8.4 Digraphen mit negativen Kantengewichten 8.4.1 Grunds¨atzliches Betrachte Startknoten s und einen Kreis C mit Gesamtl¨ange < 0.

(1)

8.4 Digraphen mit negativen Kantengewichten 8.4.1 Grunds¨ atzliches

Betrachte Startknoten s und einen Kreis C mit Gesamtl¨ ange < 0.

t t t t

t t

- - ppppppppp - t J

J

J J ^ -

Q Q Q Q Q k

+ -

s

k ₀

k ₁ k ₂

k ₃ k 4

1 3 2 v

1 1 1

−5 1 C

Sollte ein Pfad von s nach C und von C nach v existieren, so ist ein k¨ urzester Pfad von s nach v nicht definiert.

ADS-EI 8.4 Digraphen mit negativen Kantengewichten 441/451

ľErnst W. Mayr

(2)

Falls aber die Gesamtl¨ ange des Kreises C ≥ 0 ist,

t t t t

t t

- - ppppppppp - t J

J

J J ^ -

Q Q Q Q Q k

+ -

s

k ₀

k ₁ k ₂

k ₃ k 4

1 3 2 v

1 1 1

−3 1

dann ist der k¨ urzeste Pfad (der dann o.B.d.A. als kreisfrei

genommen werden kann) wohldefiniert. Probleme gibt es also nur

dann, wenn G einen Zyklus negativer L¨ ange enth¨ alt.

(3)

Dijkstra’s Algorithmus funktioniert bei negativen Kantenl¨ angen nicht:

s

-

@

@ @ I

s v

w

3 −2

4 Bei diesem Beispielgraphen (der nicht einmal einen negativen Kreis enth¨ alt) berechnet der Dijkstra-Algorithmus die minimale

Entfernung von s nach w f¨ alschlicherweise als 3 (statt 2).

ľErnst W. Mayr

(4)

8.4.2 Modifikation des Bellman-Ford-Algorithmus

B k [i] gibt die L¨ ange eines k¨ urzesten gerichteten s-i-Pfades an, der aus h¨ ochstens k Kanten besteht. Jeder Pfad, der keinen Kreis enth¨ alt, besteht aus maximal n − 1 Kanten. In einem Graphen ohne negative Kreise gilt daher:

∀i ∈ V : B _n [i] = B n−1 [i]

Gibt es hingegen einen (von s aus erreichbaren) Kreis negativer L¨ ange, so gibt es einen Knoten i ∈ V , bei dem ein Pfad aus n Kanten mit der L¨ ange B n [i] diesen Kreis h¨ aufiger durchl¨ auft als jeder Pfad aus maximal n − 1 Kanten der L¨ ange B n−1 [i].

Demnach gilt in diesem Fall:

B _n [i] < B n−1 [i]

(5)

Man kann also in den Algorithmus von Bellman-Ford einen Test auf negative Kreise einbauen, indem man auch f¨ ur alle i ∈ V B _n [i]

berechnet und am Ende den folgenden Befehl einf¨ ugt:

for i := 1 to n do

if B _n [i] < B n−1 [i] then stop

” Negativer Kreis“ fi

ľErnst W. Mayr

(6)

8.4.3 Modifikation des Floyd-Algorithmus

Falls kein negativer Kreis existiert, funktioniert der Algorithmus weiterhin korrekt.

t

t t

t

* H H

H H H j

? H H H H H Y 6 v ₁

v ₂

v ₃

v ₄ v 5

v 6

1 1

1 1 1

−6

c ⁶ ₁₆ = 5 = c ⁵ ₁₆ c ⁶ ₆₁ = −6 = c ⁵ ₆₁

c ⁶ ₁₁ = min{c ⁵ ₁₁ , c ⁵ ₁₆ +c ⁵ ₆₁ } = −1

⇒ der Graph enth¨ alt einen negativen Kreis, gdw ein c ⁿ _ii < 0

existiert.

(7)

Man kann also in den Algorithmus von Floyd einen Test auf negative Kreise einbauen, indem man am Ende den folgenden Befehl einf¨ ugt:

for i := 1 to n do if c ⁿ _ii < 0 then stop

” Negativer Kreis“ fi

ľErnst W. Mayr

(8)

8.4.4 Der Algorithmus von Johnson Definition 197

Sei d : A → R ∪ {+∞} eine Distanzfunktion. Eine Abbildung r : V → R

heißt Rekalibrierung, falls gilt:

(∀(u, v) ∈ A)[r(u) + d(u, v) ≥ r(v)]

Beobachtung: Sei r eine Rekalibrierung (f¨ ur d). Setze d ⁰ (u, v) := d(u, v) + r(u) − r(v). Dann gilt:

d ⁰ (u, v) ≥ 0

(9)

Sei u = v ₀ → · · · → v _k = v ein Pfad. Dann ist:

d-L¨ ange :=

k−1

X

i=0

d(v _i , v _i+1 ) Demnach ist:

d ⁰ -L¨ ange =

k−1

X

i=0

d ⁰ (v _i , v _i+1 )

=

k−1

X

i=0

(d(v i , v i+1 ) + r(v i ) − r(v i+1 ))

=

k−1

X

i=0

d(v _i , v _i+1 ) + r(v ₀ ) − r(v _k )

Also ist ein d-k¨ urzester Pfad von u (= v ₀ ) nach v (= v _k ) auch ein d ⁰ -k¨ urzester Pfad und umgekehrt. Nach einer Rekalibrierung kann man also auch die Algorithmen anwenden, die eine nichtnegative Distanzfunktion d voraussetzen (z.B. Dijkstra).

ľErnst W. Mayr

(10)

Berechnung einer Rekalibrierung:

~

z

~ 0

0 0 s

s

' s

&

$

% s

u

v w

Graph G

d:A→R∪ {+∞}

F¨ uge einen neuen Knoten s hin- zu und verbinde s mit jedem an- deren Knoten v ∈ V durch eine Kante der L¨ ange 0.

Berechne sssp von s nach allen anderen Knoten v ∈ V (z.B. mit Bellman-Ford). Sei r(v) die dadurch berechnete Entfernung von s zu v ∈ V . Dann ist r eine Rekalibrierung, denn es gilt:

r(u) + d(u, v) ≥ r(v) .

(11)

8.5 Zusammenfassung

d ≥ 0 d allgemein

sssp D (Fibonacci): O(m + n · log n) B-F: O(n · m)

apsp D: O(nm + n

²

log n) J: O(n · m + n

²

log n)

F: O(n

³

)

^(∗)

F: O(n

³

)

Bemerkung ^(∗) : In der Praxis ist der Floyd-Algorithmus f¨ ur kleine n besser als Dijkstra’s Algorithmus.

ADS-EI 8.5 Zusammenfassung 451/451

ľErnst W. Mayr

8.4 Digraphen mit negativen Kantengewichten 8.4.1 Grunds¨atzliches Betrachte Startknoten s und einen Kreis C mit Gesamtl¨ange < 0.

8.4 Digraphen mit negativen Kantengewichten 8.4.1 Grunds¨ atzliches

Betrachte Startknoten s und einen Kreis C mit Gesamtl¨ ange < 0.

t t t t

t t

t t

- - ppppppppp - t J

J

J J ^ -

Q Q Q Q Q k

+ -

s

k 0

k 1 k 2

k 3 k 4

1 3 2 v

1

1 1

−5 1 C

Sollte ein Pfad von s nach C und von C nach v existieren, so ist ein k¨ urzester Pfad von s nach v nicht definiert.

Falls aber die Gesamtl¨ ange des Kreises C ≥ 0 ist,

t t t t

t t

t t

- - ppppppppp - t J

J

J J ^ -

Q Q Q Q Q k

+ -

s

k 0

k 1 k 2

k 3 k 4

1 3 2 v

1

1 1

−3 1

dann ist der k¨ urzeste Pfad (der dann o.B.d.A. als kreisfrei

genommen werden kann) wohldefiniert. Probleme gibt es also nur

dann, wenn G einen Zyklus negativer L¨ ange enth¨ alt.

Dijkstra’s Algorithmus funktioniert bei negativen Kantenl¨ angen nicht:

s

s

s

-

@

@

@

@ @ I

s v

w

3 −2

4

Bei diesem Beispielgraphen (der nicht einmal einen negativen Kreis enth¨ alt) berechnet der Dijkstra-Algorithmus die minimale

Entfernung von s nach w f¨ alschlicherweise als 3 (statt 2).

8.4.2 Modifikation des Bellman-Ford-Algorithmus

B k [i] gibt die L¨ ange eines k¨ urzesten gerichteten s-i-Pfades an, der aus h¨ ochstens k Kanten besteht. Jeder Pfad, der keinen Kreis enth¨ alt, besteht aus maximal n − 1 Kanten. In einem Graphen ohne negative Kreise gilt daher:

∀i ∈ V : B n [i] = B n−1 [i]

Gibt es hingegen einen (von s aus erreichbaren) Kreis negativer L¨ ange, so gibt es einen Knoten i ∈ V , bei dem ein Pfad aus n Kanten mit der L¨ ange B n [i] diesen Kreis h¨ aufiger durchl¨ auft als jeder Pfad aus maximal n − 1 Kanten der L¨ ange B n−1 [i].

Demnach gilt in diesem Fall:

B n [i] < B n−1 [i]

Man kann also in den Algorithmus von Bellman-Ford einen Test auf negative Kreise einbauen, indem man auch f¨ ur alle i ∈ V B n [i]

berechnet und am Ende den folgenden Befehl einf¨ ugt:

for i := 1 to n do

if B n [i] < B n−1 [i] then stop

” Negativer Kreis“ fi

8.4.3 Modifikation des Floyd-Algorithmus

Falls kein negativer Kreis existiert, funktioniert der Algorithmus weiterhin korrekt.

t

t

t

t t

t

* H H

H H H j

? H H H H H Y 6 v 1

v 2

v 3

v 4 v 5

v 6

k ₀

k ₁ k ₂

k ₃ k 4

k ₀

k ₁ k ₂

k ₃ k 4

∀i ∈ V : B _n [i] = B n−1 [i]

B _n [i] < B n−1 [i]

Man kann also in den Algorithmus von Bellman-Ford einen Test auf negative Kreise einbauen, indem man auch f¨ ur alle i ∈ V B _n [i]

if B _n [i] < B n−1 [i] then stop

? H H H H H Y 6 v ₁

v ₂

v ₃

v ₄ v 5

c ⁶ ₁₆ = 5 = c ⁵ ₁₆ c ⁶ ₆₁ = −6 = c ⁵ ₆₁

c ⁶ ₁₁ = min{c ⁵ ₁₁ , c ⁵ ₁₆ +c ⁵ ₆₁ } = −1

⇒ der Graph enth¨ alt einen negativen Kreis, gdw ein c ⁿ _ii < 0

for i := 1 to n do if c ⁿ _ii < 0 then stop

Beobachtung: Sei r eine Rekalibrierung (f¨ ur d). Setze d ⁰ (u, v) := d(u, v) + r(u) − r(v). Dann gilt:

d ⁰ (u, v) ≥ 0

Sei u = v ₀ → · · · → v _k = v ein Pfad. Dann ist:

d(v _i , v _i+1 ) Demnach ist:

d ⁰ -L¨ ange =

d ⁰ (v _i , v _i+1 )

d(v _i , v _i+1 ) + r(v ₀ ) − r(v _k )

Also ist ein d-k¨ urzester Pfad von u (= v ₀ ) nach v (= v _k ) auch ein d ⁰ -k¨ urzester Pfad und umgekehrt. Nach einer Rekalibrierung kann man also auch die Algorithmen anwenden, die eine nichtnegative Distanzfunktion d voraussetzen (z.B. Dijkstra).

Bemerkung ^(∗) : In der Praxis ist der Floyd-Algorithmus f¨ ur kleine n besser als Dijkstra’s Algorithmus.