Allgemein gelten folgende Gesetze:

Allgemein gelten folgende Gesetze:

Zeitverlauf sinusförmig Zeitverlauf beliebig Bauelementegleichungen

ܷ

ோ

= ܴ ή ܫ

ோ

ܷ

௅

= ݆߱ܮ ή ܫ

௅

ܫ

஼

= ݆߱ܥ ή ܷ

஼

ݑ

ோ

(ݐ) = ܴ ή ݅

ோ

(ݐ) ݑ

௅

(ݐ) = ܮ ή ݀݅

_௅

(ݐ)

݀ݐ

݅

௖

(ݐ) = ܥ ή ݀ݑ

஼

(ݐ)

݀ݐ Reelle Fourier-Reihe: (x= ɘ

1

t)

݂(ݔ) = ෍[ܽ

௡

cos(݊ݔ) + ܾ

௡

sin(݊ݔ)]

ஶ

Ɏ -Periodisch:

௡ୀ଴

ܽ

_଴

= 1

2ߨ න

^{௫బାଶగ}

݂(ݔ)݀ݔ

௫బ

ܽ

௡

= 1

ߨ න

^{௫బାଶగ}

݂(ݔ) cos(݊ݔ)݀ݔ

௫బ

ܾ

௡

= 1

ߨ න

^{௫బାଶగ}

݂(ݔ) sin(݊ݔ)݀ݔ

௫బ

Periodisch:

ܽ

଴

= 1

ܶ න

^௧బା்

݂(ݐ)݀ݐ

௧బ

ܽ

௡

= 2

ܶ න

^௧బା்

݂(ݐ) cos(݊߱

ଵ

ݐ)݀ݐ

௧బ

ܾ

௡

= 2

ܶ න

^௧బା்

݂(ݐ) sin(݊߱

ଵ

ݐ)݀ݐ

௧బ

߱ = 2ߨ

ܶ = 2ߨ݂ ; ݐ

ܶ = ߮

2ߨ ; ߮ = ߱ݐ Amplitude der n-ten Harmonischen:

A

୬

= 2A Ɏ ή

sin(nɔ)

n ɔ = Ɏ ή t

୧

T Betrags- und Nullphasenwinkel:

݂(ݔ) = ෍

^ஶ

ܤ

௡

sin(݊ݔ + ߮

௡

)

ܤ

௡

= sin ߮

௡

= ܽ

௡ ௡ୀ଴

ܤ

௡

= cos ߮

௡

= ܾ

௡

ܤ

௡

= ඥܽ

௡ଶ

+ ܾ

௡ଶ

߮

௡

= ൞ ܽݎܿݐܽ݊ ܽ

௡

ܾ

௡

݂݈݈ܽݏ ܾ

௡

> 0

ܽݎܿݐܽ݊ ܽ

௡

ܾ

௡

± ߨ ܾ

௡

< 0 Komplexe Normalform der Fourier-Reihe:

݂(ݐ) = ෍ ܿ

௡

݁

^௝௡ఠ௧

ାஶ

ିஶ

ܿ

௡

= 1

ܶ න ݂(ݐ)݁

^{் ି௝ఠ௧}

݀ݐ

଴

ܿ

௡

= ܽ

_௡

െ ݆ܾ

_௡

2 ܿ

௡כ

= ܽ

_௡

+ ݆ܾ

_௡

2 ܿ

଴

= ܽ

_଴

ܽ

௡

= ܿ

௡

+ ܿ

௡כ

ܾ

௡

= ݆൫ܿ

௡

െ ܿ

௡כ

൯ ܽ

଴

= 2ܿ 2

଴

݁

^௝ఈ

= cos ߙ + ݆ sin ߙ ݁

^ି௝ఈ

= cos ߙ െ ݆ sin ߙ cos ߙ = 1

2 (݁

^௝ఈ

+ ݁

^ି௝ఈ

) sin ߙ = 1

2݆ (݁

^௝ఈ

െ ݁

^ି௝ఈ

) ܣ

_ଵ

cos(߱ݐ + ߮

_ଵ

) = ܿ

ଵ

݁

^௝ఠ௧

+ ܿ

_ିଵ

݁

^ି௝ఠ௧

ܣ

ଶ

cos(2߱ݐ + ߮

ଶ

) = ܿ

ଶ

݁

^௝ଶఠ௧

+ ܿ

ିଶ

݁

^{ି௝ଶఠ௧}

Symmetrieeigenschaften:

gerade f(x)=f(-x)

ܾ

௡

= 0

ܿ

௡

= ܽ

௡

2

Ungerade f(x)=-f(-x)

ܽ

௡

= 0

ܿ

௡

= െ݆ ܾ

௡

2

Halbwellensymmetrie f(x)=-f(x+

Ɏ

)

ܽ

଴

= 0

ܽ

௡

= ܾ

௡

= 0 ݂üݎ ݊ = 2,4,5,6,8, ….

ܿ

௡

= ܽ

௡

െ ݆ܾ

௡

2 (݊ = 1,2,3,5,7, … )

݂

௚

ή ݂

௚

= ݂

௚

݂

௨

ή ݂

௨

= ݂

௚

݂

௚

ή ݂

௨

= ݂

௨

Umrechnung von Fourier-Koeffizienten:

Gerade und ungerade Anteile:

݂

ீ

(ݔ) = 0,5 ή [݂(ݔ) + ݂(െݔ)] ݂

௨

= 0,5 ή [݂(ݔ) െ ݂(െݔ)]

Arithmetischer Mittelwert: (Gleichanteil, DC-Komponente) ݑ(ݐ) = ܷ = 1

ܶ න

^௧బା்

ݑ(ݐ)݀ݐ

௧బ

= ܽ

଴

= ܤ

଴

= ܿ

଴

Effektivwert U

eff

, U

rms

:

ܷ

_௘௙௙

= ܷ = ඨ 1

ܶ න

^௧బା்

ݑ

^ଶ

(ݐ)݀ݐ

௧బ

= ඩܤ

_଴^ଶ

+ 1 2 ෍ ܤ

^௡ଶ

ஶ

௡ୀଵ

ܷ

௘௙௙

= ܷ = ඩ 1

ܶ න ൭෍ ܤ

௡

sin(݊߱

ଵ

ݐ + ߮

௡

)

ஶ

௡ୀ଴

൱

ଶ ௧బା்

݀ݐ

௧బ

= ඩ ܷ

²

+ ෍

λ

ܷ

݊2

݊=1

ܽ

_଴

= ܤ

_଴

= ܷ ܤ

_௡

= ܷ෡

_௡

= ξ2 ή ܷ

௡

ܤ

_ଵ

=ෝ ܷ෡

_ଵ

ܤ

_ଶ

=ෝ ܷ෡

_ଶ

Welligkeit:

ݓ = ܷ

_~௘௙௙

ݑ(ݐ) = ඥσ

ஶ

ܷ

௡ଶ

௡ୀଵ

ݑ(ݐ)

= ටܷ

௘௙௙ଶ

െ ܷ

^ଶ

ܷ

Klirrfaktor, Klirrdämpfung a

k

:

࢘ࢋ࢏࢔ࢋ࢙࢘࢏࢔/ࢉ࢕࢙(࢑ = ૙); ૙ ൑ ࢑ ൑ ૚

݇ = ඨ σ

^ஶ_௡ୀଶ

ܷ

_௡^ଶ

σ

ஶ

ܷ

௡ଶ

௡ୀଵ

= ඩ ܷ

௘௙௙ଶ

െ ܷ

^ଶ

െ ܷ

ଵଶ

ܷ

_௘௙௙^ଶ

െ ܷ

^ଶ

ܽ

௞

= 20݀ܤ ή ݈݃ ൬ 1

݇ ൰ = െ20݀ܤ ή ݈݃݇

Aus Nachrichtentechnik:

݇

௜

= ܷ

௜

ඥσ

ஶ

ܷ

௡ଶ

௡ୀଵ

Wirkleistung P:

ܲ = 1

ܶ න ݑ

^்

(ݐ) ή ݅(ݐ) ݀ݐ

଴

ܲ = ܷ ή ܫ + ෍ ܷ

௡

ܫ

௡

cos ߮

௨௜௡

ஶ

௡ୀଵ

Scheinleistung S:

ܵ = ܷ

_௘௙௙

ή ܫ

_௘௙௙

= ܷ ή ܫ ܵ = ඩ൭ܷ

^ଶ

+ ෍ ܷ

_௡^ଶ

ஶ

௡ୀଵ

൱ ൭ܫ

^ଶ

+ ෍ ܫ

_௡^ଶ

ஶ

௡ୀଵ

൱

Blindleistung Q:

ܳ = ෍ ܷ

௡

ܫ

௡

sin ߮

௨௜௡

ஶ

௡ୀଵ

Verzerrungs-Blindleistung D:

ܦ² = ܵ² െ ܲ

^ଶ

െ ܳ²

ܦ² = ෍ ෍ ܷ

௡ଶ

ܫ

௠ଶ

+ ܷ

௠ଶ

ܫ

௡ଶ

െ 2ܷ

௡

ܷ

௠

ܫ

௡

ܫ

௠

cos(߮

௨௜௡

െ ߮

௨௜௠

) ݊ > ݉

ஶ

௠ୀ଴

ஶ

ܦ ݒ݁ݎݏ݄ܿݓ݅݀݊݁ݐ, ݓ݁݊݊ ݃݅ݐ݈: ߮

௡ୀଵ ௨௜௡

= ߮

௨௜௠

& ܷ

௡

ܫ

௠

= ܷ

௠

ܫ

௡

Analyse linearer Schaltungen:

Zeitbereich

݂

௘

(ݐ) Schaltung

Lösung:

݂

௔

(ݐ)

՚ Fourier-Reihe ՜

Frequenzbereich

݂

௘

(ݐ) = ෍ ܿ

^ஶ ௘௡

݁

^{௝௡ఠభ௧}

ିஶ

Schaltung

ܿ

௔௡

= Ü(݊߱

ଵ

) ή ܿ

௘௡

Lösung:

݂

௔

(ݐ) = ෍ ܿ

^ஶ ௔௡

݁

^{௝௡ఠభ௧}

ିஶ

Fourier-Transformation bei der Schaltungsanalyse:

Spektralen Dichte 1/Hz:

ܨ(ܶ, ݊߱

ଵ

) = න ݂

^்/ଶ ௣

(ݐ) ή ݁

^{ି௝௡ఠభ௧}

݀ݐ

ି்/ଶ

݂

௣

= ෍ ܿ

^ஶ ௡

ή ݁

^{௝௡ఠభ௧}

ିஶ

݂

௣

(ݐ) = ෍ ߱

_ଵ

2ߨ ܨ (ܶ, ݊߱

ଵ

) ή ݁

^{௝௡ఠభ௧}

ஶ

ିஶ

݂(ݐ) = 1

2ߨ න ܨ(߱) ή ݁

^{ஶ ௝ఠ௧}

݀߱

ିஶ

Komplexe Spektralfunktion:

ܨ(߱) = න ݂(ݐ) ή ݁

^{ஶ ି௝ఠ௧}

݀ݐ

ିஶ

ܨ(݂) = න ݂(ݐ) ή ݁

^{ஶ ି௝ଶగ௙௧}

݀ݐ

࣠{݂(ݐ)} = ܨ(߱)

ିஶ

Zeitfunktion:

݂(ݐ) = 1

2ߨ න ܨ(߱) ή ݁

^{ஶ ௝ఠ௧}

݀߱

ିஶ

݂(ݐ) = න ܨ(݂) ή ݁

^{ஶ ି௝ଶగ௙௧}

݂݀

ିஶ

࣠

^ିଵ

൛ܨ(߱)ൟ = ݂(ݐ) Die Fourier-Transformierte einer Funktion f(t) existiert; wenn gilt:

න |݂(ݐ)|݀ݐ < λ

^ஶ

ିஶ

Eigenschaften der Fourier-Transformation:

ܮ݅݊݁ܽݎ݅ݐäݐ: ݇ଵ݂ଵ(ݐ) + ݇ଶ݂ଶ(ݐ) ל െ• ݇ଵܨଵ(߱) + ݇ଶܨଶ(߱)

"݄݈݄݊݅ܿ݇݁݅ݐݏݏܽݐݖ: ݂(ܽݐ) ל െ• 1

ܽ ܨ ቀ

߱

ܽቁ ܦ݂݂݅݁ݎ݁݊ݐ݅ܽݐ݅݋݊ ݅݉ ܼ݁݅ݐܾ݁ݎ݄݁݅ܿ: ݂݀(ݐ)

݀ݐ ל െ• ݆߱ܨ(߱)

ܸ݁ݎݏ݄ܾܿ݅݁ݑ݊݃ ݅݉ ܼ݁݅ݐ/ܨݎ݁ݍݑ݁݊ݖܾ݁ݎ݄݅݁ܿ: ݂(ݐ + ݐ଴) ל െ•

݁

^݆߱ݐ0

ή ࣠

^{

݂(ݐ)

^}

Parseval’sches Theorem:

න ݂ଵ(ݐ) ή ݂ଶכ(ݐ)݀ݐ = 1

2ߨ න ܨ^{ஶ ଵ}(߱) ή ܨଶכ(߱)݀߱

ିஶ ஶ

ିஶ

ݏ݌݁ݖ݈݈݅݁ ݂üݎ ݂ଵ= ݂ଶ= ݂(ݐ) ֜ න |݂(ݐ)|²݀ݐ = 1

2ߨ න หܨ(߱)ห² ݀߱ = න หܨ(݂)ห²݂݀

ஶ

ିஶ ஶ

ିஶ ஶ

Der Dirac:

ିஶ

න ߜ(ݐ)݀ݐ = 1 ߜ(ݔ) = ൜0 ݂üݎ ݔ ് 0 λ ݂üݎ ݔ = 0

ஶ

Die Sprungfunktion:

ିஶ

ߝ(ݐ) = ൞0 =1 2 +

1

2 ݏ݅݃݊(ݐ) ݂üݎ ݐ < 0 1 =1

2 + 1

2 ݏ݅݃݊(ݐ) ݂üݎ ݐ > 0

ݏ݅݃݊

(

ݐ

)

=

ቊ

െ1 ݂üݎ ݐ < 0

+1 ݂üݎ ݐ > 0 ݏ݅݃݊

(

0

)

= ݐ LAPLACE-Transformation ࣦ:

݌ = ߪ + ݆߱ ܸ݋ݎݎܽݑݏݏ݁ݐݖݑ݊݃ ݂üݎ ࣦ: ݂(ݐ) = 0 ݂üݎ ݐ < 0 ܨ(݌) = ࣦ{݂(ݐ)} = න ݂(ݐ) ή ݁^{ஶ ି௣௧}

଴ ݀ݐ ܨ(߱) = න ݂(ݐ) ή ݁^{ஶ ି௝ఠ௧}݀ݐ

ିஶ

݂(ݐ) = ࣦ^ିଵ{ܨ(݌)} = 1

2ߨ݆ න^ఙା௝ஶܨ(݌) ή ݁^௣௧݀݌

ఙି௝ஶ

ܮܽ݌݈ܽܿ݁ െ ܶݎܽ݊ݏ݂݋ݎ݉݅݁ݎݐ݁ ݁ݔ݅ݏݐ݅݁ݎݐ, ݓ݁݊݊: න |݂(ݐ)| ή ݁

^{ஶ ିఙ௧}

݀ݐ ݈݄݁݊݀݅ܿ ݅ݏݐ!

ܮ݅݊݁ܽݎ݅ݐäݐ: ࣦ {݇ଵ݂ଵ(ݐ) + ݇ଶ݂ଶ(ݐ)} ל െ଴ • ݇ଵܨଵ(݌) + ݇ଶܨଶ(݌) ܦ݂݂݅݁ݎ݁݊ݐܽݐ݅݋݊: ࣦ ൬݀^௡݂(ݐ)

݀ݐ^௡ ൰ = ݌^௡ࣦ{݂(ݐ)} െ ݌^௡ିଵ݂(0) െ ݌^௡ିଶ݂^•(0) െ ڮ െ ݂^(௡ିଵ)(0)

"݄݈݄݊݅ܿ݇݁݅ݐݏݏܽݐݖ: ࣦ{݂(ܽݐ)} =1

ܽ න ݂(߬) ή ݁^{ஶ ି௣ఛ௔}݀߬

଴ =1

ܽ ܨ ቀ

݌

ܽቁ

ܸ݁ݎݏ݄ܾܿ݅݁ݑ݊݃ ݅݉ ܼ݁݅ݐܾ݁ݎ݄݁݅ܿ: ࣦ{݂(ݐ െ ݐ଴)} = ݁^ି௣௧బන ݂(߬) ή ݁^{ஶ ି௣ఛ}݀߬ = ݁^ି௣௧బࣦ{݂(ݐ)}

ܩݎ݁݊ݖݓ݁ݎݐݏäݐݖ݁: ݂(ݐ = 0 +) = lim ଴

௣՜ஶ݌ ή ܨ(݌) ݂(ݐ ՜ λ) = lim

௣՜଴݌ ή ܨ(݌) ܦܽݖݑ: න ݂݀(ݐ)

݀ݐ ݁^ି௣௧݀ݐ

ஶ

଴ ݂üݎ ݀݅݁ ܩݎ݁݊ݖݓ݁ݎݐ݁ ݌ ՜ λ & ݌ ՜ 0 ܽݑݏݓ݁ݎݐ݁݊

Lösung durch Laplace-Transformation der DGL:

ܭ݅ݎ݄݄ܿ݋݂݂ െ ܩ݈݄݁݅ܿݑ݊݃ ܽݑ݂ݏݐ݈݈݁݁݊: ෍ ݑ௡(ݐ) = 0; ෍^௞ ݅௡(ݐ) = 0

௡ୀଵ

௠

௡ୀଵ

ܧ݈݁݉݁݊ݐ݁: ݑ_ோ(ݐ) = ܴ ή ݅ோ(ݐ); ݑ௅(ݐ) = ܮ ή݀݅௅(ݐ)

݀ݐ ; ݅^஼(ݐ) = ܥ ή݀ݑ஼(ݐ)

՝

݀ݐ

Zwischengrößen (Spg. und Ströme) eliminieren ֜DGL n-ter Ordnung Laplace-Transformation der DGL ֜algebraische Gleichung

՝

Berücksichtigung von Anfangsbedingungen im Bildbereich Algebraische Gleichung nach gesuchter Größe auflösen und

՝

Rücktransformation in den Zeitbereich

Elementgleichung im Zeit- und Bildbereich

Zeitbereich Bildbereich

ݑோ(ݐ) = ܴ ή ݅ோ(ݐ) ݑ௅(ݐ) = ܮ ή݀݅_௅(ݐ)

݀ݐ

݅஼(ݐ) = ܥ ή݀ݑ஼(ݐ) ݑ௤(ݐ), ݅௤(ݐ)݀ݐ

ܷோ(݌) = ܴ ή ܫோ(݌)

ܷ௅(݌) = ݌ܮ ή ܫ௅(݌) െ ܮ ή ݅௅(ݐ = 0) ܫ஼(݌) = ݌ܥ ή ܷ஼(݌) െ ܥ ή ݑ஼(ݐ = 0)

ܷ௤(݌), ܫ௤(݌)

Ersatzschaltungen im Bildbereich:

ܫ

_௅

(݌) =

^௎ಽ_௣௅^(௣)

+

^{௜ಽ(௧ୀ଴)}_௣

ܷ

஼

(݌) = ܫ

_஼

(݌)

݌ܥ +

ݑ

_஼

(ݐ = 0)

݌

Schaltungsanalyse mittels Faltung:

Faltungssatz der Laplacetransformation:

݂௘(ݐ) כ ü(ݐ) = ü(ݐ) כ ݂௘(ݐ) = න ݂^௧ ௘(߬) ή Ü(ݐ െ ߬)݀߬ =

ఛୀ଴ න ݂^௧ ௘(ݐ െ ߬) ή ü(߬)݀߬

ఛୀ଴

ݓ݁݊݊ ݂௘(ݐ) = ߜ(ݐ) ֜ ݄(ݐ) = ݂௔(ݐ) = ü(ݐ)

Graphische Auswertung des Faltungsintegrals:

- t bei ue(t) und ü(t) durch Integrationsvariable ɒersetzen - eine der beiden Funktionen falten (z.B. ue(ɒ)՜ue(-ɒ) )

- Verschiebung ue(-ɒ) um t(t=t0, t1, t2,…vgl. Abb.3.22) nach rechts֜ue(t-ɒ) - Multiplikation von ü(ɒ) mit u^e(t-ɒ)

- Integration von ü(ɒ)ήue(t-ɒ) über ɒvon 0 bis t. Die Integration liefert ua(t), was dem schraffierten Flächeninhalt entspricht.

Rechnerische Auswertung des Faltungsintegrals:

ݑ௔(ݐ) = ەۖ

۔

ۖۓන ܷ^௧ ܴܥ ή ݁^{ି ఛோ஼}݀߬

ఛୀ଴ = ܷ ൬1 െ ݁^{ି ௧ோ஼}൰ ݂üݎ ݐ < ܶ଴

න ܷ

ܴܥ ή ݁^{ି ఛோ஼}݀߬

௧ ఛୀ௧ି்బ

= ܷ݁^{ି ௧ோ஼}൬݁^ோ஼்బെ 1൰ ݂üݎ ݐ > ܶ଴

Pol- und Nullstellenplan:

Differentialgleichungen:

1.Ordnung:

ݕሶ(ݐ) + ݍ(ݐ) ή ݕ(ݐ) = ݎ(ݐ) ܾݖݓ. ݕ^ᇱ(ݔ) + ݍ(ݔ) = ݎ(ݔ) ݕ(ݐ) = ݕ஺ή ݁^{ି௤(௧ି௧ಲ)}+ න ݎ(߬) ή ݁^{௧ ௤(ఛି௧)}݀߬

௧ಲ

2.Ordnung:

ݕሷ(ݐ) + ݌ ή ݕሶ(ݐ) + ݍ ή ݕ(ݐ) = ݎ(ݐ) ܾݖݓ. ݕ^ᇱᇱ(ݔ) + ݌ ή ݕ^ᇱ(ݔ) + ݍ ή ݕ(ݔ) = ݎ(ݔ) ߣ² + ݌ߣ + ݍ = 0 ߣଵ,ଶ= െ݌

2 ±ඨ݌2^ଶ

2 െ ݍ ܦ =݌^ଶ 4 െ ݍ

ܦ > 0: ݕ௛(ݐ) = ܥଵή ݁^ఒభ௧+ ܥଶή ݁^ఒమ௧ ܦ = 0: ݕ௛(ݐ) = ܥଵή ݁^ఒ௧+ ܥଶή ݐ ή ݁^ఒ௧ ܦ < 0: ܥሚଵή ݁^ఒభ௧+ ܥሚଶή ݁^ఒమ௧= ݁^ିఈ௧ή [ܥଵcos(߱ݐ) + ܥଶsin(߱ݐ)] ߣଵ= െߙ + ݆߱

ߣଶ= െߙ െ ݆߱

Diskrete Signale und Systeme:

݂

_ௌ

= 1

ܶ

ௌ

; ܿǁ

_௡

= ෍ ܿ

_௡ା௞೙

= 1

ܶ න ݂

^{் ՛}

(ݐ) ή ݁

^{ି௝௡ఠభ௧}

݀ݐ

௧ୀ଴

ஶ

௞ୀିஶ

= 1

ܰ ෍

^ேିଵ

݂(ߥ) ή ݁

^{ି௝௡ఔଶగே}

ఔୀ଴

Abtasttheorem:

ܿ

௡

= ܿ

ି௡כ

= 0 ݂üݎ ݊ ൒ ܰ

2 ൫ ֜ ܿǁ

௡

= ܿ

௡

൯ 2 ή ݂

௠௔௫

< ݂

ௌ

ܰ ή ݂

ଵ

= ݂

ௌ

ܶ

ௌ

= ܶ/ܰ

ܯ݁ݏݏݖ݁݅ݐ: ܶ

ெ௘௦௦

= ܰ

݂

ௌ

ݏ݌݁݇ݐݎ݈ܽ݁ ܣݑ݂݈öݏݑ݊݃: ݂

ெ௘௦௦

= 1

ܶ

ெ௘௦௦

= 1

ܰܶ

ௌ

= ݂

ௌ

ܰ Aufwand:

ிி்: ேή௟ௗ(ே)

஽ி்: ே²

ܶ = ܶ

ெ௘௦௦

݋݀݁ݎ ܽݑ݄ܿ ݊ ή ܶ = ܶ

ெ௘௦௦

݉݅ݐ ݊ = 2,3,4, … ݓ݁݊݊ ݄݊݅ܿݐ: ݂(ߥ) ՜ ݂(ߥ) ή ߱(ߥ)

Hann: ߱(ߥ) = 0,5 ή ቂ1 െ cos ቀ

^ଶగఔ_ே

ቁቃ

Hamming: ߱(ߥ) = 0,54 െ 0,46 ή cos ቀ

^ଶగఔ_ே

ቁ

ा-Transformation:

Legende:

ܨ(ݖ) = ෍ ݂(ߥ)ݖ

^{ஶ ିఔ}

ఔୀ଴

݂üݎ ݂(ߥ) ؠ 0 ݂üݎ ߥ < 0 ݖ = ݁

^௣ή்ೄ

= ݁

^௝ఠ்ೄ

֜ ݆߱ = 1

ܶ

ௌ

ή ln(ݖ)

ࢌ = ૙

֜ ݖ = ݁

^{௝ఠ௙/௙ೄ}

= ݁

^଴

=

1 ࢌ =ࢌࡿ

૛

֜ ݖ = ݁

^௝గ

= cos(ߨ) + ݆ݏ݅݊(ߨ) =

െ1 ܨ݋݈݃݁ ݀݁ݎ ݖ െ ܶݎܽ݊ݏ݂݋ݎ݉ܽݐ݅݋݊: ܨ(ݖ) = ݂(0) + ݂(1) ή ݖ^ିଵ+ ݂(2) ή ݖ^ିଶ+ ڮ ;

ܨ(ݖ) = ෍^λ

݂(ߥ) ή ݖ

^െߥ

ߥ=0

Eigenschaften der z-Transformation:

ܮ݅݊݁ܽݎ݅ݐäݐ: ࣴ{݇ଵ݂ଵ(ߥ) + ݇ଶ݂ଶ(ߥ)} = ݇ଵ

ܨ

₁(

ݖ

)

+ ݇

2

ܨ

₂

(ݖ)

ܸ݁ݎݏ݄ܾܿ݅݁ݑ݊݃ݏݏäݐݖ݁: ࣴ{݂(ߥ െ ݇} = ݖ^ି௞ࣴ{݂(ߥ)}

݇ = 0,1,2,3,…

ܼ݁݅ݐ݀݅ݏ݇ݎ݁ݐ݁ ܨ݈ܽݐݑ݊݃: ෍^ఔ ݂ଵ(݇) ή ݂ଶ(ߥ െ ݇) = ࣴ^ିଵ൛ܨଵ(ݖ) ή ܨଶ(ݖ)ൟ ܣ݂݊ܽ݊݃ݏ െ & ܧ݊݀ݓ݁ݎݐݏܽݐݖ: ݂(0) = lim௞ୀ଴

௭՜ஶܨ(ݖ) ݂(λ) = lim

௭՜ଵା଴(ݖ െ 1)ܨ(ݖ)

Rücktransformation:

ܵݑ݂݉݉݁݊݋ݎ݉: ܨ(ݖ) =ܽ௠ݖ^௠+ ܽ௠ିଵݖ^௠ିଵ+ ڮ + ܽଵݖ + ܽ଴

1 ή ݖ^௡+ ܾ௡ିଵݖ^௡ିଵ+ ڮ + ܾଵݖ + ܾ଴ ݊ ൒ ݉

ܲݎ݋݀ݑ݇ݐ݂݋ݎ݉: ܨ(ݖ) = ܥ ή(ݖ െ ݖ଴ଵ) ή (ݖ െ ݖ଴ଶ) ή … ή (ݖ െ ݖ଴௠) (ݖ െ ݖ௉ଵ) ή (ݖ െ ݖ௉ଶ) ή … ή (ݖ െ ݖ௉௡) ܥ = ܽ^௠

Pol- und Nullstellenplan:

- Das System ist stabil, wenn alle Polstellen innerhalb des Einheitskreises der z-Ebene zu liegen kommen.

- Befinden sich ein oder mehrere Pole außerhalb des Einheitskreises, ist das System instabil, d.h. die Zahlenwerte der Ausgangsfolge steigen unaufhörlich an, bis sie ihren maximalen binären Wert erreicht haben.

BP: Nullstellen links und rechts, Mitte keine! | BS: Nullstellen in der Mitte!

TP: Nullstellen auf der linken Seite! | HP: Nullstellen auf der rechten Seite!

Bilineare Transformation:

݌ ฺ 2

ܶ

ௌ

ή 1 െ ݖ

^ିଵ

1 + ݖ

^ିଵ

= 2

ܶ

ௌ

ή ݖ െ 1 ݖ + 1 Frequenzverzerrung der bilinearen Transformation:

߱ = 2ߨ݂; ݌ = ݆߱ = ݆2ߨ݂; ݖ = ݁

^௣்ೄ

= ݁

^{௝ଶగ൬ ௙௙ሚೄ൰}

; ܶ

_ௌ

= 1

݂

ௌ

֜diskrete Systeme mit Tilde (~) versehen. (Kennzeichen für Digitale Schaltungen)

݂ = ݂

ௌ

ߨ ή tan ቆ ߨ݂ሚ

݂

ௌ

ቇ ܾݖݓ. ݂ሚ = ݂

ௌ

ߨ ή arctan ൬ ߨ݂

݂

ௌ

൰

!!!Bogenmaß!!!

݈ܽ݊ܽ݋݃݁ݏ ܨ݈݅ݐ݁ݎ: ݂

ீ

= 0,25 ή ݂

ௌ

݀݅݃݅ݐ݈ܽ݁ݏ ܨ݈݅ݐ݁ݎ: ݂

ீ

= 0,212 ή ݂

ௌ

FIR-Filter:

FIR-Filter sind nichtrekursive Filter, bei denen die Rückkopplung enfällt. b

k

=0.

ܦ݂݂݅݁ݎ݁݊ݖ݈݄݁݊݃݁݅ܿݑ݊݃: ݂௔(ߥ) = ܽ௠ή ݂௘(ߥ) + ڮ + ܽଵή ݂௘(ߥ + 1 െ ݉) + ܽ଴ή ݂௘(ߥ െ ݉) ܨ௔(ݖ) = ܽ௠ή ܨ௘(ݖ) + ڮ + ܽଵή ܨ௘(ݖ) ή ݖ^{ି(௠ିଵ)}+ ܽ଴ή ܨ௘(ݖ) ή ݖ^ି௠

Üܾ݁ݎݐݎݐܽ݃ݑ݊݃ݏ݂ݑ݊݇ݐ݅݋݊: ܨ

௔

(ݖ)

ܨ

௘

(ݖ) = ܽ

௠

+ ܽ

௠ିଵ

ή ݖ

^ିଵ

+ ڮ + ܽ

ଵ

ή ݖ

^ି௠ାଵ

+ ܽ

଴

ή ݖ

^ି௠

IIR-Filter:

IIR-Filter sind rekursive Filter mit Rückkopplung.

Üܾ݁ݎݐݎܽ݃ݑ݊݃ݏ݂ݑ݊݇ݐ݅݋݊:

ܨ

௔

(ݖ) ܨ

௘

(ݖ) =

ܽ

௠

+ ܽ

௠ିଵ

ή ݖ

^ିଵ

+ ڮ + ܽ

ଵ

ή ݖ

^ି௠ାଵ

+ ܽ

଴

ή ݖ

^ି௠

1 + ܾ

௠ିଵ

ή ݖ

^ିଵ

+ ڮ + ܾ

ଵ

ή ݖ

^ି௠ାଵ

+ ܾ

଴

ή ݖ

^ି௠

ܸ݋ݎݓäݎݐݏݖݓ݁݅݃

ܴüܿ݇݇݋݌݌݈ݑ݊݃ݏݖݓ݁݅݃

Vergleich von FIR- und IIR-Filtern:

Eigenschaft FIR-Filter IIR-Filter

Stabilität Immer stabil Bedingt (über Pole im

Einheitskreis)

Phase Linear Nicht linear

Gruppenlaufzeit Konstant Nicht konstant

Erforderliche Ordnung Hoch Niedrig

Rechenaufwand Groß Klein

Realisierbarkeit Immer Nicht immer

Filterfunktion TP,HP,BP,BS, Mulitbandfilter,

Hilbert-Transformator,Differentiator TP,HP,BP,BS, Allpass, Integrator Gruppenlaufzeit: Ableitung der Phase nach der Frequenz

Allpass: Übertragungsfunktion immer 1 Phasengang anders.

Diskrete Systeme:

- Digitale Signalverarbeitung:

Nutzsignal über BP. Ausblenden für Abtastteorem. ݏ݅(

^గ௙_௙

ೄ

) ܰ =

^௙_௙^ೄ

భ

- Digitale Speicherung analoger Signale: ݏ݅ =

^{ୱ୧୬(௫)}_௫

ݏ݅(0) = 1

- Der si-Entzerrer dient zur Korrektur des Spektrums!

- Höhere Auflösung durch größere Abtastfrequenz ֜Vorfaktoren stimmen dann auch nicht mehr

System Kausalität:

- kausal, wenn gilt: Zählergrad ൑ Nennergrad

- nicht kausal: wenn das Signal in der Zukunft liegt (ɋ+1)!!

Oder Zählergrad > Nennergrad Differenzengleichung:

Bsp. RC- TP:

݅(ݐ) = ܥ ή ݑ

௔

(ݐ) ሶ

െݑ

_௘

(ݐ) + ݑ ᇣᇤᇥ

ோ

(ݐ)

ோή௜(௧)

+ ݑ

_௔

(ݐ) = 0

െݑ

௘

(ݐ) + ܴ ή ܥ ή ݑ

௔

(ݐ) ሶ + ݑ

௔

(ݐ) = 0 ݑ

௔

(ݐ) + 1

ܴܥ ή ݑ

௔

(ݐ) = 1

ܴܥ ݑ

௘

(ݐ)

ሶ ݐ = ߥ ή ܶ

ௌ

ݑ

௔

[(ߥ + 1) ή ܶ

ௌ

] െ ݑ

௔

(ߥ ή ܶ

ௌ

)

ܶ

ௌ

+ 1

ܴܥ ݑ

௔

(ߥ ή ܶ

ௌ

) = ݑ

௘

(ߥ ή ܶ

ௌ

) |ή ܶ

ௌ

ݑ

௔

[(ߥ + 1) ή ܶ

ௌ

] + ൬ ܶ

_ௌ

ܴܥ െ 1൰ ݑ

௔

(ߥ ή ܶ

ௌ

) = ܶ

_ௌ

ܴܥ ݑ

௘

(ߥ ή ܶ

ௌ

) ݑ

௔

(ߥ ή ܶ

ௌ

) + ൬ ܶ

ௌ

ܴܥ െ 1൰ ݑ

௔

[(ߥ െ 1) ή ܶ

ௌ

] = ܶ

ௌ

ܴܥ ݑ

௘

[(ߥ െ 1) ή ܶ

ௌ

] ܦ݂݂݅݁ݎ݁݊ݖ݈݁݊݃.

ݒ݋݊ ܦܩܮ.

ݑ

௔

(ߥ ή ܶ

ௌ

) = ܶ

ௌ

ܴܥ ݑ

௘

[(ߥ െ 1) ή ܶ

ௌ

] െ ൬ ܶ

ௌ

ܴܥ െ 1൰ ݑ

௔

[(ߥ െ 1) ή ܶ

ௌ

] ݑ

௔

(ߥ ή ܶ

ௌ

) = ܶ

ௌ

ܴܥ ݑ

^௘

[(ߥ െ 1) ή ܶ

ௌ

] + ൬1 െ ܶ

ௌ

ܴܥ൰ ݑ

^௔

[(ߥ െ 1) ή ܶ

ௌ

]

֜ Signallaufplan (digitales Bild)

Ɂ(ɋ)={1; 0; 0; 0;…}

a

₀

-b

0

a

₁

-b

₁

a

m-1

a

_m

-b

_m-1