Grenzwerte von Funktionen

Vorlesung 7

Grenzwerte von Funktionen

Es werden verschiedene Konvergenzbegriffe für Funktionenf W X !Leingeführt, wobeiX Keine Teilmenge ist undK,L2 fR;Cgvorgegebene Körper sind.

Häufungspunkte und abgeschlossene Mengen. 1. Ein Punkt x0 2 K wird als HäufungspunktvonXbezeichnet, wenn für jedesı > 0einx 2Xmit0 < jx x0j ı existiert, das heißt, eine Folge.xk/inXn fx0gexistiert, für die limk!1xk Dx0gilt.

2. Ein Punktx0 2X heißtisolierter Punkt, wenn erkeinHäufungspunkt vonX ist.

3. Die Menge X heißt abgeschlossen, wenn X die Menge aller Häufungspunkte vonX enthält.

Innere Punkte und offene Mengen. 1. Ein Punkt x0 2 X heißt innerer Punkt vonX, wenn es einı > 0gibt, so daß jedesx 2Kmitjx x0j< ıinXliegt.

2. Jeder innere Punktx0 2X ist ein Häufungspunkt vonX.

3. Die MengeXheißtoffen, wenn jedesx0 2X ein innerer Punkt vonX ist.

Konvergenz vom Typx !x0. SindX Keine Teilmenge,x0 2Kein Häufungs- punkt vonX,y0 2Lsowief WX !Leine Funktion, dann gilt die Äquivalenz:

1. Für jedes " > 0existiert einı > 0, so daß für alle x 2 X mit0 < jx x0j ı stetsjf .x/ y0j "gilt.

2. Für jede Folge.xk/inXn fx0gmit limk!1xk Dx0 gilt limk!1f .xk/Dy0. In diesem Falle sagt man, daßf fürx !x0 gegen den Grenzwerty0 konvergiertund schreibt limx!x0f .x/Dy0oder limx!x0jf .x/ y0j D0.

Man beachte, daß die Konvergenzbedingungen weder davon abhängen, ob f im Punkt x0 2 K definiert ist oder nicht, das heißt, obx0 2 X oderx0 … X gilt, noch vom Wertf .x0/2Lim Fallex02 Xabhängen.

Einseitige Konvergenz vom Typx #x0. SeienX Reine Teilmenge,x0 2 Rein Häufungspunkt vonX \x0;1Œ, y0 2 L sowief W X ! L eine Funktion derart, daß für jedes" > 0einı > 0existiert, so daß für allex2 Xmitx0< x x0Cıstets jf .x/ y0j "gilt.

Dann spricht man davon, daß f für x # x0 gegen den rechtsseitigen Grenzwert y0

konvergiertund schreibt limx#x0f .x/Dy0oder limx#x0jf .x/ y0j D0.

Einseitige Konvergenz vom Typx "x0. SeienX Reine Teilmenge,x0 2 Rein Häufungspunkt vonX \ 1; x0Œ,y0 2 Lsowief W X !Leine Funktion derart, daß für jedes" > 0einı > 0existiert, so daß für allex2 Xmitx0 ıx < x0stets jf .x/ y0j "gilt.

Dann sagt man, daßf fürx " x0 gegen den linksseitigen Grenzwerty0 konvergiert und schreibt limx"x0f .x/Dy0 oder limx"x0jf .x/ y0j D0.

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Konvergenz vom Typx ! 1. SeienX Reine nach oben unbeschränkte Teil- menge,y0 2Lsowief WX !Leine Funktion derart, daß für jedes" > 0einb 2 R existiert, so daß für allex2 Xmitx bstetsjf .x/ y0j "gilt.

Dann spricht man davon, daß f fürx ! 1gegen den Grenzwert y0 konvergiert und schreibt limx!1f .x/Dy0 oder limx!1jf .x/ y0j D0.

Konvergenz vom Typ x ! 1. Seien X R eine nach unten unbeschränkte Teilmenge,y0 2 Lsowief W X ! L eine Funktion derart, daß für jedes" > 0ein a2Rexistiert, so daß für allex 2X mitx astetsjf .x/ y0j "gilt.

Dann sagt man, daß f für x ! 1 gegen den Grenzwert y0 konvergiert und schreibt limx! 1f .x/Dy0oder limx! 1jf .x/ y0j D0.

Bestimmte Divergenz vom Typx !x0. SeienX Keine Teilmenge,x0 2 Kein Häufungspunkt vonXsowief WX !Reine Funktion.

1. Gibt es für jedes c 2 Reinı > 0, so daß für alle x 2 X mit0 < jx x0j ı stetsf .x/ c gilt, dann spricht man davon, daß f fürx ! x0 gegen1strebt und schreibt limx!x0f .x/D 1.

2. Existiert für jedesc 2 Reinı > 0, so daß für alle x 2 X mit0 < jx x0j ı stetsf .x/ c gilt, dann sagt man, daßf fürx ! x0 gegen 1strebtund schreibt limx!x₀f .x/D 1.

Bestimmte Divergenz vom Typx # x₀. Seien X Reine Teilmenge, x0 2 Rein Häufungspunkt vonX\x0;1Œsowief WX !Reine Funktion.

1. Gibt es für jedesc 2Reinı > 0, so daß für allex 2X mitx0 < x x0Cıstets f .x/cgilt, dann spricht man davon, daßf fürx #x0gegen1strebtund schreibt limx#x0f .x/D 1.

2. Existiert für jedesc 2 Reinı > 0, so daß für allex 2 X mitx0 < x x0Cı stetsf .x/ c gilt, dann sagt man, daßf fürx # x0 gegen 1 strebtund schreibt limx#x0f .x/D 1.

Bestimmte Divergenz vom Typx " x0. Seien X Reine Teilmenge, x0 2 Rein Häufungspunkt vonX\ 1; x0Œsowief WX !Reine Funktion.

1. Gibt es für jedesc 2Reinı > 0, so daß für allex 2X mitx0 ıx < x0stets f .x/cgilt, dann spricht man davon, daßf fürx "x0gegen1strebtund schreibt limx"x0f .x/D 1.

2. Existiert für jedesc 2 Reinı > 0, so daß für alle x 2 X mitx0 ı x < x0

stetsf .x/ c gilt, dann sagt man, daßf fürx " x0 gegen 1 strebtund schreibt limx"x0f .x/D 1.

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Bestimmte Divergenz vom Typ x ! 1. Seien X R eine nach oben unbe- schränkte Teilmenge sowief WX !Reine Funktion.

1. Gibt es für jedes c 2 R ein b 2 R, so daß für alle x 2 X mit x b stets f .x/ c gilt, dann spricht man davon, daß f für x ! 1 gegen 1 strebt und schreibt limx!1f .x/D 1.

2. Existiert für jedes c 2 R ein b 2 R, so daß für alle x 2 X mit x b stets f .x/ c gilt, dann sagt man, daß f für x ! 1 gegen 1 strebt und schreibt limx!1f .x/D 1.

Bestimmte Divergenz vom Typ x ! 1. Seien X R eine nach unten unbe- schränkte Teilmenge sowief WX !Reine Funktion.

1. Gibt es für jedes c 2 R ein a 2 R, so daß für alle x 2 X mit x a stets f .x/ c gilt, dann spricht man davon, daß f für x ! 1 gegen 1 strebt und schreibt limx! 1f .x/D 1.

2. Existiert für jedes c 2 R ein a 2 R, so daß für alle x 2 X mit x a stets f .x/ c gilt, dann sagt man, daß f für x ! 1 gegen 1 strebt und schreibt limx! 1f .x/D 1.

Rechenregeln. Zu den Konvergenzbegriffen vom Typ x # x0 oder x " x0 oder x ! ˙1 und zu den bestimmten Divergenzbegriffen gelten entsprechende Bemer- kungen zur Terminologie und Äquivalenz der Formulierung in der Folgensprache.

Ferner gelten zu allen Konvergenz- bzw. bestimmten Divergenzbegriffen von Funk- tionen Rechenregeln analog zu denen von Zahlenfolgen.

Treppenfunktionen und regulierte Funktionen. Seia; bŒ Rein beschränktes oder unbeschränktes Intervall undf WŒa; b!Leine Funktion.

1. Man bezeichnetf alseinfacheoderTreppenfunktion, wenn es eine endliche Folge aDy0 < y1 < < ym 1 < ym Db von Punkten ausŒa; bgibt, so daß f für jedes k2 f1; : : : ; mgjeweils auf dem offenen Intervallyk 1; ykŒkonstant ist.

2. Man nennt f eine regulierte Funktion, wenn f sowohl für jedesx0 2 Œa; bŒ für x #x0 gegen einen rechtsseitigen Grenzwert als auch für jedesx0 2a; bfürx " x0

gegen einen linksseitigen Grenzwert konvergiert.

3. Sei das oben vorgegebene Intervall Œa; b Rbeschränkt. Die Funktion f ist genau dann reguliert, wenn eine Folge.fn/von Treppenfunktionen fn W Œa; b ! L existiert, die gleichmäßig gegenf konvergiert.