4. Digraphen mit negativen Kantengewichten 4.1 Grunds¨atzliches Betrachte Startknoten

(1)

4. Digraphen mit negativen Kantengewichten

4.1 Grunds¨ atzliches

Betrachte Startknoten s und einen Kreis C mit Gesamtl¨ ange < 0.

t t t t

t t

t - - ppppppppp -

J J

J J ^ -

Q Q Q Q Q k

+ -

s

k

₀

k

1

k

2

k

₃

k

4

1 3 2 v

1 1

1 −5 1 C

Sollte ein Pfad von s nach C und von C nach v existieren, so ist ein k¨ urzester Pfad von s nach v nicht definiert.

EADS 4.1 Grunds¨atzliches 485/530

ľErnst W. Mayr

(2)

Falls aber die Gesamtl¨ ange des Kreises C ≥ 0 ist,

t t t t

t t

- - ppppppppp - t J

J

J J ^ -

Q Q Q Q Q k

+ -

s

k

0

k

₁

k

₂

k

3

k

4

1 3 2 v

1 1 1

−3 1

dann ist der k¨ urzeste Pfad wohldefiniert. Probleme gibt es also nur dann, wenn G einen Zyklus negativer L¨ ange enth¨ alt.

ľErnst W. Mayr

(3)

Dijkstra’s Algorithmus funktioniert bei negativen Kantenl¨ angen nicht:

s

@

@ @

s v

w

3 −2

4 Bei diesem Beispielgraphen (der nicht einmal einen negativen Kreis enth¨ alt) berechnet der Dijkstra-Algorithmus die minimale

Entfernung von s nach w f¨ alschlicherweise als 3 (statt 2).

ľErnst W. Mayr

(4)

4.2 Modifikation des Bellman-Ford-Algorithmus

B

k

[i] gibt die L¨ ange eines k¨ urzesten gerichteten s-i-Pfades an, der aus h¨ ochstens k Kanten besteht. Jeder Pfad, der keinen Kreis enth¨ alt, besteht aus maximal n − 1 Kanten. In einem Graphen ohne negative Kreise gilt daher:

∀i ∈ V : B

_n

[i] ≥ B

n−1

[i]

Gibt es hingegen einen (von s aus erreichbaren) Kreis negativer L¨ ange, so gibt es einen Knoten i ∈ V , bei dem ein Pfad aus n Kanten mit der L¨ ange B

n

[i] diesen Kreis h¨ aufiger durchl¨ auft als jeder Pfad aus maximal n − 1 Kanten der L¨ ange B

n−1

[i].

Demnach gilt in diesem Fall:

B

_n

[i] < B

n−1

[i]

EADS 4.2 Modifikation des Bellman-Ford-Algorithmus 488/530

ľErnst W. Mayr

(5)

Man kann also in den Algorithmus von Bellman-Ford einen Test auf negative Kreise einbauen, indem man auch f¨ ur alle i ∈ V B

_n

[i]

berechnet und am Ende den folgenden Befehl einf¨ ugt:

for i := 1 to n do

if B

_n

[i] < B

n−1

[i] then stop

” Negativer Kreis“ fi

EADS 4.2 Modifikation des Bellman-Ford-Algorithmus 489/530

ľErnst W. Mayr

(6)

4.3 Modifikation des Floyd-Algorithmus

Falls kein negativer Kreis existiert, funktioniert der Algorithmus weiterhin korrekt.

t

t t

t

* H H

H H H j

? H H H H H Y 6 v

₁

v

₂

v

₃

v

₄

v

5

v

6

1 1

1 1 1

−6

c

⁶₁₆

= 5 = c

⁵₁₆

c

⁶₆₁

= −6 = c

⁵₆₁

c

⁶₁₁

= min{c

⁵₁₁

, c

⁵₁₆

+c

⁵₆₁

} = −1

⇒ der Graph enth¨ alt einen negativen Kreis, gdw ein c

ⁿ_ii

< 0 existiert.

EADS 4.3 Modifikation des Floyd-Algorithmus 490/530

ľErnst W. Mayr

(7)

Man kann also in den Algorithmus von Floyd einen Test auf negative Kreise einbauen, indem man am Ende den folgenden Befehl einf¨ ugt:

for i := 1 to n do if c

ⁿ_ii

< 0 then stop

” Negativer Kreis“ fi

EADS 4.3 Modifikation des Floyd-Algorithmus 491/530

ľErnst W. Mayr

(8)

4.4 Der Algorithmus von Johnson

Definition 113

Sei d : A → R eine Distanzfunktion. Eine Abbildung r : V → R

heißt Rekalibrierung, falls gilt:

(∀(u, v) ∈ A)[r(u) + d(u, v) ≥ r(v)]

Beobachtung: Sei r eine Rekalibrierung (f¨ ur d). Setze d

⁰

(u, v) := d(u, v) + r(u) − r(v). Dann gilt:

d

⁰

(u, v) ≥ 0

EADS 4.4 Der Algorithmus von Johnson 492/530

ľErnst W. Mayr

(9)

Sei u = v

₀

→ · · · → v

_k

= v ein Pfad. Dann ist:

d-L¨ ange :=

k−1

X

i=0

d(v

_i

, v

_i+1

) Demnach ist:

d

⁰

-L¨ ange =

k−1

X

i=0

d

⁰

(v

_i

, v

_i+1

)

=

k−1

X

i=0

(d(v

i

, v

i+1

) + r(v

i

) − r(v

i+1

))

=

k−1

X

i=0

d(v

_i

, v

_i+1

) + r(v

₀

) − r(v

_k

)

Also ist ein d-k¨ urzester Pfad von u (= v

₀

) nach v (= v

_k

) auch ein d

⁰

-k¨ urzester Pfad und umgekehrt. Nach einer Rekalibrierung kann man also auch die Algorithmen anwenden, die eine nichtnegative Distanzfunktion d voraussetzen (z.B. Dijkstra).

ľErnst W. Mayr

(10)

Berechnung einer Rekalibrierung:

~

z

~ 0

0 0 s

s

' s

&

$

% s

u

v w

Graph G

d : A → R

F¨ uge einen neuen Knoten s hin- zu und verbinde s mit jedem anderen Knoten v ∈ V durch eine Kante der L¨ ange 0.

Berechne sssp von s nach allen anderen Knoten v ∈ V (z.B. mit Bellman-Ford). Sei r(v) die dadurch berechnete Entfernung von s zu v ∈ V . Dann ist r eine Rekalibrierung, denn es gilt:

r(u) + d(u, v) ≥ r(v) .

ľErnst W. Mayr

(11)

5. Zusammenfassung

d ≥ 0 d allgemein

sssp D (Fibonacci): O(m + n · log n) B-F: O(n · m) D (Radix): O(m + n √

log C) apsp D: O(n · m + n

²

min{log n, √

log C}) J: O(n · m + n

²

log n)

F: O(n

³

)

^(∗)

F: O(n

³

)

Bemerkung

^(∗)

: In der Praxis ist der Floyd-Algorithmus f¨ ur kleine n besser als Dijkstra’s Algorithmus.

ľErnst W. Mayr

(12)

6. Transitive H¨ ulle

6.1 Min-Plus-Matrix-Produkt und Min-Plus-Transitive H¨ ulle Ring Z (+ , ×)

% -

Gruppe Halbgruppe

Semiring N (+, ×)

% -

Halbgruppe Halbgruppe Wir betrachten den (kommutativen) Semiring ¨ uber R ∪ {∞} mit den Operationen min und +. F¨ ur jede der beiden Operationen haben wir ein Monoid. Es gilt das Distributivgesetz

a + min{b, c} = min{a + b, a + c}.

Normale Matrixmultiplikation:

A = (a

ij

)

1≤i,j≤n

, B = (b

ij

)

1≤i,j≤n

, I = (δ

ij

)

1≤i,j≤n

C = A · B = (c

_ij

)

1≤i,j≤n

, c

_ij

=

n

X

k=1

a

_ik

· b

_kj

EADS 6.1 Min-Plus-Matrix-Produkt und Min-Plus-Transitive H¨ulle 496/530 ľErnst W. Mayr

(13)

Entsprechend f¨ ur Min-Plus:

c

_ij

= min{a

_ik

+ b

_kj

; 1 ≤ k ≤ n}

r r

r r r r

XX XX

X X

X X X X X X

H H H H H H

Z Z Z Z Z Z .. .

v

i

u

_n

w

j

u

₁

u

2

a

_ik

= d(v

_i

, u

_k

) b

_kj

= d(u

_k

, w

j

)

(14)

Anwendung:

k¨ urzeste Wege von v

_i

nach w

_j

in einem Graph (A = B); dabei ist

I

min,+

=







0 ∞

. ..

∞ 0







(15)

Sei A Entfernungsmatrix, A = (a

_ij

)

1≤i,j≤n

= (d(v

_i

, v

_j

))

1≤i,j≤n

. Setze a

ii

= 0 f¨ ur i = 1, . . . , n.

Betrachte A

²

mit dem Min-Plus-Produkt, A

²

=: (a

⁽²⁾_ij

)

1≤i,j≤n

. Dann ist a

⁽²⁾_ij

die L¨ ange eines k¨ urzesten Pfades von v

_i

nach v

_j

, der h¨ ochstens zwei Kanten enth¨ alt. Induktion ergibt: a

^(k)_ij

ist die L¨ ange eines k¨ urzesten Pfades von v

i

nach v

j

mit h¨ ochstens k Kanten.

Falls die d(v

_i

, v

_j

) alle ≥ 0 sind, gibt es immer k¨ urzeste Pfade, die h¨ ochstens n − 1 Kanten enthalten.

(16)

Damit ergibt sich folgende alternative L¨ osung des all-pairs-shortest-path-Problems:

Berechne A

ⁿ⁻¹

(Min-Plus)!

Es gen¨ ugt auch, A

²^dlog(n−1)e

durch wiederholtes Quadrieren zu berechnen (nicht A

²

, A

³

, A

⁴

, . . . ).

Definition 114

A

^∗

:= min

i≥0

{A

ⁱ

} heißt Min-Plus-Transitive H¨ ulle.

Bemerkung: min wird komponentenweise gebildet. Wenn d ≥ 0, dann A

^∗

= A

ⁿ⁻¹

.

(17)

6.2 Boolesche Matrixmultiplikation und Transitive H¨ ulle Wir ersetzen nun im vorhergehenden Abschnitt die Distanzmatrix durch die (boolesche) Adjazenzmatrix und (min, +) durch (∨, ∧), d.h.:

C = A · B; c

ij

=

n

_

k=1

a

_ik

∧ b

_kj

Wenn wir zudem a

ii

= 1 f¨ ur 1 ≤ i ≤ n setzen, dann gilt f¨ ur A

^k

(boolesches Produkt, A

⁰

= I )

a

ij

=



 



 



1 falls es im Graphen einen Pfad von v

i

nach v

j

, bestehend aus ≤ k Kanten gibt

0 falls es im Graphen keinen Pfad von v

_i

nach v

_j

, bestehend aus ≤ k Kanten gibt

EADS 6.2 Boolesche Matrixmultiplikation und Transitive H¨ulle 501/530 ľErnst W. Mayr

(18)

Transitive H¨ ulle:

A

^∗

:= _

i≥0

A

ⁱ

(= A

ⁿ⁻¹

)

ist damit die Adjazenzmatrix der transitiven H¨ ulle des zugrunde liegenden Digraphen.

(19)

Satz 115

Sei M (n) die Zeitkomplexit¨ at f¨ ur das boolesche Produkt zweier n × n-Matrizen, T (n) die Zeitkomplexit¨ at f¨ ur die transitive H¨ ulle einer n × n booleschen Matrix.

Falls T (3n) ≤ cT (n)

| {z }

sicher erf¨ullt, falls T polynomiell

und M (2n) ≥ 4M (n)

| {z }

sicher erf¨ullt, falls M(n)≥n²

, dann gilt:

T(n) = Θ(M (n)) .

(20)

Beweis:

(1) Matrixmultiplikation ≺ transitive H¨ ulle:

Seien boolesche Matrizen A, B gegeben und ihr boolesches Produkt C = A · B gesucht.

Setze:

L =





0 A 0

0 0 B

0 0 0





| {z }

3n







3n

(21)

Beweis (Forts.):

L ist die Adjazenzmatrix eines tripartiten Digraphen, denn:

v u w v 0 A 0 u 0 0 B w 0 0 0

r r r

v

_n

v

1

u

_n

u

1

w

_n

w

1

v u w

A B

.. . .. . .. .

- * XX XX X X z :

Daher kann L

^∗

leicht bestimmt werden:

L

^∗

=





I A AB

0 I B

0 0 I



 (= I ∨ L ∨ L

²

) Also gilt: M (n) ≤ T (3n) = O(T (n)).

(22)

Beweis (Forts.):

(2) Transitive H¨ ulle ≺ Matrixmultiplikation:

Gegeben: n × n boolesche Matrix L; gesucht: L

^∗

; Annahme: n ist Zweierpotenz. Teile auf:

L =

A B C D

}

ⁿ₂

}

ⁿ₂

; L

^∗

=

E F G H

|{z}

n 2

|{z}

n 2

Es gilt also:

E = (A ∨ BD

^∗

C)

^∗

betrachte alle Pfade von der ersten H¨ alfte der Knoten zur ersten H¨ alfte

F = EBD

^∗

analog

G = D

^∗

CE analog

H = D

^∗

∨ GF analog

(23)

Beweis (Forts.):

Um L

^∗

zu berechnen, ben¨ otigen wir zwei

Transitive-H¨ ulle-Berechnungen und sechs Matrixprodukte f¨ ur Matrizen der Dimension

ⁿ₂

×

ⁿ₂

(n¨ amlich M

1

= D

^∗

C, M

2

= BM

1

, M

3

= EB , M

4

= M

3

D

^∗

, M

5

= M

1

E, M

6

= GF ), plus den Aufwand f¨ ur ∨, der ≤ c

⁰

n

²

ist. Wir zeigen nun durch Induktion (n = 1 √

), dass T (n) ≤ cM (n):

T (n) ≤ 2T (

ⁿ₂

) + 6M (

ⁿ₂

) + c

⁰

n

²

≤ 2cM (

ⁿ₂

) + 6M (

ⁿ₂

) + c

⁰

n

²

|Vor.: M (2n) ≥ 4M(n)

| da M (n) ≥ n

²

≤

¹₄

(2c + 6 + 4c

⁰

)M(n)

≤ cM (n)

falls c ≥

¹₄

(2c + 6 + 4c

⁰

), also falls c ≥ 3 + 2c

⁰

. Also T (n) = O(M (n)).