Algorithmen und Datenstrukturen Angewandte Informatik SS 2021 Prof. Dr. Oliver Bittel
Aufgabenblatt 4
Planung eines optimalen Telefonnetzes mit minimal aufspannenden Bäumen
In einer gitterförmig aufgebauten Stadt ist eine Menge von Telefonknoten mit ganzzahligen x-y- Koordinaten gegeben. Die Kosten für die Verbindung zweier Telefonknoten (x1,y1) und (x2,y2) wird mit Hilfe der sogenannten Manhattan-Distanz berechnet:
dist((x1,y1),(x2,y2)) = |x1-x2| + |y1-y2|
Die Abbildung 2 zeigt eine Stadt mit zwei blau gefärbten Telefonknoten. Die Knoten mit den Koordinaten (1,1) und (3,5) haben eine Manhattan-Distanz von dist = |1-3| + |1-5| = 6. Die Manhattan- Distanz drückt aus, dass Telefonleitungen nur längs von Straßen (horizontale und vertikale Linien) gelegt werden dürfen. Beispielsweise wäre die rote Linie der Länge 6 eine mögliche Verbindung zwischen den beiden Knoten.
5 4 3 2 1
1 2 3 4 5
Zwei Knoten gelten als nicht direkt verbindbar, wenn ihre Manhattan-Distanz über einen Leitungsbegrenzungswert lbg liegt. Damit sind die Kosten cost für die Verbindung zweier Telefonknoten (x1,y1) und (x2,y2) wie folgt definiert:
cost(((x1,y1),(x2,y2)) =
Mit dem Algorithmus von Kruskal soll für eine Stadt mit einer gegebenen Menge von Telefonknoten ein optimales Telefonnetz, d.h. ein minimal aufspannender Baum, berechnet werden.
dist((x1,y1),(x2,y2)), falls dist((x1,y1),(x2,y2)) £ lbg,
¥, sonst
Abb. 1: Telefonnetz mit 1000 Knoten
Abb. 2: Telefonnetz mit 2 Knoten
Algorithmen und Datenstrukturen Angewandte Informatik SS 2021 Prof. Dr. Oliver Bittel
Beispielsweise ergibt sich für die Stadt mit 7 Knoten und lbg = 7 in Abbildung 3 einen minimal aufspannenden Baum mit den Gesamtkosten von 3+3+5+3+2+2=18. (Die Lösung muss nicht eindeutig sein!)
7 6 5 4 3 2 1
1 2 3 4 5 6 7
Lösen Sie folgende Teilaufgaben:
1. Implementieren Sie eine Klasse UnionFind. Die Beschreibung der Klasse finden Sie auf der Web-Seite in Javadoc. Testen Sie Ihre Klasse ausgiebig.
2. Realisieren Sie eine Klasse TelNet zur Verwaltung der Telefonknoten und Berechnung eines minimal aufspannenden Baums mit dem Algorithmus von Kruskal. Die Beschreibung der Klasse finden Sie auf der Web-Seite in Javadoc.
Um die UnionFind-Klasse verwenden zu können, sehen Sie für jeden Telefonknoten eine einfache Nummerierung vor: 0, 1, 2, ..., n-1. Die Zuordnung von Telefonknoten zu interner Nummerierung wird in einer Map abgespeichert.
Alle möglichen Telefonverbindungen speichern Sie in einer java.util.PriorityQueue ab.
Übergeben Sie beim Konstruktor einen geeigneten Comparator.
Der Algorithmus benötigt sonst keine Informationen über den Graph. Die Graphenklasse aus der Aufgabe 2 wird daher nicht benötigt.
3. Testen Sie Ihre Klasse mit den Beispieldaten aus Abbildung 3.
4. Generieren Sie n = 1000 zufällige Knoten in einem xMax*yMax großen Gitter mit xMax = yMax = 1000. Setzen Sie dabei lbg = 100. Berechnen Sie ein optimales Telefonnetz und animieren Sie das Netz, wie in Abb. 1 gezeigt. Sie können zum Zeichnen die aus
Programmiertechnik 2 bekannte Klasse StdDraw verwenden.
3
5
3 2 2
3
Abb. 3: Optimales Telefonnetz mit 7 Knoten und Gesamtkosten 18.
