):

(a) Z

(sin x + cos x)dx (1)

(b) Z

sin(3x)dx (2)

(c) Z

xe x

dx (3)

(d)

Z dx

√ x + a (4)

(e)

Z x

√ x + a dx (5)

(f)

Z x

√ x 2 + a dx (6) (g)

Z

sin 2 xdx (7)

(h) Z

x sin xdx (8)

2. Berechnen Sie die folgenden unbestimmten Integrale, indem Sie sie in eine Form bringen, die man in der Integraltabelle finden kann:

(a)

Z 1

p 1 − x 2 /a 2 dx (9) (b)

Z

10 x sin xdx (10)

(c)

Z r x − a

x dx (11)

3. Berechnen Sie die folgenden bestimmten Integrale:

(a)

Z 4

2

(x − 1) 2 dx (12)

(b)

Z 4

2

1

x − 1 dx (13)

1

4. Leiten Sie mit Hilfe der Formel eines Kreises y = √

r 2 − x 2 her, dass die Oberfl¨ache πr 2 ist.

5. Benutzen Sie ein ¨ahnliches Verfahren um herzuleiten, dass das Volumen einer Kugel gleich 4π 3 r 3 ist.

2

xe ^x

√ x ² + a dx (6) (g)

sin ² xdx (7)

p 1 − x ² /a ² dx (9) (b)

10 ^x sin xdx (10)

Z ⁴

(x − 1) ² dx (12)

Z ⁴

r ² − x ² her, dass die Oberfl¨ache πr ² ist.

5. Benutzen Sie ein ¨ahnliches Verfahren um herzuleiten, dass das Volumen einer Kugel gleich ^4π ₃ r ³ ist.